突破最强时间序列模型，自回归积分滑动平均！！

哈喽，我是cos大壮~

今儿和大家再来聊聊时间序列中，比较重要的一个算法模型：自回归积分滑动平均。

之前咱们也把各种自回归的场景进行了总结，大家可以翻到前面看看~

咱们把自回归积分滑动平均拆分出来看下~

文末可取本文PDF版本~

1. 什么是时间序列数据？

时间序列数据就是按时间顺序记录的数据，比如每天的股票价格、每天的温度、每月的销量等等。我们可以用时间序列模型来发现这些数据的规律，并进行预测。

2. 什么是「自回归积分滑动平均模型」（ARIMA）？

ARIMA 模型包含三个部分，每个字母代表一种操作：

• AR：自回归（Auto-Regressive）
• I：积分（Integrated）
• MA：滑动平均（Moving Average）

接下来，我们分别解释这三部分。

AR：自回归

「自回归」的意思是我们可以用过去的值来预测未来的值。比如，如果你要预测明天的股票价格，可以参考今天和前几天的价格，因为它们可能有一定的联系。

假设有一段温度数据：20℃、21℃、22℃、23℃。如果气温每天只上涨 1℃，你可以根据前几天的气温来推测出明天的气温可能是 24℃。这就是自回归的思路。

AR 模型的公式中会有一个「自回归系数」来决定过去的数据对现在的影响程度。

MA：滑动平均

滑动平均的意思是，我们在预测时，不仅考虑历史数据的趋势，还考虑历史的“误差”或“噪音”的影响。

假设每天的气温记录中，有一些误差，比如风向、湿度等因素影响了温度，使得有些天比实际温度更高或更低。滑动平均会利用过去误差的均值来调整当前预测，以减少这些误差的影响。

例如，如果过去几天的温度波动很大，滑动平均会平滑这些波动，帮助我们更稳定地预测未来的温度。

I：积分

积分的作用是消除数据中的趋势，使数据变得「平稳」。在时间序列分析中，我们希望数据的平均值、方差等统计特性是稳定的。

假设我们有一个公司的季度销售额记录，发现每个季度的销售额都在增加，那么这种趋势会导致数据不断变大，不平稳。积分操作就是通过「差分」来消除这种趋势，使数据波动稳定。

差分的意思是用前后两个时间点的数据差值来替换原数据。例如，如果销售额是 100、120、140、160，那么差分之后得到 20、20、20，这样数据就平稳了。

简单例子：预测商店的每日销售额

假设我们有一家商店，它的每日销售额是这样的：100元、110元、120元、130元、125元、135元……

1. 自回归（AR）：我们观察到，今天的销售额与过去几天的销售额相关联，比如每天销售额大约增加10元。我们可以用前几天的数据来预测今天的数据。这个规律可以通过自回归系数来表示，比如「前一天的销售额影响 80%，前两天的销售额影响 20%」。

2. 积分（I）：如果销售额有上升趋势，比如每个月销售额都会有小幅度增长，我们可以用差分操作去掉这种趋势，让数据变平稳。这样做之后，我们只需要分析这种「增量」而不是绝对值的变化。

3. 滑动平均（MA）：假设有几天的销售额波动很大，比如突然有促销活动，销售额在 150 元、90 元、130 元之间波动。滑动平均会考虑这些波动，并平滑它们的影响，使预测不受个别异常数据的干扰。

