贾尼别科夫效应！这个怎么CAE？
学术
2024-11-24 13:04
北京
贾尼别科夫（Vladimir Aleksandrovich Dzhanibekov，1942年生）是前苏联宇航员，曾执行过联盟 27 号/联盟 26 号（发射/返回）、联盟 39 号、联盟 T-6 号、联盟 T-12 号和联盟 T-13 号等五次轨道任务。在1985年联盟 T-13 号任务中，演示了T 型手柄螺母被拧脱之后，螺帽自旋的不稳定现象，如图3所示，为纪念贾尼别科夫的发现，这种现象被称为贾尼别科夫效应。图3 1985年贾尼别科夫演示的T型螺帽旋转 （来源：网络）为了理解贾尼别科夫效应，我们需要引入转动惯量和转动主轴的概念。对于质点动力学可用牛顿第二定律表示为，这里，F表示力，m表示质点质量，a为质点产生的加速度。生活中，我们都有一种体验，推动（或停止）一个比较重的物体会比较困难。从公式(1)可以看出，m越大，产生同样的加速度就需要越大的力。因此，质量被称为度量物体惯性的量，质量越大、惯性就越大，运动状态改变就越困难。其中，M表示力偶矩（使物体产生旋转运动，可认为是一对等大、反向、不共线的力），α表示角加速度，J被称为转动惯量，它是度量物体转动惯性的量。转动惯量越大、转动惯性就越大，表明使物体产生转动加速（或减速）就越困难。J类似于牛顿第二定律中的m，只不过m度量的惯性表现在直线加速、减速上，J度量的转动惯性表现在转动的加速、减速上。假设有一根杆，两端安装了两个小球，组成一个“刚体”，在图1所示平面内旋转。忽略杆件的质量，假设，左球质量为m1，其到旋转中心O点的距离为r1；右球的质量为m2，到中心O点的距离为r2；设手指对两球所施加的力均为F，两个F形成力偶，大小为M=F(r1+r2)。由于两球被连在同一根杆上，两球的旋转加速度相同，设为α。令公式(3)两边同时乘以r1，公式(4)两边同时乘以r2，表示为两球对转动中心的力矩平衡，再对两式求和，得左边即为两个力产生的力偶，将F(r1+r2)用M替代后，有M=(m1r12+
m2r22) α。与公式(2)对比，可知图2杆球组成的刚体的转动惯量为J=(m1r12+
m2r22)。如果有多个球，质量分别为mi，且它们到转动中心的距离为ri，则转动惯量可写为由此可见，转动惯量是与物体质量分布有关的量，当质量越远离转动中心，转动惯量就越大。对于空间物体，如图2所示，其旋转为绕轴旋转，有无穷多个旋转轴，将空间物体想象为由无穷多个“小球”（质量）组成，利用式(6)可计算出其绕每个轴的转动惯量。这里，我们关心最大惯性轴（绕该轴转动惯量最大）和最小惯性轴（绕该轴转动惯量最小），以及与它们都垂直的中间轴。可以证明，当长方体绕e1轴旋转时，质量靠近e1轴分布，绕e1轴的转动惯量最小，记为J1，e1轴称为第一主轴，或最小主轴；绕e3轴旋转时，质量远离e3轴分布，绕e3轴的转动惯量最大，记为J3，e3轴称为第三主轴，或最大轴；绕e2轴旋转时，转动惯量记为J2，大小介于J1和J3之间，e2轴称为第二主轴，或中间轴。1765年，欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）在《刚体运动理论》中，给出了刚体转动的一般方程，用现在的符号写出来有如下形式，人们发现，只有物体绕第一主轴（也称最小主轴）和第三主轴（也称最大主轴）旋转时，旋转运动才是稳定，当绕第二主轴（也称中间轴）旋转时，旋转运动就会因不稳定而变的异常复杂（证明参见：高云峰，航天中的奇思妙想）。如图3所示建立长方体绕三个轴的运动模型，依据式(6)进行仿真分析，设外力偶矩均为0（自旋），三个角速度均为ω=3，每个模型在另外两个方向施加∆ω=0.01，即对每个模型施加1%的扰动。从图中可以看出，长方体绕最大轴和最小轴旋转时可以稳定旋转，绕中间轴旋转时，长方体将发生翻滚，形成无规律的复杂运动，这被称为中间轴定理，即刚体绕中间轴旋转时为不稳定旋转，贾尼别科夫效应在力学本质上就反映了刚体旋转运动的稳定与不稳定特性。