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🔥 内容介绍
本文探讨一种利用 Yee 算法数值求解麦克斯韦方程的方案，该方案的目标是模拟无单位空间中 x 方向传播的 z 偏振横电磁波 (TEM 波)，该波仅包含 y 方向磁场分量 Hy 和 z 方向电场分量 Ez。 我们将采用标准的差分方法，基于麦克斯韦旋度方程的差分形式推导更新方程，并利用 Leapfrog 时间步长法进行时间推进。 所有物理参数，包括介电常数和磁导率，均归一化为 1，以简化计算，并专注于算法本身的实现。
麦克斯韦方程组描述了电磁场的时空演化，其微分形式为：
∇ × E = -∂B/∂t (1)
∇ × H = ∂D/∂t + J (2)
∇ ⋅ D = ρ (3)
∇ ⋅ B = 0 (4)
其中 E 为电场强度，H 为磁场强度，D 为电位移矢量，B 为磁感应强度，J 为电流密度，ρ 为电荷密度。 在无单位、无源 (ρ = 0, J = 0) 的自由空间中，且考虑介电常数 ε 和磁导率 μ 均为 1 的简化情况，方程 (1) 和 (2) 可简化为：
∇ × E = -∂B/∂t (5)
∇ × H = ∂E/∂t (6)
对于 z 偏振 TEM 波，电场仅存在 z 分量 Ez，磁场仅存在 y 分量 Hy，并且波沿 x 方向传播。 因此，方程 (5) 和 (6) 可以简化为：
∂Ez/∂y = -∂Hy/∂t (7)
∂Hy/∂x = ∂Ez/∂t (8)
为了进行数值求解，我们采用 Yee 算法，该算法将空间离散成网格，并采用交错网格的方式定义电场和磁场。 具体而言，Hy 场位于空间网格的半坐标处，而 Ez 场位于空间网格的整数坐标处。 时间则采用 Leapfrog 时间步长法，即 Hy 场在半时间步更新，Ez 场在完整时间步更新。
利用中心差分逼近，方程 (7) 和 (8) 的差分形式可以表示为：
(Ez(i, j+1, n) - Ez(i, j, n)) / Δy = -(Hy(i, j+1/2, n+1/2) - Hy(i, j+1/2, n-1/2)) / Δt (9)
(Hy(i+1/2, j, n+1/2) - Hy(i-1/2, j, n+1/2)) / Δx = (Ez(i, j, n+1) - Ez(i, j, n)) / Δt (10)
其中 i, j 分别表示空间网格的 x, y 坐标索引，n 表示时间步索引，Δx, Δy, Δt 分别表示空间步长和时间步长。
基于以上差分方程，我们可以得到 Ez 和 Hy 的更新方程：
Hy(i+1/2, j, n+1/2) = Hy(i+1/2, j, n-1/2) + (Δt/Δx) * (Ez(i+1, j, n) - Ez(i, j, n)) (11)
Ez(i, j, n+1) = Ez(i, j, n) + (Δt/Δy) * (Hy(i, j+1/2, n+1/2) - Hy(i, j-1/2, n+1/2)) (12)
程序实现中，可以使用两个嵌套的 for 循环遍历整个空间网格，在主 for 循环内交替使用方程 (11) 和 (12) 更新 Hy 和 Ez 场。 外层循环遍历时间步长，内层循环则遍历空间网格，依次更新每个网格点的场值。 这种交错更新方式是 Leapfrog 时间步长法的核心，确保了算法的稳定性和精度。
总结而言，本文详细描述了一种基于 Yee 算法的 z 偏振 TEM 波麦克斯韦方程数值求解方案。 该方案利用交错网格和 Leapfrog 时间步长法，通过简单的差分方程迭代更新电磁场，高效且准确地模拟了波的传播。 其简洁性和可扩展性使其成为电磁仿真领域中一种重要的数值方法。 未来的工作可以考虑将该算法扩展到更复杂的情形，例如考虑材料特性、边界条件以及更复杂的波形。
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