解题研究 | 巧解中考压轴抛物线面积最值题

教育   教育   2024-09-20 00:34   安徽  


PART 𝟙.    解法引入
我们先来看一道中考真题

本题常规是用割补、宽高法,建立面积函数模型求解,计算量较大,过程比较繁琐,这里引入一种口算方法

观察到三角形OAB面积是定值,所以当三角形ACB面积最大时,总面积最大,则由第(2)问已知条件,可立即口算出三角形ACB面积的最大值为4,则四边形面积最大值为4+12=16

这是如何口算的呢?是不是很神奇?下面我们一起来推导这个口算方法

PART 𝟚.    解法推导

推导该口算公式,需深刻理解以下知识:

  • 二次函数图象的对称性

  • 二次函数的交点式

  • 直线y1与抛物线y2交点横坐标,即函数y=y2-y1与x轴交点横坐标

  • 宽高法表示坐标系内三角形面积


下面开始推导

(1)如图三角形,面积可用宽高法表示为


(2)xB-xA就是水平宽,下面简称“宽”

(3)此类问题中的“宽往往是定值,则yC-yD最大时面积最大

(4)将yC-yD看成函数y,则其与x轴交点横坐标就是点xB与xA,利用对称性和二次函数交点式得到以下推导过程



(5)这样,我们就成功的得到了抛物线与直线相交所夹弓形内三角形面积的最值公式

利用此公式,只需知道抛物线的二次项系数a及抛物线与直线两交点的横坐标,即可快速求出三角形最值,将中考压轴难度的问题简化到口算级别!


PART 𝟛.    解法运用

运用上述公式,可快速求解以下题为代表的一类中考题


这题题干已知公式所有条件,所以完全可以不看图,不做第一问,直接求出最大值为1/8×1×3的3次方=八分之二十七


注:解答题运用该公式无法得到步骤分,使用需谨慎!


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