图3 长方体绕三轴旋转的稳定与不稳定（来源：高云峰，航天中的奇思妙想）上述实验也可以通过上抛书本、文具盒（清空里面的文具）、手机等长方体，使其绕最大轴、最小轴、中间轴旋转时，来观察长方体是否稳定，你会发现绕最大、最小轴是稳定的，但绕中间轴就会翻滚，成为不稳定转动。 计算贾尼别科夫所展示的T型手柄螺帽绕三个转动主轴的转动惯量可知，其三个转动主轴中，T型手柄螺帽z轴为中间轴，y轴为最大轴，x轴为、最小轴，如图4所示，因此，T型手柄螺帽为不稳定旋转，会不断的发生翻转。因此，贾尼别科夫效应也被称为中间轴定理，表明刚体绕中间主轴旋转具有不稳定性。人们对中间轴定理或贾尼别科夫效应的认识，还因另外一个名字——网球拍定理。19世纪，当网球正式成为奥运会比赛项目时，由网球附带的现象也进入了人们的眼界。其中，一些运动员在庆祝胜利时，会将网球拍高高抛起，根据抛起时球拍转轴的不同，同样发现了球拍绕最大、最小轴的稳定旋转，以及绕中间轴旋转的不稳定，如图5所示。图5 网球拍绕三根轴旋转（注意绕中间轴旋转时的翻滚）（来源：网络）贾尼别科夫效应（或网球拍定理、或中间轴定理）给出了刚体自旋稳定的判定依据，即物体只有在绕最大、最小主轴旋转时，刚体旋转才是稳定的，这在多个领域具有重要应用。例如，在体育器材设计中，需要对网球拍、羽毛球拍等球拍的重心和转动惯量的分布进行优化，使其在挥动时能够保持更好的稳定性。在机械系统中，旋转部件（如转动轴、飞轮等）也需要对重心和转动惯量进行设计，以便提高旋转部件的稳定性，这对于设备的安全和良好的运行性能至关重要。设计不当，有可能导致设备在运行中出现不稳定，从而导致设备损坏或故障。在卫星设计中，自旋稳定性被作为卫星姿态控制的一种方法，通过设计使卫星围绕最大、或最小主轴高速自旋，从而保证卫星姿态的稳定性。采用自旋作为姿态控制的卫星，如前苏联的斯普特尼克一号（Sputnik-1），这是人类历史上第一颗人造卫星，1957年发射；以及我国的东方红1号、“实践” 1号、“东方红”2号和“风云” 2号等卫星。如图6所示为东方红1号卫星，其绕最大主轴旋转取得稳定。为了与苏联争夺太空霸权，美国于1958年1月31日发射了探险者1号（Explorer 1），如图7所示，这是美国第一颗人造卫星，设计为圆柱体，计划绕最小轴自旋实现稳定。但出人意料的是，发射升空数小时后，卫星的旋转轴在轨道坐标系内逐渐翻转 90度，最终转变为绕最大轴旋转稳定，卫星也因此而无法正常工作。 图7 美国探险者1号（Explorer 1），1958（来源：网络）这使得人们认识到，绕最大、最小轴稳定是针对于严格刚体而言的，探险者1号由于燃料消耗、中间四根天线的柔性影响，这样的变质量、具有一定柔性的准刚体只有绕最大轴稳定，没有绕最小轴稳定。这在自然界可以找到多个例证，例如，地球是一个两极稍扁，赤道略鼓的不规则球体，这就保证了地球绕地轴旋转时为最大轴旋转，已稳定旋转了46亿年。通过观察，人们发现银河系为一个巨大的盘状结构，绕最大轴旋转的银河系已稳定存在了136亿年，这是宇宙天体绕最大轴旋转稳定的例证。https://en.wikipedia.org/wiki/Tennis_racket_theoremhttps://www.comsol.com/blogs/why-do-tennis-rackets-tumble-the-dzhanibekov-effect-explained （这里有一个用comsol做的稳定和不稳定的例子）科学网：刘延柱，人造卫星“探险者一号” 事件与最大轴原则。https://wap.sciencenet.cn/blog-3452605-1261458.html高云峰，航天中的奇思妙想. 力学+科普公开课第4讲. BiliBili 网站![]()
···
作者 | 张伟伟
精选 | 艾若晨
