美国高中女生因数学竞赛,发现勾股定理新证明!论文已发《美国数学月刊》

学术   2024-11-06 00:03   加拿大  

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  新智元报道  

编辑:Aeneas 好困
【新智元导读】全新的勾股定理证明方法,竟然被两个高中女生证明出来了?而且还一次给了五个方法!陶哲轩对这项工作称赞不已:五个证明与已知证明没有明显相似。而故事的起因,竟是一道高中数学竞赛题。内附两人自述证明过程视频,亮点多多。

两年前,两位高中在读的学生发现了全新的勾股定理证明方法。
遗憾的是,当时并没有更具体的论文,以提供实质性细节。
就在最近,两人的全新论文,在《美国数学月刊》上正式发表了!

论文地址:https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240#abstract
在这篇论文中,两位作者找到了至少五个证明,与任何标准的已知证明都没有明显的相似。
陶哲轩对这项工作称赞不已。
他表示,怎样精确定义两个证明是否相同,是很微妙的。
以往的数学家证明勾股定理,用的多是代数或几何的方法。
然而这两个学生,却采用了一种「三角学」的方法。(作为数学的一个分支,「三角学」主要研究的是三角形的变长和角度之间的关系,尤其是直角三角形。)
具体来说,她们采用了一种主要基于句法的方法:在她们看来,如果一个证明避免使用圆(或坐标),但本质上使用角度,就可以被视为「三角学」证明。
就这样,她们找到了至少5个不同的证明,比如其中一个证明就涉及几何级数求和。

Ne’Kiya Jackson和Calcea Johnson
所以,是否存在「语义」方式,来区别这些证明呢?
陶哲轩表示,理论上这种方式应该是存在的,因为在某些欧几里得几何的变种中,或许本文中的证明有的有效,有的无效,反之亦然。
但即使有没有这种语义方式做区分,两位学生的研究仍然非常引人入胜。
因为——即使是数学中最古老、最基础的结果,有时也可以找到全新的证明角度!
仔细看这个视频,你会注意到真正懂数学的高中生讲起数学题来,是怎样的语气和神情。

古老的勾股定理

勾股定理(亦称毕达哥拉斯定理)是平面几何中一个基本而重要的定理,也是人类早期发现并证明的重要数学定理之一:
平面上的直角三角形的两条直角边的长度(较短直角边为勾长、较长直角边为股长)的平方和等于斜边长(弦长)的平方。反之,若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方,则它是直角三角形(直角所对的边是第三边)。
勾股定理可考的严谨数学证明,起源于欧几里得《几何原本》中卷一的命题47。
如今,已经有了四百多个证明,诸如微分证明、面积证明等。

一道高中竞赛题,500美元奖金

有趣的是,这项震惊数学圈的证明,催化剂竟是一道高中数学竞赛的附加题。
这道题要求找出一种全新的勾股定理证明方法(真是一个敢想,一个敢做)
因为有500美元奖金,两位学生决定尝试一把。
结果两人发现,这比想象的要困难得多……
她们度过了很多个不眠之夜,尝试找到一个证明,却屡屡失败。
好在经过一个月的脑力大爆炸后,两人都找出了新的解法。
她们高中的数学志愿者Rich认为,她们的证明足够新颖,足以在数学会议上展示,因为通常只有专业数学家和大学生才会受邀。
她们开始并没有信心,但还是决定参与。就是这时两人开始展开合作。
接下来的两三个月,两人把课后、周末、假期的所有时间都用来打造这篇论文。
令人惊讶的是,两位高中生的作品得到了认真对待,并被批准在2023年3月的美国数学学会东南分会会议上展示——于是两人成为房间里最年轻的演讲者。
随后,AMS鼓励两人把研究成果提交到学术期刊。
两人从没有为学术期刊写论文的经验,同时还在适应大学环境,需要应付小组论文、实验室数据分析、学习用LaTeX写代码等等任务。
两人表示,在家人和社区的支持下,我们坚持了下来,这段路途绝对不是简单的。
没有现成的路线图,没人保证论文一定能发表。
有很多次,她们都想放弃这件事,好在最终,两人坚持了下来。

令人困惑的三角学

而在这次发表的研究中,两位学生介绍道:在数学中,或许没有哪个学科比三角学更让高中生感到困惑了。
三角学为什么如此令人困惑?或许一个原因是,存在两种不同的方法来定义相同的三角学术语。
图1倒是展示了这些方法是如何被协调的,但结果却适得其反——
学生们或许不会意识到,这两个互不相同的三角学体系,已经被套在了相同的术语上,所以理解起来极其困难。

图1:被作者称为「数学中危害最大的图」
两位作者表示,避免混淆最合理的方法,就是给它们不同的名称,来反映背后不同的理念。
实际上,这些方法中只有一种是三角学的,专注于这个真正的版本,就可以发现大量全新的勾股定理证明!

