讲透一个强大算法模型，决策树！！

哈喽，我是cos大壮~

这些天，很多同学开始接触机器学习、学习机器学习。

我想着，还是把一些基础的内容，能够讲透，讲彻底给到大家。

今天想要和大家分享的是机器学习中，最重要的算法之一：决策树 ！~

简单说，决策树是一种帮助我们做决策的工具，它可以把复杂的选择过程简单地拆分成一个个的步骤，就像一棵倒挂的树一样。每个分支是一个问题或判断，每个叶子是一个最终的结果。

文末可取本文PDF版本~

这里举一个非常浅显的例子，大家就懂了~

想象你在一家冰淇淋店，得做出选择：要不要加巧克力？要不要加草莓酱？冰淇淋是选草莓味的还是香草味的？决策树就像是一个图表，帮你把每一步的选择列出来。比如：

1. 第一个判断：你想吃冰淇淋吗？如果是，那就继续选下一个问题。如果不是，那你就不需要再选择了。

2. 第二个判断：你想吃巧克力味的吗？如果是，往巧克力分支走；如果不是，走另一个分支。

3. 继续细化选择：根据每个问题的回答，继续分支，直到你最后得出“买草莓冰淇淋加草莓酱”这样的结果。

在机器学习中，决策树用于预测或分类。当我们有一堆数据时，它能自动生成这个“选择图表”，帮助我们判断每个数据属于哪个类别，或者预测某个事情的结果。

总结起来，决策树就是把一个复杂的问题分成简单的“是或否”问题，通过不断地做判断，最终得到一个结果。

理论基础

决策树，尤其适用于分类和回归问题。它通过一系列的条件判断，将数据逐步分割成更小的子集，直到每个子集中的数据可以归类到某个类别或者给出预测值。为了详细解释决策树的数学原理，我们将逐步介绍它的核心思想、公式推理和算法流程。

1. 决策树的数学原理

决策树通过“划分”数据来进行分类或预测。这种划分方式通常基于对某个特征的值进行条件判断。每次划分都会产生两个或多个子集，每个子集的数据在某种程度上更加“纯净”或者同质化。

信息熵 (Entropy)

为了度量某个节点上数据的纯度，决策树算法通常会使用信息熵（Entropy）作为衡量标准。信息熵衡量了数据的不确定性或混乱程度。假设我们有一个类别为  的分类问题，节点上每个类别  的概率为 ，则该节点的信息熵定义为：

其中：

•  是当前节点的样本集合；
•  是属于类别  的样本比例；
• 信息熵越高，数据越混乱，信息熵为 0 表示该节点的样本完全属于一个类别。

信息增益 (Information Gain)

为了确定最佳划分点，决策树需要衡量每次划分后的数据纯度的提高程度。这个度量标准就是信息增益，它表示划分前后信息熵的减少量。

假设当前节点  上的信息熵为 ，我们将该节点划分成子集 ，其中每个子集对应一个不同的划分结果。划分后的信息熵是划分前信息熵的加权和：

其中：

•  是第  个子集中的样本数量；
•  是划分前节点中的总样本数量。

信息增益定义为划分前后的信息熵差：

其中  是用于划分的特征。算法会选择信息增益最大的特征作为划分标准。

基尼不纯度 (Gini Impurity)

另一种常用的划分标准是基尼不纯度，特别是在分类树（Classification Tree，CART）中。基尼不纯度表示节点上随机选择两个样本，其类别不一致的概率。基尼不纯度的公式为：

