本文节选自《车辆耐久性载荷分析概述》第三章
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《车辆耐久性载荷分析概述》李旭东 田程 著
3.2 载荷编辑方法
3.2.1 时域信号编辑
3.2.1.1 原始数据中信号异常的剔除
3.2.1.1.1 方差滤波
如图3-20上面的信号所示，含有比较尖锐的毛刺，这种干扰在的日常（道路）载荷数据采集活动中是比较常见的。在去除毛刺的过程中，第一个要关心的信息是构成毛刺的信号大概由多少个采样点组成。如图3-20所示，是把一个毛刺局部充分放大之后的图片，可以看到，这样一个典型毛刺大概由4个采样点组成。这里不用太纠结，不同的毛刺涉及到的采样点数目可能会有一定的波动，但是在一次采集活动中基本会稳定在一个范围内，说一个信号中的一根毛刺由N个采样点组成，这个N只要大体反应这样一个范围就可以。
在下面的取值过程中需要参照如下重要的黄金法则：𝑚 = 2 × 𝑁(或 3 × 𝑁) 𝑛 = 2 × 2 × 𝑁(或 3 × 3 × 𝑁)。
图3-20 含有毛刺的原始信号以及方差滤波方法中参考的方差数值2
图3-21 一个典型毛刺的局部放大及构成这一毛刺的采样点
方差滤波的第一步，以原始信号xi 为中心，选取(n+1)个连续的数据点组成数据块，对于这个数据块的(n+1)个点求平均值𝑥̅𝑖
这样一来，原始信号xi与这一平均值之间的差值ri可以计算获得
后面的处理完全以ri 为处理对象。以ri 为中心，选取(m+1)个连续的数据点组成数据块，对于这个数据块的(m+1)个点求方差
其中，𝑟̅𝑘是这(m+1)个连续数据点组成数据块的均值。
如图3-20下面的曲线所示，即为𝑣𝑖的结果。可以看到，当数据含有毛刺的时候，与毛刺相对应的位置和时刻𝑣𝑖的值都比较大。因此，以𝑣𝑖作为一个判据，当𝑣𝑖大于某一个值的时候认为对应的数据段中包含有一个毛刺，这样把这个数据段的第一个点和最后一个点之间做线性连接，代替原来的数据，从而抹平毛刺。由于𝑣𝑖在其中扮演核心判据的作用，因此将这一毛刺去除方法称为方差滤波。
所以总结起来，采用方差滤波大体要分为两个步骤和阶段：在合理的选取m 和n 的前提下，第一步，需要先计算和输出方差结果，并根据这一结果选取一个合理的门槛值；然后第二步，依据这个门槛值把相关的毛刺去除掉（方差滤波，把方差值高于门槛值的信号滤除掉）。这种两步走的方法，在操作上限制了流程化和批处理的使用，比较适合于交互式的操作模式。
因此，为了更适合通过流程的方式来去除信号中的毛刺，在TecWare的ProcessBuilder中包含了“Spike Removal (basic)”函数，这是一个算法层面更加基本的毛刺去除方法，算法做了简化，但是更适合流程化处理。在该处理中，程序对于所输入的整段完整的时域数据计算方差，将该方差线性放大或缩小（这个尺度可以程序控制）后作为门槛值，如果一段信号（这段信号多长，可以程序控制）中的数据变化量超过了这一门槛值，就认为这一段信号中存在毛刺，进行相应的光滑处理。这种方法在信号修正精度方面做了妥协，但是比较适应采用流程化的方式进行操作。
3.2.1.1.2 漂移及TecWare软件对于漂移的处理原理
如图3-22下面的信号所示，是一个理想的时域信号，而图3-22上面的信号则出现了漂移，它是理想信号与一个缓变（低频）的干扰信号叠加后的结果。比如说，应变测量过程中常常会发生漂移，而其中的缓变（低频）干扰信号一般是由测试区域局部的温度改变而引发的。
TecWare软件对于信号中漂移的纠正算法比较简单明了。
如图3-23所示，首先将时域信号分块（block），每一个块的长度（Block length）是一个比较重要的参数设置（如图3-23所示），一般来说，选取0.5s到1s的信号作为一个块的长度。如果对于所推荐的0.5s到1s的Block length参数不把握，可以通过控制“Output”选项来强制输出Correction channel结果来判断一下，所选择的Block length长度是否是合适的。
