Stata-JPE论文重现：资本深化与非平衡经济增长

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作者： 陈文武 (湖南大学)
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目录

• 1. 引言

• 2. 非平衡增长模型

• 2.1 居户偏好与生产

• 2.2 竞争均衡与社会规划问题

• 2.3 静态均衡

• 2.4 动态均衡

• 3. 数值分析

• 4. 结论

• 5. 参考文献

• 6. 相关推文

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原文信息：

Acemoglu D, Guerrieri V, 2008. Capital Deepening and Nonbalanced Economic Growth[J]. Journal of Political Economy, 116(3): 467–498.

说明：
 [1] 文章所有命题和定理的具体数学证明过程请见原文。本文目的在于阐述清楚文章的理论机制和方法，故不展示具体的数学证明过程。
 [2] ⭕ 文章实证分析和数值分析部分的代码下载链接：https://economics.mit.edu/files/5052

1. 引言

传统经济增长模型的构建都力求与“卡尔多事实（Kaldor facts）”保持一致，即增长率、资本产出份额、资本收入份额以及利率在长期中都为保持不变的常数（Kaldor 1961; Denison 1974; Homer and Sylla 1991; Barro and Sala-i-Martin 2004）。然而，在平衡增长的背后，经济的产业结构无时不在发生重要变化（Kuznets 1957, 1973; Chenery 1960; Kongsamut, Rebelo and Xie, 2001）。

因此，最近一些文献构建了能够同时解释“卡尔多事实”与经济产业结构变化的经济增长模型（Matsuyama, 1992; Echevarria, 1997; Laitner, 2000; Caselli and Coleman, 2001; Kongsamut, Rebelo and Xie, 2001; Gollin, Parente, and Rogerson, 2002）。

这些文献主要强调了导致非平衡增长的需求方面的原因。具体的，不同商品之间的边际替代率随着经济增长而变化，从而直接导致经济中各部门的非平衡增长。然而，导致非平衡增长的供给方面的原因未得到充分关注。Baumol(1967)指出，供给方面不同部门生产率增长差异是导致经济非平衡增长的重要原因。

为了理清 Baumol(1967)所指出的供给方面因素导致非平衡增长的理论机制，作者构建了一个由劳动密集型和资本密集型两部门构成的增长模型。

直觉上，如果资本-劳动比率的增加使得资本密集型部门的产出增加得更多，资本深化的过程自然会导致非平衡经济增长。为了理清这一经济机制，作者构建了一个包括资本密集型部门和劳动密集型部门的两部门动态一般均衡。

在模型中，资本密集型部门和劳动密集型部门的生产都用 Cobb-Douglas 生产函数描述，最终产品生产以本密集型部门和劳动密集型部门的产出作为投入，并用常要素替代弹性生产函数描述。模型分析表明，模型经济均衡时在部门水平表现出非平衡增长，但在长期中与卡尔多事实保持一致。已有经验文献一般认为，在现实情形中，部门间要素替代弹性小于 1。此时，资本密集型部门相对于劳动密集型部门的产出增长得更快，但与此同时，资本密集型部门产出价格相对于其产出增长，下降幅度更大，从而导致其价格加权的产出价值相对于劳动密集型部门增长反而更慢。最后，本文模型分析还表明，资本和劳动会从产出增长更快的部门流动到其他部门。

图 1 显示了过年 60 年美国资本密集型部门与劳动密集型部门在产出、价格加权产出价值和劳动力投入三个方面的相对比例的辩护。图中产出比例、价格加权产出价值比例和劳动力投入比例的变化趋势与本文理论模型结论一致，即资本密集型部门的产出增长得更快，但劳动密集型部门的价格加权产出价值产出价值和劳动力投入增长得更快。

最后，在对本文模型参数校准的基础上，进行数值模拟分析。本文模型数值模拟产生的资本密集型部门相对增长率时间路径与美国经济过去 60 年的经验数据一致。例如，本文模型产生的资本密集型行业相对产出的增长，使得劳动密集型部门的相对就业从 1/6 增长到 1/3，这与美国 1948 年至 2004 年数据的变化相一致。数值模拟还表明，经济向渐近均衡配置收敛的过程非常缓慢，在转移路径上，资本收入份额和利率水平几乎恒定，这与卡尔多事实一致。

