美国高中女生因数学竞赛，发现勾股定理新证明！论文已发《美国数学月刊》

学术 2024-11-06 00:03 加拿大

转自：新智元

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新智元报道

编辑：Aeneas 好困

【新智元导读】全新的勾股定理证明方法，竟然被两个高中女生证明出来了？而且还一次给了五个方法！陶哲轩对这项工作称赞不已：五个证明与已知证明没有明显相似。而故事的起因，竟是一道高中数学竞赛题。内附两人自述证明过程视频，亮点多多。

两年前，两位高中在读的学生发现了全新的勾股定理证明方法。

遗憾的是，当时并没有更具体的论文，以提供实质性细节。

就在最近，两人的全新论文，在《美国数学月刊》上正式发表了！

论文地址：https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240#abstract

在这篇论文中，两位作者找到了至少五个证明，与任何标准的已知证明都没有明显的相似。

陶哲轩对这项工作称赞不已。

他表示，怎样精确定义两个证明是否相同，是很微妙的。

以往的数学家证明勾股定理，用的多是代数或几何的方法。

然而这两个学生，却采用了一种「三角学」的方法。（作为数学的一个分支，「三角学」主要研究的是三角形的变长和角度之间的关系，尤其是直角三角形。）

具体来说，她们采用了一种主要基于句法的方法：在她们看来，如果一个证明避免使用圆（或坐标），但本质上使用角度，就可以被视为「三角学」证明。

就这样，她们找到了至少5个不同的证明，比如其中一个证明就涉及几何级数求和。

Ne’Kiya Jackson和Calcea Johnson

所以，是否存在「语义」方式，来区别这些证明呢？

陶哲轩表示，理论上这种方式应该是存在的，因为在某些欧几里得几何的变种中，或许本文中的证明有的有效，有的无效，反之亦然。

但即使有没有这种语义方式做区分，两位学生的研究仍然非常引人入胜。

因为——即使是数学中最古老、最基础的结果，有时也可以找到全新的证明角度！

仔细看这个视频，你会注意到真正懂数学的高中生讲起数学题来，是怎样的语气和神情。

古老的勾股定理

勾股定理（亦称毕达哥拉斯定理）是平面几何中一个基本而重要的定理，也是人类早期发现并证明的重要数学定理之一：

平面上的直角三角形的两条直角边的长度（较短直角边为勾长、较长直角边为股长）的平方和等于斜边长（弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。

勾股定理可考的严谨数学证明，起源于欧几里得《几何原本》中卷一的命题47。

如今，已经有了四百多个证明，诸如微分证明、面积证明等。

一道高中竞赛题，500美元奖金

有趣的是，这项震惊数学圈的证明，催化剂竟是一道高中数学竞赛的附加题。

这道题要求找出一种全新的勾股定理证明方法（真是一个敢想，一个敢做）

因为有500美元奖金，两位学生决定尝试一把。

结果两人发现，这比想象的要困难得多……

她们度过了很多个不眠之夜，尝试找到一个证明，却屡屡失败。

好在经过一个月的脑力大爆炸后，两人都找出了新的解法。

她们高中的数学志愿者Rich认为，她们的证明足够新颖，足以在数学会议上展示，因为通常只有专业数学家和大学生才会受邀。

她们开始并没有信心，但还是决定参与。就是这时两人开始展开合作。

接下来的两三个月，两人把课后、周末、假期的所有时间都用来打造这篇论文。

令人惊讶的是，两位高中生的作品得到了认真对待，并被批准在2023年3月的美国数学学会东南分会会议上展示——于是两人成为房间里最年轻的演讲者。

随后，AMS鼓励两人把研究成果提交到学术期刊。

两人从没有为学术期刊写论文的经验，同时还在适应大学环境，需要应付小组论文、实验室数据分析、学习用LaTeX写代码等等任务。

两人表示，在家人和社区的支持下，我们坚持了下来，这段路途绝对不是简单的。

没有现成的路线图，没人保证论文一定能发表。

有很多次，她们都想放弃这件事，好在最终，两人坚持了下来。

令人困惑的三角学

而在这次发表的研究中，两位学生介绍道：在数学中，或许没有哪个学科比三角学更让高中生感到困惑了。

三角学为什么如此令人困惑？或许一个原因是，存在两种不同的方法来定义相同的三角学术语。

图1倒是展示了这些方法是如何被协调的，但结果却适得其反——

学生们或许不会意识到，这两个互不相同的三角学体系，已经被套在了相同的术语上，所以理解起来极其困难。

图1：被作者称为「数学中危害最大的图」

两位作者表示，避免混淆最合理的方法，就是给它们不同的名称，来反映背后不同的理念。

实际上，这些方法中只有一种是三角学的，专注于这个真正的版本，就可以发现大量全新的勾股定理证明！

何为三角函数证明

「trigonometry」这个词来源于希腊词「trigonon」（三角形）和「metron」（测量），因此三角函数是通过测量三角形而得到的。

实际上，三角比中的正弦（sine）和余弦（cosine）定义为锐角𝛼的函数，其方法是创建一个直角三角形ABC，使得𝛼为其中一个锐角（如图2左侧所示），然后比较三边中两条边的长度关系。

