可对角化｜多余, 纯粹多余
文摘
教育
2024-09-13 20:42
天津
前面讲矩阵的可对角化问题时, 我们通过南航真题了解了可对角化在各个章节的应用. 细心的同学会发现, 昨天和前天的思考题也均和可对角化相关, 而今天我们主要从理论的角度来学习可对角化的证明与应用. 例题 79 是一个比较好的题目, 对于一般的线性空间, 强化讲义提到了如下定理:
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而对于可对角化的线性变换, 其任意不变子空间 W 却等于 W 与各特征子空间相交的和. 在此结论的帮助下, 例题 79 第 (2) 问就显得有点多余. 当然, 如果只考察第 (2) 问, 我们也可以通过最小多项式与零化多项式进行说明, 原因是线性变换的最小多项式必是其限制的零化多项式.
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同样, 思考题 70 在第 (2) 问的帮助下, 第 (3) 问是多余的. 如果单独考察第 (3) 问, 则可以通过 φ^n 为恒等变换进行说明, 或者取 E_{ij} 为 C^{n×n} 的一组基, 研究 φ 在这组基的下的矩阵, 这会用到昨天 Kronecker 积的相关结论. 今天有点忙, 公众号晚了半个多小时, 让大家久等了. 祝大家周末快乐!