2. 非平衡增长模型

本节构建一个包含外生技术进步的两部门模型。

2.1 居户偏好与生产

代表性居户偏好为：

其中 表示 期人均消费， 表示时间偏好率， 表示跨期消费替代弹性的倒数（或相对风险厌恶系数）。劳动无弹性地供给，并等于人口规模 ，人口增长率为 ，因此有：

最终产品竞争性地生产，以部门 1 和部门 2 的产出作为投入，采用常要素替代生产函数：

其中 表示替代弹性，参数 。部门 1 和部门 2 的生产都使用资本和劳动投入。资本折旧率为 。

经济总资源约束为：

其中 表示总消费，投资包括新增加的资本 和折旧 。

部门 1 和部门 2 的产出都竞争性地生产，生产函数为：

其中 ，， 和 分别表示部门 1 和部门 2 的资本投入、劳动投入。

如果 ，则最终产生生产函数为标准的 Cobb-Douglas 生产函数形式。本文关注 的情形。不失一般性，我们做出以下假设。

假设 1 部门 1 是劳动密集型部门，部门 2 是资本密集型部门，即：

部门 1 和部门 2 的技术进步都外生，技术进步率分别为：

资本市场出清条件：

其中 表示总资本存量。

劳动力市场出清条件：

其中 表示总劳动。

2.2 竞争均衡与社会规划问题

令 表示资本租金率， 表示工资率， 表示利率。此外，令 、 分别表示 和 的价格。将最终产品价格标准化为 1，因此有：

竞争均衡定义为要素投入和中间产品价格的时间路径 ；劳动和资本配置 使得企业实现利润最大化，资本市场和劳动市场出清；消费和投资决策 使得代表性居户实现效用最大化。

由于市场是完全的和竞争性的，由第二福利定理可知，竞争均衡与社会规划均衡等价。因此，我们可以通过求解社会规划问题来刻画竞争均衡。社会规划（Social Planner, SP）问题为：

受到（2）、（6）、（7）、（8）式的约束，并受到以下资源约束：

给定初始值 ，，，。

求解上述动态最优化问题，约束式乘子则为相应的竞争性价格。例如，给定（9）式最终产品标准化价格，这相当于约束式（10）的乘子被标准化为 1，而约束式（7）和（8）的乘子则分别给出了资本租金率 和劳动工资率 。由此可知中间产品价格为：

2.3 静态均衡

社会规划者问题的求解可分为两步。第一，在给定状态变量 ，， 和 的条件下，求解要素配置 ，，， 使得最终产品产出 最大化。第二，在最优要素配置的基础上，求解 和 ，使得目标函数最大化。这两步分别对应静态最优配置（静态均衡）和动态最优配置（动态均衡）。本节求解静态均衡，下一节求解动态均衡。

首先定义给定资本存量时的产出最大值函数为：

约束条件为（5）、（6）、（7）、（8）式，以及给定 ，， 和 。显然，上述最优化问题的一阶条件为部门 1 和部门 2 的资本、劳动边际产出分别相等，即：

由于上述静态最优化问题的关键决策是确定资本、劳动在两个部门的投入占比，我们定义劳动密集型部门（部门 1）的资本投入占比和劳动 投入占比分别为：

显然，我们有 ，。将上式代入（13）、（14）式，得到：

以及：

（16）式表明，在任意时期 ，部门 1（劳动密集型部门）的劳动投入占比 关于资本投入占比 严格递增。下面命题 1 给出了劳动密集型部门的资本投入占比如何随着资本积累和技术进步而变化。

命题 1 在竞争均衡中，有：

（17）式表明，当 时，劳动密集型部门的资本投入占比随着资本深化而增加；当 时，劳动密集型部门的资本投入占比随着资本深化而减少。该结论的经济直觉是，注意到如果 增加， 保持不变，则资本密集型部门和劳动密集型部门的资本投入等比例的增加，那么资本密集型部门的产出增加得更多。再由（11）式表示的中间产品价格可知，当 时，资本密集型部门产出价格降低幅度大于其产出增加增加幅度，从而资本密集型部门的资本边际收益小于劳动密集型部门资本边际收益，进而导致更多的资本流入到劳动密集型部门。当 ，其经济直觉类似。上述命题的重要含义是，只要 ，且存在资本深化（即 随时间递增），则经济增长是非平衡的，资本密集型部门和劳动密集型部门的资本投入增加是不等比例的。