sin𝛼被定义为对边BC与斜边AB的比值，cos𝛼则是邻边AC与斜边AB的比值。

图2：正弦和余弦的三角函数和圆周定义

然而，这种正弦和余弦的定义法仅适用于锐角，其他角度则需要完全不同的方法。

对于这些角度，就要使用单位圆，从点(1,0)开始，逆时针方向（对于负角则顺时针）沿圆周移动，直到达到所需的中心角𝛼，最终到达点(𝑥,𝑦)，然后定义cos𝛼=𝑥和sin𝛼=𝑦。

对于锐角来说，这来年各种方法得出的值是相同的，如图1所示。

然而，只有第一种方法可以被合理地称作「三角学」，第二种方法更适宜被叫做「圆周法」，源自希腊词「circle」和「location」。（图2）

它们的区别，意味着通过余弦定律证明毕达哥拉斯定理（我们从𝑐²=𝑎²+𝑏²−2𝑎𝑏 cos 𝛾开始，并令𝛾为直角）是圆周证明而不是三角证明：因为三角学无法计算直角的余弦，而圆周测量告诉我们cos(90°)=0。

同样地，使用cos(𝛼−𝛽)公式证明毕达哥拉斯定理（在恒等式cos(𝛼−𝛽)= cos 𝛼 cos 𝛽+ sin 𝛼 sin 𝛽中，令𝛼=𝛽）也是圆周法而非三角学，使用sin(𝛼+𝛽)公式的证明亦然，其中𝛼和𝛽为互余角。

另外，某个证明是否属于三角学，也可以因其他原因被否认。

例如，如图3所示，毕达哥拉斯定理的最著名的证明之一，就使用了相似三角形△𝐴𝐵𝐶∼△𝐴𝐶𝐷∼△𝐶𝐵𝐷：由于𝑎/𝑐=𝑥/𝑎和𝑏/𝑐=𝑦/𝑏，所以𝑐=𝑥+𝑦=𝑎²/𝑐+𝑏²/𝑐，因此𝑎²+𝑏²=𝑐²。

图3：通过相似三角形的证明

但这个证明很容易被改写为三角学。

由于𝑎/𝑐=𝑥/𝑎= sin 𝛼，因此有𝑥=𝑎 sin 𝛼=(𝑐 sin 𝛼) sin 𝛼=𝑐 sin² 𝛼，同样地，𝑦=𝑐 cos² 𝛼。

然后𝑐=𝑥+𝑦=𝑐 (sin² 𝛼+ cos² 𝛼)，由此得1= sin² 𝛼+ cos² 𝛼=(𝑎/𝑐)²+(𝑏/𝑐)²，因此𝑎²+𝑏²=𝑐²。

但是，在这里使用三角术语并没有增加任何实质内容——实际上只是复杂化了对同一方法的简单视角，因此可以说，这个证明使用了相似三角形而不是三角学。

更一般地，任何证明𝑎²+𝑏²=𝑐²的方法，都可以通过𝑐 sin 𝛼为a和𝑐 cos 𝛼为b（或通过将边长a, b和c重新缩放为 sin 𝛼, cos 𝛼和1）来重新表述为「三角」证明：首先证明 sin² 𝛼+ cos² 𝛼=1，然后通过反向替换 sin 𝛼=𝑎/𝑐和 cos 𝛼=𝑏/𝑐来证明𝑎²+𝑏²=𝑐²。

这种现象表明，这种迂回的毕达哥拉斯定理的「三角」证明值得被怀疑（即首先证明恒等式 sin² 𝛼+ cos² 𝛼=1），不然，「三角学」就仅仅是用正弦和余弦对边长的重复叙述罢了。

两位作者表示，事实上，她们也不知道如何在毕达哥拉斯定理的「三角」证明和非三角证明之间划清界限。

但根据设定的标准，就可以有一个起点，按照这个标准，两个毕达哥拉斯定理的证明可以算作三角函数的证明。

第一个证明来自J. Zimba，使用了复角公式的代数性质，证明了对任意锐角𝑥，都有 sin ²𝑥 + cos²𝑥 = 1。

另一个证明来自N. Luzia，他使用了复角公式和半角公式，证明了对于任意锐角𝜃，都有 sin²(𝜃/2) + cos²(𝜃/2) = 1。

注意，当角度𝜃/2为45°时，Luzia的方法在等腰直角三角形上不成立，但在45°<𝜃/2<90°时有效，因为此时sin²(𝜃/2) + cos²(𝜃/2) = cos²(90°−𝜃/2) + sin²(90°−𝜃/2) = 1。