如图3-24所示，可以通过控制“Output”选项来控制输出的数据是“Correction channel”还是“Corrected data”。如图3-24所示，所谓“Corrected data”是指修正后的结果，如图3-25下方的红色数据所示，这是一个默认选项；所谓“Correction channel”是指采用相关的块长度（Block length）以及其他参数设置（主要是指Quantile，一般设置为0.5）计算出来的修正数值，如图3-25上方的红色数据所示。正是这一结果可以用来查看和评估所选择的Block length是否合适。
如果选取了比较合适的Block length的数值，那么还要注意，TecWare在相关的算法中“强制”采用了50％的overlap平均。之所以这样做，是为了避免对于稳态随机信号进行加窗之后出现频谱成分的遗漏和信号的丢失。
在选取了合适的Block length之后，如图3-26所示，程序对于每一个块的数据进行统计，计算其中位数数值（如图3-24所示，当Quantile选择默认的0.5，那么就意味着选定了中位数）。
如图3-24所示，Task一般选择默认的“Quantile to target value”，而Target value则是目标均值，也就是说，如果信号没有受到漂移的干扰，这个均值应该在一个怎样的水平上。然后，程序会根据每一个数据块的“中位数”，与这个Target value之间的差值，把每一个数据块做相应的“平移”，即修正。
以上就是TecWare软件对于时域数据漂移进行修正的全部算法逻辑，以及涉及到的相关操作参数的解释。
1） 如果一个数据的漂移趋势比较简单，比如说是所谓的线性漂移（一直随时间的延伸以恒定的速率而增大或缩小），或者是整体漂移，那么TecWare软件中实际上有相关的命令对于这种漂移进行更轻松的处理。不过认为可以把所有漂移的修正，都统一到一个操作命令之下，用最少的软件操作命令和算法逻辑解决尽可能多的事情。
2） 可以考虑通过高通滤波来解决同样的问题，那么问题的关键在于用足够的频率分辨率来进行频谱分析，找到高通滤波时合适的频率门槛。由于高通滤波会滤掉直流成分，这就意味着通过这一思路进行漂移修正时，目标均值都是0。那么对于目标均值不是0的情况，还要做一个信号整体的偏置运算，多了一道手续。所以，从操作上说，这是一个思路，不过还是采用这一节介绍的TecWare软件的相关命令来处理，比较专业和顺手。
图3-22 时域信号中的漂移2
图3-23 TecWare在做漂移修正时对时域信号的分块和overlap平均2
图3-24 TecWare软件进行漂移修正时涉及到的几个需要设置的参数
图3-25 两个可以Output的数据：“Correction channel”和“Corrected data”2
图3-26 Quantile设置为默认的0.5即中位数2
3.2.1.2 重采样
3.2.1.2.1 时域信号的重建、内插值及重采样
获取一个数字采样点x，可以看作用一个函数在某一时刻与模拟信号x(t)在某一时刻点乘的过程。以此类推，按照采样率fs对模拟信号x(t)在一系列有序时间点上进行采样的过程，在数学上可以表示为模拟信号x(t)与一系列有序函数点乘的过程，这一过程称之为理想采样过程，这一有序函数如图3-27左图所示，往往称之为“梳状函数”（像梳子一样的函数），表示为：
因此，理想采样过程在数学上可以表示为：
这里，x(t)为按照采样定律已经进行过抗混叠滤波预处理的载荷。这里，有了梳状函数以及上述对于理想采样过程的数学描述，实际上不难理解甚至推导采样定理。不难推得，梳状函数Comb(t, Ts)的频谱Comb(f, fs)也是梳状函数，如图3-27右侧图所示：
根据傅里叶变换的性质：的傅里叶变换，等于两者傅里叶变换的卷积。因此，采样点序列的频谱特征需要用的频谱X(f)与上述C做卷积求得，即：
也就是说，如图3-27右侧图所示，采样后的频谱是将原信号的频谱依次平移fs 至各采样脉冲对应的频域序列点上，然后全部叠加而成。因此，如果让这种平移和重叠后的频谱不包含混叠成分，为后期信号重建打下基础，必须保证fs>2fh 的采样定理得到满足。
图3-27 梳状函数
为了下一步讲清楚信号的重建，谈一下矩形函数与sinc 函数。如图3-28左上图所示，是常用的窗函数之一——矩形窗。可以证明，矩形窗函数经过傅里叶变换后的幅频函数W(f)=T·sinc(πfT) ，其中T 为矩形窗的窗宽，sinc 函数为 是信号分析中非常重要而常用的函数。