（18）式表明，如果替代弹性 ，则劳动密集型部门的技术进步导致该部门资本投入占比降低。该结论的经济直觉与上一个结论类似：当 ，劳动密集型部门的技术进步导致其产量提高，同时导致劳动密集型部门产品价格下降得更多，进而使得资本投入从劳动密集型部门流动至资本密集型部门（当 时，经济直觉类似）。

代入（16）式，即可将命题 1 关于 的结论应用于 。具体的，我们有 ，。

均衡要素价格 和 分别与约束式（7）和（8）的乘子相对应，因而有：

其中 表示最大值产出函数 关于资本 的倒数。与往常一样，均衡要素价格等于由（10）式得到的最大值产出函数的边际产出。为了获得对经济机制的直觉，接下来我们分析状态变量 、、 和 对均衡要素价格的影响。用（19）式除以（20）式，得到相对要素价格：

以及资本收入份额：

由此可得以下命题。

命题 2 在竞争均衡中有：

以及：

命题 2 中最重要的结论是（23）式，其将资本存量对资本收入份额的影响与部门替代弹性 联系起来。（23）式表明，资本收入份额与资本存量之间的负向关系等价于部门间替代弹性小于 1。直觉上，经济中资本存量的增加导致资本密集型部门的相对产出增加。当 时，这使得资本密集型部门的资本价格下降更多，从而使得资本收入份额降低。 时的直觉类似。

此外，（24）式表明，当 ， 的增大相当于“资本偏向型技术进步”， 的增大相当于“劳动偏向型技术进步”。资本密集型部门生产率提高相当于“劳动偏向型技术进步”的经济直觉与前文类似：当部门提高弹性 ，由一部门技术进步驱动的产出增长导致价格降低得更多，从而使得该部门密集型要素的相对报酬降低（Acemoglu, 2002）。当 ，结论相反， 的增长相当于“劳动偏向型技术进步”， 的增长相当于“资本偏向型技术进步”。

2.4 动态均衡

本节利用社会规划问题（SP）描述经济的动态均衡配置。前一节在给定 、、 和 的条件下描述了经济静态最优资源配置，并推导了最大值产出函数 。给定 ，社会规划问题（SP）可以写为：

约束条件：

资本初始值为 。上述动态最优化问题比最初的动态最优化问题（SP）简单，但由于约束式（25）不是一个自治微分方程，其与在经济增长模型中遇到的动态最优化问题仍然不一样。为了进一步简化上述动态最优化问题，我们将对变量进行变换。但首先我们做出以下假设：

假设 2 (i) $m_1/\alpha_1<m_2 \alpha_2$="" 并且="" $\varepsilon<1$，或(ii)="" m_1="" alpha_1="">m_2/\alpha_2\varepsilon>1$。

上述假设使得劳动密集型部门（部门 1）是渐近主导部门。渐近主导部门是指决定经济长期增长率的部门。注意到上述假设不是直接对外生技术进步率 和 进行比较，而是将 和 进行比较。本无将 称为扩展的技术进步率。原因在于两个部门的资本密集不同，而技术进步提高生产效率的作用会受到不同资本积累率的影响。例如，当两个部门的技术进步率相同时，由于资本积累的影响，资本密集型部门的生产率的劳动密集型部门的生产率提高得更多。

当 ，扩展的技术进步率低的部门是渐近主导部门。原因在于，当 ，两个部门的产出互补性较强，因此增长更慢的部门决定了经济的渐近增长率。当 则相反，扩展的技术进步率高的部门是渐近主导部门，决定经济的渐近增长率。因此，假设 2 使得劳动密集型部门（部门 1）是渐近主导部门。

现在我们引入以下标准化变量：

、 分别表示被扩展技术 标准化的人均消费和人均资本。下面的命题表明，社会规划者问题（SP）的解可以表示为由变量 、 和 构成的自治微分方程组。

命题 3 如果假设 1 和假设 2 成立，则竞争均衡满足以下微分方程组：

其中：

初始值为 ，，并且满足以下横截条件：

任何满足（27）—（29）的资源配置方式是竞争均衡。

（27）式中的第一个等式是以标准化变量表示的欧拉方程。括号中的第一项是 是资本边际产品。（27）式中的第二个等式是标准化资本存量 的运动方程。（27）式中的第三等式则刻画了资本在两个部门的配置演化过程。为了确保横截条件成立，我们做出以下假设：