何为三角函数证明

「trigonometry」这个词来源于希腊词「trigonon」(三角形)和「metron」(测量),因此三角函数是通过测量三角形而得到的。
实际上,三角比中的正弦(sine)和余弦(cosine)定义为锐角𝛼的函数,其方法是创建一个直角三角形ABC,使得𝛼为其中一个锐角(如图2左侧所示),然后比较三边中两条边的长度关系。
sin𝛼被定义为对边BC与斜边AB的比值,cos𝛼则是邻边AC与斜边AB的比值。


图2:正弦和余弦的三角函数和圆周定义
然而,这种正弦和余弦的定义法仅适用于锐角,其他角度则需要完全不同的方法。
对于这些角度,就要使用单位圆,从点(1,0)开始,逆时针方向(对于负角则顺时针)沿圆周移动,直到达到所需的中心角𝛼,最终到达点(𝑥,𝑦),然后定义cos𝛼=𝑥和sin𝛼=𝑦。
对于锐角来说,这来年各种方法得出的值是相同的,如图1所示。
然而,只有第一种方法可以被合理地称作「三角学」,第二种方法更适宜被叫做「圆周法」,源自希腊词「circle」和「location」。(图2)
它们的区别,意味着通过余弦定律证明毕达哥拉斯定理(我们从𝑐²=𝑎²+𝑏²−2𝑎𝑏 cos 𝛾开始,并令𝛾为直角)是圆周证明而不是三角证明:因为三角学无法计算直角的余弦,而圆周测量告诉我们cos(90°)=0。
同样地,使用cos(𝛼−𝛽)公式证明毕达哥拉斯定理(在恒等式cos(𝛼−𝛽)= cos 𝛼 cos 𝛽+ sin 𝛼 sin 𝛽中,令𝛼=𝛽)也是圆周法而非三角学,使用sin(𝛼+𝛽)公式的证明亦然,其中𝛼和𝛽为互余角。
另外,某个证明是否属于三角学,也可以因其他原因被否认。
例如,如图3所示,毕达哥拉斯定理的最著名的证明之一,就使用了相似三角形△𝐴𝐵𝐶∼△𝐴𝐶𝐷∼△𝐶𝐵𝐷:由于𝑎/𝑐=𝑥/𝑎和𝑏/𝑐=𝑦/𝑏,所以𝑐=𝑥+𝑦=𝑎²/𝑐+𝑏²/𝑐,因此𝑎²+𝑏²=𝑐²。

图3:通过相似三角形的证明
但这个证明很容易被改写为三角学。
由于𝑎/𝑐=𝑥/𝑎= sin 𝛼,因此有𝑥=𝑎 sin 𝛼=(𝑐 sin 𝛼) sin 𝛼=𝑐 sin² 𝛼,同样地,𝑦=𝑐 cos² 𝛼。
然后𝑐=𝑥+𝑦=𝑐 (sin² 𝛼+ cos² 𝛼),由此得1= sin² 𝛼+ cos² 𝛼=(𝑎/𝑐)²+(𝑏/𝑐)²,因此𝑎²+𝑏²=𝑐²。
但是,在这里使用三角术语并没有增加任何实质内容——实际上只是复杂化了对同一方法的简单视角,因此可以说,这个证明使用了相似三角形而不是三角学。
更一般地,任何证明𝑎²+𝑏²=𝑐²的方法,都可以通过𝑐 sin 𝛼为a和𝑐 cos 𝛼为b(或通过将边长a, b和c重新缩放为 sin 𝛼,  cos 𝛼和1)来重新表述为「三角」证明:首先证明 sin² 𝛼+ cos² 𝛼=1,然后通过反向替换 sin 𝛼=𝑎/𝑐和 cos 𝛼=𝑏/𝑐来证明𝑎²+𝑏²=𝑐²。
这种现象表明,这种迂回的毕达哥拉斯定理的「三角」证明值得被怀疑(即首先证明恒等式 sin² 𝛼+ cos² 𝛼=1),不然,「三角学」就仅仅是用正弦和余弦对边长的重复叙述罢了。
两位作者表示,事实上,她们也不知道如何在毕达哥拉斯定理的「三角」证明和非三角证明之间划清界限。
但根据设定的标准,就可以有一个起点,按照这个标准,两个毕达哥拉斯定理的证明可以算作三角函数的证明。
第一个证明来自J. Zimba,使用了复角公式的代数性质,证明了对任意锐角𝑥,都有 sin ²𝑥 + cos²𝑥 = 1。
另一个证明来自N. Luzia,他使用了复角公式和半角公式,证明了对于任意锐角𝜃,都有 sin²(𝜃/2) + cos²(𝜃/2) = 1。
注意,当角度𝜃/2为45°时,Luzia的方法在等腰直角三角形上不成立,但在45°<𝜃/2<90°时有效,因为此时sin²(𝜃/2) + cos²(𝜃/2) = cos²(90°−𝜃/2) + sin²(90°−𝜃/2) = 1。

