超弹本构理论
内能耗散
应力应变关系
可压缩性
Gent超弹模型
VUMAT实现Gent超弹本构
Gent超弹本构模型是一个经典的超弹模型，ABAQUS内置了诸多超弹模型，但并不涉及Gent超弹本构，本文给出了实现Gent超弹VUMAT子程序的理论推导过程，免费分享给大家，码字不易，欢迎关注“九千CAE”公众号，欢迎动动小手一键三联（点赞+在看+分享）！点击“阅读原文”获取配套的视频课程和子程序源代码。
超弹本构理论
内能耗散
超弹本构假设一基于参考构型（Reference configuration）的单位体积Helmholtz自由能，也称应变能密度（Strain energy density）应变能函数（Strain energy function）或弹性势（Elastic potential）。应变能函数是变形梯度（Deformation gradient）的函数，即。
对于纯变形过程，内能耗散（Internal energy dissipation），参考构型描述下，由Clausius-Planck不等式：
其中为Kirchhoff应力张量，、为变形率张量，，为旋转率张量；为第一类Piola-Kirchhoff应力张量，为变形梯度；为第二类Piola-Kirchhoff应力张量，为右Cauchy-Green变形张量，为Green-Lagrange应变张量。
应力应变关系
由于仅为的函数，则应变能变化率为
(2)+上式
由于是客观的（坐标无关），即刚性转动不会导致改变，有，其中为任意正交张量（导致刚性旋转）。考虑变形梯度的极分解，由于的任意性，取（注意为正交张量，正交张量的转置也为正交张量），且考虑及有
则
(3)+(5)(4)+(6)
一类超弹本构是将应变能函数表示为Cauchy-Green应变张量（）不变量的函数
其中
且
则
代入
可压缩性
变形梯度可以分解为纯剪切和纯体积变形两部分
则
及
由
将应变能函数构建为、的函数
则结合应力张量为
若应变能函数与无关，则上式简化为
Gent超弹模型
Gent超弹模型中应变能函数
其中是初始剪切模量，是初始体积模量，是一无量纲常数。
利用
值得注意的是，当，Gent模型等价于Neo-Hookean模型。
VUMAT实现Gent超弹本构
ABAQUS显式分析要求返回共旋坐标下的柯西应力，则根据张量的旋转变化
由于
结合和上两式，有