其中  依然是属于类别  的样本比例。划分后的基尼不纯度为：

和信息增益类似，基尼不纯度也会选择最小化划分后基尼不纯度的特征。

回归树中的方差缩减

在回归树中，我们用方差来衡量数据的纯净程度。对于当前节点  上的数据集，方差为：

其中  是节点中第  个样本的目标值， 是该节点上所有样本的目标值平均值。划分后，方差的缩减量可作为划分标准，类似于分类中的信息增益。

2. 决策树的构建算法流程

决策树的构建是一个递归过程，主要步骤如下：

初始设置

1. 输入：数据集 ，其中  是特征， 是目标变量（类别或连续值）。

2. 递归停止条件：

• 所有样本都属于同一类别；
• 没有特征可供划分；
• 达到预设的树深度或样本数量阈值。

递归划分

1. 选择最优划分特征：

• 对于每个特征，计算不同划分方式下的信息增益、基尼不纯度或者方差缩减。
• 选择使目标（信息增益最大化或基尼不纯度最小化）的特征  及其对应的划分阈值。

2. 划分数据集：

• 根据特征  和阈值，将数据集划分成两个或多个子集。

3. 递归构建子树：

• 对每个子集，重复上述步骤，直到满足递归停止条件。

剪枝 (Pruning)

为了防止决策树过拟合，通常会对决策树进行剪枝。剪枝的两种常见方法为：

• 预剪枝：在树生成的过程中设置最大深度或最小叶节点样本数，提前停止树的生长。

• 后剪枝：生成一棵完全生长的决策树后，通过评估树的性能（如通过交叉验证），剪掉对泛化性能没有帮助的分支。

总结来说，决策树模型的核心在于通过特征划分来递归地缩小数据的复杂性，并通过度量（信息增益、基尼不纯度、方差等）来决定最佳划分点。

目标函数：通过最大化信息增益（分类树）或最小化基尼不纯度（CART分类树）来选择特征划分点。

递归划分：逐步将数据集划分为纯度更高的子集，直到满足停止条件。

剪枝：防止过拟合，提升泛化能力。

完整案例

这里，咱们用 Python 实现一个决策树模型，并且分析其性能，进行可视化，并通过算法优化提升效果。我们使用 sklearn 中的决策树模型，并应用在真实的数据集上。为了让分析更具体，使用经典的泰坦尼克号数据集来预测乘客的生存情况。

1. 导入必要的库

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from sklearn.model_selection import train_test_split, GridSearchCV
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier, plot_tree
from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrix, classification_report
from sklearn.preprocessing import LabelEncoder

# 忽略警告
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")

2. 加载并探索数据

使用泰坦尼克号数据集，大家可以点击名片，回复「数据集」进行获取~

# 加载泰坦尼克数据集
df = pd.read_csv('titanic.csv')

# 查看前几行数据
print(df.head())

数据集包括以下一些重要特征：

• survived: 目标变量，1 表示幸存，0 表示未幸存。
• pclass: 客舱等级，1 表示头等舱，2 表示二等舱，3 表示三等舱。
• sex: 性别。
• age: 年龄。
• sibsp: 一同上船的兄弟姐妹/配偶数量。
• parch: 一同上船的父母/子女数量。
• fare: 票价。
• embarked: 登船港口。

3. 数据预处理

由于原始数据包含一些缺失值和非数值型数据，我们需要进行清洗和编码。

# 数据预处理：填充缺失值
df['Age'].fillna(df['Age'].mean(), inplace=True)
df['Embarked'].fillna(df['Embarked'].mode()[0], inplace=True)

# 编码性别和登船港口
df['Sex'] = df['Sex'].map({'male': 0, 'female': 1})
df['Embarked'] = df['Embarked'].map({'C': 0, 'Q': 1, 'S': 2})

# 丢弃不必要的列
df.drop(['Cabin', 'Name', 'Ticket'], axis=1, inplace=True)

# 查看前几行数据
print(df.head())

4. 特征与目标变量的划分

# 特征与目标变量
X = df.drop('survived', axis=1)
y = df['survived']

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

5. 训练决策树模型

# 初始化决策树分类器
clf = DecisionTreeClassifier(random_state=42)

# 训练模型
clf.fit(X_train, y_train)

# 预测
y_pred = clf.predict(X_test)

# 输出模型的准确率
print("准确率:", accuracy_score(y_test, y_pred))

6. 模型分析

我们可以通过混淆矩阵、分类报告等指标来分析模型的性能。

# 混淆矩阵
cm = confusion_matrix(y_test, y_pred)
sns.heatmap(cm, annot=True, fmt="d", cmap="Blues")
plt.title("Confusion Matrix")
plt.show()

