今天给大家带来一篇知乎好友@ybq的文章，《拒绝采样》。
知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/p/3907736367
最近学强化的过程中，总是遇到“拒绝采样”这个概念，我尝试科普一下，争取用最大白话的方式让每个感兴趣的同学都理解其中思想。
拒绝采样是 LLM 从统计学借鉴过来的一个概念。其实大家很早就接触过这个概念，每个刷过 leetcode 的同学大概率都遇到过这样一个问题：“如何用一枚骰子获得 1/7 的概率？”
答案很简单：把骰子扔两次，获得 6 * 6 = 36 种可能的结果，丢弃最后一个结果，剩下的 35 个结果平分成 7 份，对应的概率值便为 1/7 。使用这种思想，我们可以利用一枚骰子获得任意 1/N 的概率。
在这个问题中，我们可以看到拒绝采样的一些关键要素：
采样：从易于采样的分布（两个骰子的所有可能结果）中生成样本； 缩放：（扔两次骰子）获得更大的样本分布； 拒绝：丢弃（拒绝）不符合条件的样本（第36种情况）； 接受：对于剩下的样本，重新调整概率（通过分组），获得目标概率分布。
用大白话来总结就是：我们想获得某个分布（1/7）的样本，但却没有办法。于是我们对另外一个分布（1/6）进行采样，但这个分布不能涵盖原始分布，需要我们缩放这个分布（扔两次）来包裹起来目标分布。然后，我们以某种规则拒绝明显不是目标分布的采样点，剩下的采样点就可以看作是从目标分布采样出来的了。
统计学的拒绝采样
我们再来看下统计学中是如何定义拒绝采样的：拒绝采样（Rejection Sampling）是一种 Monte Carlo 的统计方法，用于从复杂的目标概率分布中生成随机样本。当直接从目标分布 中采样困难或不可行时，使用一个易于采样的提议分布 ，并根据某种接受概率来决定是否接受采样结果。具体过程如下
1.择提议分布 ： 这个分布易于直接采样，并且覆盖目标分布的支持，即目标分布可能取值的所有区域；
确定缩放常数 ： 找到一个常数 ，使得对于所有的 ，都有 。这个常数确保了 成为 的上界，这个系数可以让新分布能把旧分布“包裹”起来；
采样过程：
步骤 a：从提议分布 中生成一个样本； 步骤 b：从均匀分布 中采样一个随机数 ； 步骤 c：计算接受概率 ； 步骤 d：如果 ，则接受样本 ；否则，拒绝样本并返回步骤 a。
LLM 的拒绝采样
LLM 的拒绝采样操作起来非常简单：让自己的模型针对 prompt 生成多个候选 response，然后用 reward_model 筛选出来高质量的 response （也可以是 pair 对），拿来再次进行训练。
解剖这个过程：
提议分布是我们自己的模型，目标分布是最好的语言模型； prompt + response = 一个采样结果； do_sample 多次 = 缩放提议分布（也可以理解为扔多次骰子）； 采样结果得到 reward_model 的认可 = 符合目标分布。
经过这一番操作，我们能获得很多的训练样本，“这些样本既符合最好的语言模型的说话习惯，又不偏离原始语言模型的表达习惯”，学习它们就能让我们的模型更接近最好的语言模型。
统计学与 LLM 的映射关系
统计学的拒绝采样有几个关键要素：
原始分布采样困难，提议分布采样简单； 提议分布缩放后能涵盖原始分布； 有办法判断从提议分布获取的样本是否属于原始分布，这需要我们知道原始分布的密度函数。
LLM 的拒绝采样也有几个对应的关键要素：
我们不知道最好的语言模型怎么说话，但我们知道自己的语言模型如何说话； 让自己的语言模型反复说话，得到的语料大概率会包括最好的语言模型的说话方式； reward_model 可以判断某句话是否属于最好的语言模型的说话方式。
目前为止，是不是看上去很有道理，很好理解。但其实这里有一个致命的逻辑漏洞：为什么我们的模型反复 do_sample，就一定能覆盖最好的语言模型呢？这不合逻辑啊，狗嘴里采样多少次也吐不出象牙啊。
紧接着，就需要我们引出另一个概念了：RLHF 的优化目标是什么？
RLHF 与拒绝采样
RLHF 的优化目标，并不是获得说话说的最好的模型，而是获得 reward_model 和 reference_model （被优化的模型）共同认可的模型。这个观点，可以从 RLHF 的最优解看出来：
其中， 是归一化分子，可以无视； 是 reference_model，同时也是被优化的模型的最初状态；
是 reward_model；证明过程可以自己行搜索，不再赘述。
现在，大家应该明白了吧：在 RLHF 的训练框架下，reward_model 认为谁是最好的语言模型，谁就是最好的语言模型，人类的观点并不重要。与此同时，即使 reward_model 告诉了我们最好的语言模型距离当前十公里，但 reference_model 每次只允许我们走两公里，所以 RLHF 需要反复迭代进行。
此时，我们再回过头来看拒绝采样，就能理解它的核心思想了：
通过对原始模型 do_sample，我们获得了很多个样本，每个样本代表一个优化方向； reward_model 知道最优的目标分布在哪个方向，它帮我们选择了一个正确的方向； 沿着这个方向，我们小心翼翼的往前迈了一步（学习模型本就能生成出来的话，大概率不会让模型发生较大的改变）； 和 rlhf 一样，拒绝采样需要多次迭代才能到达 reward_model 认为的最好的语言分布。
灵感来源：https://mp.weixin.qq.com/s/2txfqHpyiW-ipKuQSWAsLA
统计学知识来源：ChatGPT_o1
写在最后
总结下来：拒绝采样虽然没有使用 ppo，但满满的都是 rlhf 的思想。
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