图3-28 矩形窗与sinc函数，以及傅里叶变换的对称性
另外，为了下一步讲清楚信号的重建，谈一下傅里叶变换的两个重要性质：
第一，对称性。如图3-28所示，傅里叶变换对在时域与频域中具有对称性，也就是说，如果时域里面是一个矩形窗函数，那么频域里面对应一个sinc函数；同样，如果频域里面是一个矩形窗函数，那么时域里面对应一个sinc函数。
第二，卷积。两个时域信号乘积的傅里叶变换，等于两者傅里叶变换的卷积（这一条在上面的分析中已经碰到和使用过）；两个频域信号乘积的傅里叶逆变换，等于两者傅里叶逆变换的卷积（这个将在下面用到）。
根据上所述，对于信号进行理想采样之后，相当于将原信号的频谱进行一系列的平移然后叠加的过程。因此，在此基础上要重建信号，需要将这一采样信号的频谱进行一个（理想）低通滤波，然后再返回时域。
将采样信号的频谱进行（理想）低通滤波，相当于在频域内将其频谱点乘一个矩形窗函数。根据卷积的性质，将滤波后的信号返回时域，相当于在时域内将各自信号的傅里叶逆变换进行卷积；根据对称性，（理想）低通滤波器的傅里叶逆变换为sinc函数，因此，有重建后的信号𝑥 ̂(𝑡)为
式中，tk=k/fs。
有了如上内插值公式后，很容易完成在新的采样率fnew-s下系列采样点的重采样过程和数值计算，即
式中，𝑡̃𝑙 = 𝑙/𝑓𝑛𝑒𝑤−𝑠
这里唯一需要注意的是，如果新的采样频率高于原来的采样频率，那么，什么也不需要做，但是，如果新的采样频率低于原来的采样频率，那么，在重采样之前，依然需要按照采样定律的要求对于原来的信号进行抗混叠滤波，然后再进行采样。
3.2.1.2.2 对于档位信号进行常规重采样时的 Gibbs 现象
如图 3-29 所示，如果对于档位信号以及类似的矩形方波信号按照如上介绍的方法和流程进行
重采样，将不可避免的产生 Gibbs 现象，因此，TecWare 软件中对于此类矩形方波信号的重采样有专门的命令来执行，其实质是一种数学逻辑上更为简单的线性插值。
图3-29 对于档位信号进行重采样时出现的Gibbs现象困扰
3.2.1.3 滤波
（数字）滤波器的设计和应用是数字信号分析处理领域比较专业的一个分支，涉及到的知识和技术要点是比较多的，这里只对TecWare软件涉及到的四种数字滤波器做简要的介绍。
3.2.1.3.1 傅里叶滤波器
傅里叶滤波器是一种频域滤波器。工作时，将时域信号转化到频域中，然后将其与频域中的滤波函数相乘，之后再返回到时域，完成滤波操作。滤波函数的频域设计范围从0Hz到相关时域信号的Nyquist频率。
TecWare中的傅里叶滤波器有两种。一种是简化版本，对应软件中的Fourier Filter (band-pass/band-stop)功能，该功能只有带通和带阻两个选项；一种是通用版本，对应软件中的Fourier Filter (general)。这一功能支持比较复杂的滤波函数设计（如图3-30所示）以实现相对复杂的信号滤波，设计好的滤波函数可以存储成独立文件，之后被反复调用。
图3-30 Fourier Filter (general)中的滤波函数设计器
3.2.1.3.2 巴特沃斯滤波器
巴特沃斯滤波器是时域滤波器的一种，属于无限冲激响应（IIR）滤波器。模拟巴特沃斯滤波器会产生相位平移，为了与这种典型的在线应用背景相对应，如图3-31所示，TecWare软件的巴特沃斯滤波器（对应Butterworth Filter (lowpass/highpass)）可以通过设置和选择Mode参数中的Phase-shifted选项来保留这种相移。而如果选择Zero-phase则可以避免产生这种相移，成为一种典型的离线操作和处理风格。
图3-31 Butterworth Filter (lowpass/highpass)滤波器
3.2.1.3.3 FIR滤波器
FIR滤波器是“有限冲激响应Finite Impulse Response”的简称，属于时域滤波器，是数字信号处理中常用的两种基本滤波器之一，另一种即为在上面谈过的IIR滤波器（巴特沃斯滤波器是典型的IIR滤波器之一）。
TecWare中通过FIR Filter Designer来实现FIR滤波函数的设计（如图3-32所示），与傅里叶滤波函数设计器类似，设计好的FIR滤波函数可以被存储成单独的文件，然后被FIR Filter (non-recursive)函数调用，从而实现FIR滤波。