假设 3

接下来我们利用命题 3 来更严密地描述动态均衡配置。为此，我们先定义常数增长路径（_constant growth paht_, CGP）表示总消费增长率为常数的情形。下文定理将表明社会规问题（SP）存在唯一常数增长路径，并将给出均衡时各内生变量增长率解析形式。常数增长路径的显著特征是，虽然总消费增长率为常数，但由于资本密集型部门和劳动密集型部门的产出、资本以及就业的增长率不同，经济增长是非平衡的。

我们首先定义各变量增长率：

其中 、、 和 分别表示 部门的劳动增长率、资本增长率、技术增长率和产出增长率。此外，当极限存在时，我们用带星号的表示渐近增长率，，，。类似的，我们将渐近的资本和劳动配置表示为：

基于上述定义，我们有以下定理。

定理 1 如果假设 1—3 成立，则存在唯一常数增长路径，其中人均消费增长率 ，，

两个部门的产出增长率、资本增长率和就业增长率分别为：

其中，

上述定理有三个方面的重要含义。第一，增长是非平衡的，两个部门以不同的渐近增长增长率增长。这一结果的直觉具有一般性，其原因是部门间要素比例差异和资本深化。具体的，考虑存在由技术进步驱动的资本深化。此时如果资本和劳动力都按固定比例分配到两个部门，则资本密集程度更高的部门，即部门 2，将比部门 1 增长得更快。部门 2 的更快增长导致其价格水平降低，进而导致资本和劳动流入部门 1。然而，这种资本和劳动配置流动不能完全抵消部门 2 产出的更快增长。因为如果这样，价格就不会变化，进而资本和劳动就不会在部门间流动。因此，增长必定是非平衡的。具体的，如果 ，资本和劳动将从增长更快的部门流向增长更慢的部门。此时增长更慢的部门是渐近主导部门，决定经济的总产出增长率，如（32）式所示。值得指出的是，相对于部门 2，部门 1 增长得更慢是因为假设 2，当 时，有 $m_1/{\alpha_1}<m_2 \alpha_2$。因此有="" $y_1="" y_2\to0$。<="" p="">

第二，上述定理表明，在常数增长路径上，部门 1 的资本和劳动投入占比趋于 1（即 ）。但这是极限情形，实际上在任何时期，两个部门的产出都为正，并且增长率大于人口增长率。此外，由（34）式可知，在 时有 。由此可知，虽然部门 2 是资本、劳动流出部门，即使在渐近情形，其产出增长率仍然大于部门 1。

最后，可以验证在常数增长路径上，资本收入份额和利率都为常数。例如，在假设 2 下，我们有 。这意味着，渐近资本收入份额等于渐近主导部门（部门 1）的资本收入份额。此外，在假设 2 下，渐近利率水平为：

上述结论表明，本文模型经济在部门水平上具有非平衡增长的特征，同时在总体上又与卡尔多事实相一致。

3. 数值分析

⭕ 文章实证分析部分的 Stata 复现资料下载链接：
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本节在对模型参数进行校准的基础上，对模型进行数值分析，进而用本文模型来解释美国经济从 1948 年到 2005 年的增长过程。我们首先将美国经济各个产业分为资本密集型部门（部门 2）和劳动密集型部门（部门 1）两类。具体如下表 1 所示：

通过参数校准，得到模型各参数及初始值的取值如下表 2 所示：

在上述参数取值的基础上，利用打靶方法（Shooting algorithm）和最小化残差方法（Minnimizing the squared residuals）（Judd, 1998）求解模型数值解。得到结果如下图 2 所示：

图 2 描述了部门 1 的劳动投入占比（）、资本投入占比（），利率（）和资本收入份额（）在 1948 年到 2098 年的 150 年间的演化情况。

图 2 中有两个方面的特性值得注意。第一，在 150 年间，资本和劳动配置出了较大变化，大量资本和劳动从资本密集型部门流入劳动密集型部门，但仍然与渐近状态（）相距甚远。实际上，模型经济需要超过 5000 年的时间才能达到渐近均衡。这说明，本文模型经济产生了相对缓慢的动态，但在动态过程中，经济发生了巨大的结构性变化。第二，虽然在行业层面增长是非平衡的，但利率和资本收入份额几乎保持不变。具体的，利率从 9.5%下降到 9%，然后在 9%的水平保持不变。资本收入份额在 150 年间仅经历了略微的下降。