勾股定理的五个新证明

至此,两位学生就证明了对于等腰直角三角形的勾股定理,由此开始了勾股定理的五个新证明。
在以下五个证明中的前四个中,她们假设ABC是一个非等腰直角三角形,其中𝑎<𝑏,或者𝛼<45°<𝛽。
每个证明都从一个直角三角形的图形开始。

证明1

证明2

证明3

证明4

证明5

方法

在任何创造性活动中,一个基本问题是:「我能用现有的东西创造出什么?」
在勾股定理中,这个问题就变成了:「我能用给定的直角三角形ABC,创造出什么样的直角三角形?」
为此,作者将新三角形的创建限制在一个条件下:其角度是△𝐴𝐵𝐶的三个角𝛼、𝛽和90°(=𝛼+𝛽)的整数和/或差。
这样一来,问题的答案就简单了。
引理1:
如果ABC是一个等腰直角三角形(𝛼=𝛽=45),那么唯一的角度为𝛼和𝛽的整数线性组合的三角形是等腰直角三角形。
在直角三角形ABC中,如果𝛼 < 𝛽,则存在一个直角三角形,其锐角为2⁢𝛼和𝛽−𝛼。此外,2⁢𝛼和𝛽−𝛼是𝛼和𝛽的唯一整数线性组合,它们将形成每对{𝛼,𝛽}的直角三角形的锐角。
证明:
a. 由于等腰直角三角形ABC的所有角度都是45的倍数,因此任何新三角形(其角度限制为△𝐴𝐵𝐶的角度的和/或差)的所有角度仍然是45的倍数,因此这个三角形必须是等腰直角三角形。
换句话说,如果我们从一个等腰直角三角形开始,不可能创造出一个新三角形。
b. 现在假设𝛼 < 𝛽。
如果新构建的直角三角形的一个锐角为𝑚𝛼 + 𝑛𝛽(𝑚,𝑛∈ℤ),那么它的补角为90 – (𝑚𝛼 + 𝑛𝛽) =(𝛼+𝛽)–(𝑚𝛼 + 𝑛𝛽) = (1−𝑚)⁢𝛼 + (1−𝑛)⁢𝛽。
如果整数n和1−𝑛都不为零,且其中一个(比如n)是负的,那么用⏧𝑛⏧替换n,我们看到其中一个角度为𝑚𝛼 – 𝑛𝛽,其中m>n>0。
但是当𝛼为90⁢𝑛/(𝑚+𝑛)度时,它的补角𝛽为90⁢𝑚/(𝑚+𝑛),这种构造给我们一个角度为𝑚𝛼 – 𝑛𝛽 = 𝑚⁢90⁢𝑛/(𝑚+𝑛) – 𝑛⁢90⁢𝑚/(𝑚+𝑛)=0的三角形。
这种不可能性表明必须有𝑛=0,因此其中一个锐角测量为𝑚𝛼,对于某个𝑚∈ℕ。
如果𝑚=1,那么我们简单地恢复了原来的三角形ABC。
如果𝑚=2,那么我们得到一个新的直角三角形,其锐角测量为2⁢𝛼和𝛽 – 𝛼。(注意2⁢𝛼<90,因为𝛼<45。)
最后,我们看到𝑚≥3是不可能的,因为如果30≤𝛼<45,则不存在这样的三角形。
这项引理准确地指引我们寻找勾股定理的证明(对于非等腰直角三角形):从原来的三角形ABC开始,我们尝试以尽可能多的方式创造一个新的直角三角形,其角度为2𝛼,𝛽 – 𝛼和90度。
例如,创造一个2𝛼角的显而易见的方法是将两个△𝐴𝐵𝐶结合在一起,如图13所示。

图13:创造一个2⁢𝛼角
这样就创建了一个等腰三角形𝐴𝐵𝐵′,其角度分别为2𝛼、𝛽和𝛽,因此下一步是将其中一个𝛽角转化为𝛽 – 𝛼或90度(图13)。
为了在顶点𝐵′形成一个90度的角,我们构造了一条与𝐵⁢𝐵′成𝛼角的射线。延长边AB至与射线在点D相交,就得到了第一个证明的图形(图14)。

图14:创建第一个证明
或者,如果我们在斜边AB的另一侧构造一个2⁢𝛼角,并延长BC至与新射线在点D相交,如下所示,就得到了直接指向第二个证明的图形(图15)。

图15:创建第二个证明
这种简单的方法产生了多个新的证明,其中五个如上图所示,而另外五个或者更多证明方法,可以留待读者去发现。
参考资料:
https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240#d1e4959

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