TecWare中的FIR滤波函数设计涉及到如下参数：
1）Filter typer（滤波类型）：具有带通、带阻、差分和二重差分，共四个选项；
2）Sampling frequency（采样率），以及滤波器设计的带宽上下界（Filter frequency 1和2）;
3）Filter order（滤波器的阶数）：软件支持的最高阶数为1024，但是一般取值范围在30到300之间；
4）平滑（Smoothing）与衰减（Attenuation）：软件中的仅当选择凯塞（Kaiser）窗的时候，需要设置衰减系数。
图3-32 FIR滤波函数设计器
3.2.1.3.4 Savitzky-Golay滤波器
Savitzky-Golay滤波器（通常简称为S-G滤波器）属于时域滤波器的一种，最初由Savitzky和Golay于1964年提出，广泛地运用于数据流平滑除噪，是一种在时域内基于局域多项式最小二乘法拟合的滤波方法。
Savitzky-Golay滤波器的相关设置参数如图3-33所示。
图3-33 Savitzky-Golay滤波器的参数设置
Degree of polynomial：定义多项式逼近函数的次数，取值范围在0到10之间；
Order of derivate：定义需要计算的导数的阶数，有三个选项：原函数（function）、1阶和2阶；
Filter width to the left (right)：定义左边（右边）使用的点数，取值范围为0到512；
当Boundary treatment（数据边界的处理）选择“average of the first (last) values of the signal”（需要进行取平均处理）时，“Number of points to average”选项启动，取值范围为1到1024。
3.2.2 幅值域信号编辑
3.2.2.1 雨流的叠加
雨流计数结果是一种非常好的中间结果（或过程结果）的文件存储方式，原因是无论多么大的一段时域信号，一旦对其进行了雨流计数，那么生成的结果仅仅是一个Excel表格文件。如果对应的时域数据比较长，仅仅意味着Excel文件中循环次数比较高罢了，Excel文件的大小并没有太多的变化，都是比较小的文件，存放起来非常节省空间。另外，对于疲劳寿命评估和耐久性分析来说，由于雨流计数方法的先进性，相关重要信息已经都从时域信号中转化和提取出来了，这种压缩后的信息对于疲劳寿命评估来说往往是充分必要信息。所以，将一个个时域数据样本进行雨流计数之后存放、管理以及在团队之间进行信息传递，应该是耐久性工程中比较常见的一种情况。
那么就有一个问题，如果星期一我在一种工况下采集到一些数据，转化成了雨流结果进行存放，星期二、星期三我又在另外的工况下采集到了一些数据，并转化成雨流结果进行存放。现在周一到周三的三种工况要进行混合，这就牵扯到对雨流叠加的编辑需求。
在本章3.1.1.1节谈过，应用TecWare软件进行雨流计数，结果分为两部分，即雨流矩阵RFM和Residue（RES）。假设有n个工况下的雨流计数结果，对应的雨流矩阵和Residue分别为RFM1、RFM2、……、RFMn和RES1、RES2、……、RESn，如果要把第一个工况重复k1次，把第二个工况重复k2次，以此类推，第n 个工况重复kn 次，然后把所有的工况累加起来，那么雨流的叠加实际上执行的是如下操作：
RFM = k1RFM1+ k2RFM2 + …… + knRFMn
RES = 对（k1RES1，k2RES2，……，knRESn）进行四点法雨流计数
如图3-34所示，是对RFM处理方法的诠释。在做雨流计数的时候需要设置limit的上界和下界，以及选取bin的个数。如果参与雨流叠加的雨流矩阵在形成的过程中相关参数都一样，那么就说它们具有相同的scale。如图3-35所示，在这种情况下对于雨流矩阵部分做雨流的叠加特别简单，相关单元的计数结果直接线性叠加就可以。如果涉及到的相关雨流矩阵的scale不一样，那么TecWare软件在进行相关操作时，会事先自动的将相关的scale进行调整，调整的原则是“就大，不就小”，也就是说用相对较大的scale来“兼容”相对较小的scale，如图3-35所示。