通过结合这三种方法（AR、I 和 MA），ARIMA 模型可以帮助我们预测未来的销售额，让我们更好地安排库存和促销活动。

有了这些清晰的解释，咱们下面从各项原理、推理来详细的看下~

ARIMA原理

ARIMA模型分成三个部分：

1.AR(p)：自回归部分，其中表示自回归项数。模型形式是：

其中，是当前时间的数据值，是前p个时间点的数据值，是系数，是随机误差项。

2.I(d)：差分部分，用来使非平稳数据变成平稳数据。若存在长期趋势，可以用差分来消除趋势。差分公式为：

若需要做d阶差分，就差分d次。

3.MA(q)：滑动平均部分，其中表示滑动平均项数。公式为：

其中，是滑动平均的系数，是误差项。

完整的ARIMA模型（ARIMA(p, d, q)）公式如下：

完整案例

数据集方面，我选择了 kaggle 上的 Air Passenger 数据集，它记录了 1949 年至 1960 年每个月的航空乘客数量，适合做时间序列分析。

数据集文件名：AirPassengers.csv。

数据集获取：点击名片，回复「数据集」即可~

手动实现 ARIMA 模型的步骤

我们从基础部分开始实现 ARIMA 模型，包括：

1. 自回归 (AR) 计算；
2. 差分 (I) 处理；
3. 滑动平均 (MA) 计算；
4. 可视化分析。

数据分析图形

1. 原始数据的时序图：展示时间序列的基本趋势和波动。
2. 差分后的数据图：说明通过差分平稳化后的数据，去掉了趋势。
3. 自回归预测 vs 实际数据图：展示自回归部分的预测效果。
4. ARIMA 模型的残差分析图：分析模型的误差分布，帮助了解模型的拟合情况。

代码实现

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取数据
df = pd.read_csv('AirPassengers.csv')
df['Month'] = pd.to_datetime(df['Month'])
df.set_index('Month', inplace=True)

# 数据可视化 - 原始数据
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(df.index, df['#Passengers'], color='blue', label='Original Data')
plt.title('Air Passengers Over Time')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Number of Passengers')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# 差分处理 - 一阶差分
def difference(data):
    diff = []
    for i in range(1, len(data)):
        diff.append(data[i] - data[i - 1])
    return np.array(diff)

diff_data = difference(df['#Passengers'].values)

# 数据可视化 - 差分数据
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(df.index[1:], diff_data, color='orange', label='Differenced Data')
plt.title('Differenced Air Passengers Data')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Differenced Number of Passengers')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# 自回归 (AR) 部分
def autoregression(data, p):
    predictions = []
    for t in range(p, len(data)):
        ar_value = np.dot(data[t-p:t][::-1], np.ones(p) / p)
        predictions.append(ar_value)
    return np.array(predictions)

p = 3  # 自回归阶数
ar_predictions = autoregression(diff_data, p)

# 修正: 计算误差时对齐数据
errors = diff_data[p:] - ar_predictions

# 数据可视化 - 自回归预测 vs 实际数据
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(df.index[p+1:], diff_data[p:], label='Actual Data', color='green')
plt.plot(df.index[p+1:], ar_predictions, label='AR Predictions', color='red')
plt.title('AR Model Predictions vs Actual Data')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Differenced Number of Passengers')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# 滑动平均 (MA) 部分
def moving_average(errors, q):
    ma_predictions = []
    for t in range(q, len(errors)):
        ma_value = np.dot(errors[t-q:t][::-1], np.ones(q) / q)
        ma_predictions.append(ma_value)
    return np.array(ma_predictions)

q = 3  # 滑动平均阶数
ma_predictions = moving_average(errors, q)

# 数据可视化 - ARIMA 模型的残差分析
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.hist(errors, bins=20, color='purple')
plt.title('Residuals (Errors) Distribution')
plt.xlabel('Error Value')
plt.ylabel('Frequency')
plt.grid(True)
plt.show()

图1：原始数据的时序图 展示了航空乘客数量随时间的增长趋势和季节性波动。这个图形可以帮助我们直观了解时间序列的特性。

图2：差分后的数据图 表明差分后数据的波动更加平稳，去掉了原始数据中的趋势，这使得后续的自回归分析更加准确。

图3：自回归预测 vs 实际数据图 展示了通过自回归模型得到的预测值与实际差分值的对比。这个图说明了我们使用过去数据来预测当前值的效果。

图4：ARIMA 模型的残差分析图 帮助我们理解模型的误差分布，若误差是均匀分布的，则表明模型拟合较好；若误差分布偏离，可能需要调整模型。

整个的代码，咱们从基础原理出发，手动实现了 ARIMA 模型的自回归、差分和滑动平均部分，并通过航空乘客数据集进行了预测和可视化分析。在这个过程中，我们通过代码实现了模型，还通过多个图形直观展示了模型的效果和数据的变化特点。

最后

通过手动实现 ARMA 模型，可以深刻理解其数学推导和实现细节，同时通过图形直观地理解模型的拟合效果和残差分布。

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