表 3 比较了本文模型数值解与美国在 1948 年到 2005 年的经验数据。表 3 第一列和第二列分别是美国在 1948 年的和 2005 年的现实数据，第三第四列是本文模型数值解。从表中可以看出，本文模型数值解与美国经验数据基本一致。具体的，美国经验数据表明部门间产出比 、劳动投入比 和资本收入份额 分别在 1948 年至 2005 年间增长 19%、降低 23%和基本保持不变（从 0.398 降低到 0.396）。本文模型数值解则表明 、 和 分别在 1948 年至 2005 年间增长了 17%、降低了 4%和基本保持不变（从 0.392 降低到 0.389）。

表 3 经验数据与模型数值解比较

有上述数值分析可知，本文模型的理论机制能够解释现实中观察到的美国经济经验数据。具体而言，即在经济发展过程中，产业结构发生变化，但资本收入份额基本保持不变。

4. 结论

作者模型化了由部门间要素投入比例差异和资本深化驱动的非平衡增长的经济机制。具体的，作者构建了一个部门间具有常替代弹性，每个部门采用 Cobb-Douglas 生产函数的两部门动态一般均衡模型，在此基础上分析了模型的静态均衡和动态均衡。模型分析表明，均衡时经济非平衡增长，即两个部门的产出增长不同。但与此同时利率水平与资本收入份额为常数，从而与卡尔多事实一致。

文章的主要理论贡献是，证明了资本深化与不同部门间要素投入差异的相互作用会导致非平衡增长，与此同时与总量水平上的卡尔多事实保持一致。此外，文章还利用美国经济的经验数据对模型参数进行校准，并在基础上进行了数值分析。结果表明模型产生的经济动态与美国经济从 1948 年到 2005 年间的经验数据能够较好吻合。

5. 参考文献

1. Kaldor, Nicholas. 1961. “Capital Accumulation and Economic Growth.” In The Theory of Capital: Proceedings ofa Conference of the International Economic Associ- ation, edited by Friedrich A. Lutz and Douglas C. Hague. London: Macmillan.
2. Denison, Edward F. 1974. Accountingfor United States Economic Growth, 1929–1969. Washington, DC: Brookings Inst.
3. Homer, Sydney, and Richard Sylla. 1991. A History ofInterest Rates. NewBrunswick, NJ: Rutgers Univ. Press.
4. Barro, Robert, and Xavier Sala-i-Martin. 2004. Economic Growth. Cambridge, MA: MIT Press.
5. Kuznets, Simon. 1957. “Quantitative Aspects ofthe Economic Growth ofNations: II. Industrial Distribution of National Product and Labor Force.” Econ. Development and Cultural Change 5, no. 4 (July; suppl.): 1–112. ———. 1973. “Modern Economic Growth: Findings and Reflections.” A.E.R. 63 (June): 247–58.
6. Chenery, Hollis. 1960. “Patterns of Industrial Growth.” A.E.R. 50 (September): 624–54.
7. Kongsamut, Piyabha, Sergio Rebelo, and Danyang Xie. 2001. “Beyond Balanced Growth.” Rev. Econ. Studies 68 (October): 869–82.
8. Matsuyama, Kiminori. 1992. “Agricultural Productivity, Comparative Advantage and Economic Growth.” J. Econ. Theory 58 (December): 317–34.
9. Echevarria, Cristina. 1997. “Changes in Sectoral Composition Associated with Economic Growth.” Internat. Econ. Rev. 38 (May): 431–52.
10. Laitner, John. 2000. “Structural Change and Economic Growth.” Rev. Econ. Stud- ies 67 (July): 545–61.
11. Caselli, Francesco, and John Coleman. 2001. “The U.S. Structural Transforma- tion and Regional Convergence: A Reinterpretation.” J.P.E. 109 (June): 584– 617.
12. Gollin, Douglas, Stephen Parente, and Richard Rogerson. 2002. “The Role of Agriculture in Development.” A.E.R. Papers and Proc. 92 (May): 160–64.
13. Baumol, William J. 1967. “Macroeconomics of Unbalanced Growth: The Anat- omy of Urban Crisis.” A.E.R. 57 (June): 415–26.
14. Acemoglu, Daron. 2002. “Directed Technical Change.” Rev. Econ. Studies 69 (Oc- tober): 781–810.

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