如图3-36所示，是对RES处理方法的诠释。也就是说，将涉及到的相关雨流计数结果的Residue按照相应重复的次数首尾相接，形成一个新的“信号”，对这一信号重新进行四点法雨流计数，计数结果汇入总体雨流矩阵。计数形成的Residue作为雨流叠加结果的最终Residue。在本章3.1.1.1小节强调过，对于这部分Residue的整合和重新四点法雨流计数，得到的载荷循环周次可能不高，但是其对损伤的贡献量绝对不可小觑。TecWare软件对于这一部分Residue的处理是非常小心谨慎、锱铢必较的。
图3-34 雨流叠加过程中对于雨流矩阵的处理2
图3-35 Scale是否一致对于雨流矩阵叠加结果的影响2
图3-36 雨流叠加过程中对于Residue的处理2
3.2.2.2 雨流的外推
3.2.2.2.1 问题的由来
想象一下在一台机器上做一个测试，到底需要测量多长时间才能获得一个有代表性的载荷谱？这往往是一个非常关键的问题。在一个非常有限的时间内通过测试获得一个（比如说）应力谱，不足以支撑对于一个较长设计使用周期内应力状态的准确估计。依据测试对象的工作状态，当把应力信号的测试时间延长以后，可以预期，可以获得一个更有代表性的、更加准确的载荷谱。
如图 3-37 所示，是对一个高压磨辊轧机的扭矩时域信号进行分析获取的“扭矩幅值-循环次数”结果。从图 3-37 可以发现两个特点：
1） 随着测量时间的延长，“扭矩幅值-循环次数”曲线近似的向右“平移”，并且，整体轮廓相似，这说明所测试的是同一个随机工况；
2） 测试中获得的扭矩幅值的最大值，随着测试时间的增加而有升高的趋势，这是一个普遍性的特征，具有重要的意义，直接引发了对于信号“外推”问题的需求和讨论。
当对于某一工况的测试时间为一有限时长时，测试过程中捕捉到的载荷的最大值是很难预测的。一个很有可能的情形是，在产品的整个使用生命周期之内，可以观察到的载荷最大值，往往比一个在有限测试时间内获得的信号最大值要来的更大。当测试时间“足够”长时，在有限测试时间内获得的载荷最大值将非常接近产品在整个设计使用周期内载荷的最大值，或者这两者之间的些许差别对于损伤不构成显著的差异。
如图 3-37 所示，当对于高压磨辊轧机的测试时间增加到一个月时，说这个测试时间基本足够了，因为可以把基于这一个月的测试信号的分析结果简单向右平移三倍，来获得三个月使用周期内的载荷信息，而与真正测试三个月获取的结果并无明显差异。
图3-37 对于高压磨辊轧机工作扭矩的不同测量时长及相应的“扭矩幅值-循环次数”分析结果对比7
对于道路载荷数据采集，以上问题也同样存在。由于成本和时间的限制，测试的里程是有限制的。但是对于车辆耐久性工程而言，关心的是一个长周期内的载荷。希望了解当把测试样本量从20公里扩展到200公里，或者从2圈扩展到200圈时，雨流矩阵和（伪）损伤会发生怎样的变化。
即便是同一个司机驾驶同一辆车在同样的路面上重复进行测试，也无法复现同样的雨流矩阵结果（司机不可能重复完全相同的车速、刹车制动力，等等），因此，将一个雨流矩阵简单的进行倍乘，无法合理的实现这种载荷的外推。
比如，如图3-38所示，一个司机开着某一车辆在某一路面上驾驶一圈，获得某一载荷如图3-38左上所示的雨流矩阵分析结果。如果让这一司机开着这辆车在刚才的路面上继续驾驶五圈，从而一共获得了六圈的数据样本，那么根据这六圈的数据样本进行分析可以获得如图3-38左下所示的雨流矩阵分析结果。如何由一圈的样本数据（图3-38 左上）经过某种技术处理获得六圈的数据结果（图3-38左下）？直接将一圈的数据（图3-38左上）倍乘6倍是不行的，这种倍乘实际上采用的是上一小节的“雨流叠加”技术，形成的结果如图3-38右上所示。图3-38左下与图3-38右上结果相比，雨流矩阵显得更加“丰富”，对应的伪损伤数值也更大。希望有一种更加优越的数据处理技术，能将雨流矩阵“外推”，基于一圈的数据样本（如图3-38左上），“外推”形成六圈的结果（如图3-38右下）。
图3-38 雨流的叠加与外推2
总结一下，由于载荷的随机性和测试时长的有限性之间的矛盾，使得对于如下问题很关心：把有限时长的测试结果如何进行“外推”，可以得到具有代表性的、反应长周期内载荷特征的结果？
3.2.2.2.2 核密度估计与雨流矩阵的外推