勾股定理的五个新证明

至此，两位学生就证明了对于等腰直角三角形的勾股定理，由此开始了勾股定理的五个新证明。

在以下五个证明中的前四个中，她们假设ABC是一个非等腰直角三角形，其中𝑎<𝑏，或者𝛼<45°<𝛽。

每个证明都从一个直角三角形的图形开始。

证明1

证明2

证明3

证明4

证明5

方法

在任何创造性活动中，一个基本问题是：「我能用现有的东西创造出什么？」

在勾股定理中，这个问题就变成了：「我能用给定的直角三角形ABC，创造出什么样的直角三角形？」

为此，作者将新三角形的创建限制在一个条件下：其角度是△𝐴𝐵𝐶的三个角𝛼、𝛽和90°（=𝛼+𝛽）的整数和/或差。

这样一来，问题的答案就简单了。

引理1：

如果ABC是一个等腰直角三角形（𝛼=𝛽=45），那么唯一的角度为𝛼和𝛽的整数线性组合的三角形是等腰直角三角形。

在直角三角形ABC中，如果𝛼 < 𝛽，则存在一个直角三角形，其锐角为2⁢𝛼和𝛽−𝛼。此外，2⁢𝛼和𝛽−𝛼是𝛼和𝛽的唯一整数线性组合，它们将形成每对{𝛼,𝛽}的直角三角形的锐角。

证明：

a. 由于等腰直角三角形ABC的所有角度都是45的倍数，因此任何新三角形（其角度限制为△𝐴𝐵𝐶的角度的和/或差）的所有角度仍然是45的倍数，因此这个三角形必须是等腰直角三角形。

换句话说，如果我们从一个等腰直角三角形开始，不可能创造出一个新三角形。

b. 现在假设𝛼 < 𝛽。

如果新构建的直角三角形的一个锐角为𝑚𝛼 + 𝑛𝛽（𝑚,𝑛∈ℤ），那么它的补角为90 – (𝑚𝛼 + 𝑛𝛽) =(𝛼+𝛽)–(𝑚𝛼 + 𝑛𝛽) = (1−𝑚)⁢𝛼 + (1−𝑛)⁢𝛽。

如果整数n和1−𝑛都不为零，且其中一个（比如n）是负的，那么用⏧𝑛⏧替换n，我们看到其中一个角度为𝑚𝛼 – 𝑛𝛽，其中m>n>0。

但是当𝛼为90⁢𝑛/(𝑚+𝑛)度时，它的补角𝛽为90⁢𝑚/(𝑚+𝑛)，这种构造给我们一个角度为𝑚𝛼 – 𝑛𝛽 = 𝑚⁢90⁢𝑛/(𝑚+𝑛) – 𝑛⁢90⁢𝑚/(𝑚+𝑛)=0的三角形。

这种不可能性表明必须有𝑛=0，因此其中一个锐角测量为𝑚𝛼，对于某个𝑚∈ℕ。

如果𝑚=1，那么我们简单地恢复了原来的三角形ABC。

如果𝑚=2，那么我们得到一个新的直角三角形，其锐角测量为2⁢𝛼和𝛽 – 𝛼。（注意2⁢𝛼<90，因为𝛼<45。）

最后，我们看到𝑚≥3是不可能的，因为如果30≤𝛼<45，则不存在这样的三角形。

这项引理准确地指引我们寻找勾股定理的证明（对于非等腰直角三角形）：从原来的三角形ABC开始，我们尝试以尽可能多的方式创造一个新的直角三角形，其角度为2𝛼，𝛽 – 𝛼和90度。

例如，创造一个2𝛼角的显而易见的方法是将两个△𝐴𝐵𝐶结合在一起，如图13所示。

图13：创造一个2⁢𝛼角

这样就创建了一个等腰三角形𝐴𝐵𝐵′，其角度分别为2𝛼、𝛽和𝛽，因此下一步是将其中一个𝛽角转化为𝛽 – 𝛼或90度（图13）。

为了在顶点𝐵′形成一个90度的角，我们构造了一条与𝐵⁢𝐵′成𝛼角的射线。延长边AB至与射线在点D相交，就得到了第一个证明的图形（图14）。

图14：创建第一个证明

或者，如果我们在斜边AB的另一侧构造一个2⁢𝛼角，并延长BC至与新射线在点D相交，如下所示，就得到了直接指向第二个证明的图形（图15）。

图15：创建第二个证明

这种简单的方法产生了多个新的证明，其中五个如上图所示，而另外五个或者更多证明方法，可以留待读者去发现。

参考资料：

https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240#d1e4959

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MjM5MTAyNjcyMA==&mid=2656668762&idx=3&sn=0623a18bb0160ef8922383b963409721

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