当对于雨流矩阵进行外推的时候，需要用到一些雨流矩阵的“光滑”技术。一次测试获得的一个时域数据序列可以看作是一个随机过程，该随机过程定义了一个二维（from-to或幅值-均值）的循环周次分布。测试时间越长，对于该分布会了解的越准确。如果仅有一个短时间的测试信号，需要从已经观察到的载荷循环分布状态进行估计。
在这一过程中采用的是一种非参数检验方法——核密度估计。核密度估计由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen(1962)提出。
以一维分布做例子，核密度估计的基本思路是：在对某一事物的取值p(i) 未知的情况下，如果某一个数R(k) 在观察中出现了，可以认为这个数“曾经出现过”这个现实，对于p(i) 的确定有一定的参考意义。这个参考意义有多大呢？反映在一个权重w，而这个权重w 应该与i 和k 距离“i-k”有一定的关系，是i-k的函数w(i-k)。一个很自然的思维就是“远小近大”，也就是说，离i比较近的点k，其权重w(i-k)应该比较大；反之，离i比较远的点k，其权重w(i-k)应该比较小。而权重应该满足要求。把权重w(i-k)的密度函数称为核密度函数，构建不同的核密度函数，可以形成不同的核密度估计方法。其中一个常用的核密度函数就是高斯分布，此时
(3-15)
可以看到，上面这个呈现高斯分布的核密度函数依i和k之间的距离i-k呈现“远小近大”的特征，并且满足的要求。
上面有一个因子h是一个非常重要的量，在TecWare软件中进行雨流外推操作时，它关联到相关命令中的“Smoothing Factor”这一操作参数。这一操作参数（或者说参数h）的取值，反映了在由现有数据外推获得更长时间范围内的载荷数据时，对于现有数据的“自信”程度。如果对于现有数据比较自信，h可以取的相对小一点，这样当i-k固定时，(i-k)/h就会相对比较大，从而使得权重w(i-k)相对比较小。也就是说，当h相对比较小的时候，哪怕距离i比较近的一点k的取值，对于i点取值的参考作用也相对有限，越来越“自信”的以i点现有的数值来决定外推后i点的数值。反之亦然。
从上面的一维解释可以看到，由于核密度估计方法不利用有关数据分布的先验知识，对数据分布不附加任何假定，是一种从数据样本本身出发研究数据分布特征的方法，因而，在统计学理论和应用领域均受到高度的重视。
如图3-39所示，具体到在TecWare软件中对于雨流矩阵进行外推，所依托的是一种相对更为复杂的“椭圆高斯核密度函数”的非参估计方法。这一方法的要点有二：其一，依据现有数据获得的雨流矩阵分布形态，在对数据点p(i,j)进行估计时，需要选取一个呈椭圆形的区域，这一区域以内的点对于p(i,j)的取值将产生影响，这个区域以外的点对于p(i,j)的取值将不产生影响，或者说，这个区域以外的点的权重w(i-k,j-l)近似为零；其二，在这一椭圆区域内权重w(i-k,j-l)呈二维高斯分布状态，并满足从而p(i,j)点的取值由下式决定，即
(3-16)
其中，表示现有雨流矩阵在点(k,l)的取值。
由于椭圆高斯核密度函数估计方法在如何确定椭圆区域方面，以及相关的二维高斯分布函数方面的数学形式都比较复杂，但是，作为一个一维问题向二维问题的自然延拓，除了数学形式之外，本质上没有更复杂的数学思想。
采用这种核密度估计的方式，在合理选取光滑因子的前提下，有望对于数据的外推给出合理的结果。
图3-39 TecWare中进行雨流外推时的算法示意图2
《车辆耐久性载荷分析》
本书介绍了车辆耐久性载荷分析中经常使用的、经典统计学中的一些重要结论和方法，道路载荷数据处理的常用方法，并介绍了金属材料与结构高周疲劳损伤和寿命评估的基础理论，以明确构建金属结构疲劳损伤相似性时载荷方面所应注意的诸多因素，并通过案例对车辆耐久性台架试验载荷谱的编制和整车耐久性试验场强化路面规范的编制进行了说明。
本书适用于汽车行业从事道路载荷数据分析、车辆耐久性台架试验、整车耐久性强化路面试验和车辆耐久性仿真的相关技术人员学习参考，也可作为高等院校汽车相关专业师生的参考书。
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李旭东 田程 著
本文摘编自《车辆耐久性载荷分析概述》，机械工业出版社出版，经出版方授权发布。