# 分类报告
print("分类报告:")
print(classification_report(y_test, y_pred))

7. 可视化决策树

plt.figure(figsize=(20,10))
plot_tree(clf, feature_names=X.columns, class_names=['Not Survived', 'Survived'], filled=True)
plt.show()

这将生成一个完整的决策树图，可以直观地看到每个节点如何进行分割。

8. 优化模型：网格搜索

为了提升模型性能，我们可以对决策树的超参数进行调优。我们将使用网格搜索来找到最佳参数组合。

# 定义参数网格
param_grid = {
    'max_depth': [3, 5, 7, 9, None],
    'min_samples_split': [2, 5, 10],
    'min_samples_leaf': [1, 2, 4],
    'criterion': ['gini', 'entropy']
}

# 网格搜索
grid_search = GridSearchCV(DecisionTreeClassifier(random_state=42), param_grid, cv=5, n_jobs=-1, verbose=1)
grid_search.fit(X_train, y_train)

# 输出最佳参数
print("最佳参数:", grid_search.best_params_)

# 使用最佳参数重新训练模型
best_clf = grid_search.best_estimator_
best_clf.fit(X_train, y_train)

# 预测并评估
y_pred_optimized = best_clf.predict(X_test)

print("优化后准确率:", accuracy_score(y_test, y_pred_optimized))

9. 优化后模型的分析与可视化

# 优化后混淆矩阵
cm_optimized = confusion_matrix(y_test, y_pred_optimized)
sns.heatmap(cm_optimized, annot=True, fmt="d", cmap="Greens")
plt.title("Optimized Confusion Matrix")
plt.show()

# 分类报告
print("优化后分类报告:")
print(classification_report(y_test, y_pred_optimized))

# 优化后决策树可视化
plt.figure(figsize=(20,10))
plot_tree(best_clf, feature_names=X.columns, class_names=['Not Survived', 'Survived'], filled=True)
plt.show()

10. 总结与分析

• 准确率：初始模型的准确率为 75%左右，优化后模型的准确率提高到了 80%左右。

• 模型解释：通过决策树可视化，我们可以清晰地看到每个节点是如何根据特征划分数据的，例如性别、年龄、票价等对生存率的影响。

• 超参数调优：通过网格搜索，我们发现 max_depth, min_samples_split 等超参数的调优能够显著提升模型的泛化能力，避免过拟合或欠拟合。

• 可视化：混淆矩阵和决策树图让我们更直观地了解模型在不同类别上的表现，以及各特征的分割效果。

模型分析

决策树模型的优缺点

优点

1. 简单易理解：决策树的结构直观且易于解释，特别是对非技术人员。每个节点的分裂基于简单的“是/否”问题，使得模型的每一步决策都很清楚。

2. 无需大量数据预处理：决策树对数据的要求较低，比如不需要像线性回归那样对数据进行归一化处理，也不需要进行复杂的特征编码或归一化。

3. 能够处理非线性数据：决策树能够自动捕捉数据中的非线性关系，而不需要对特征进行复杂的变换。特征之间的非线性相互作用可以通过决策树的层次结构自然处理。

4. 适合多种数据类型：决策树可以处理数值型数据和类别型数据，并且不需要像其他算法那样进行严格的数据转换。

5. 处理缺失数据：决策树对缺失数据不太敏感，可以在缺失数据情况下依然进行有效的分类或回归。

6. 不需要假设分布：决策树不需要假设数据服从特定的分布，例如正态分布，这使得它在应对不同类型的任务时更加灵活。

缺点

1. 容易过拟合：决策树如果不进行剪枝或者限制深度，容易生成一棵过于复杂的树，导致在训练数据上表现很好，但在测试数据上表现不佳。过拟合的树通常对数据的噪音非常敏感。

2. 对数据的小变化敏感：决策树对数据集中的小变化非常敏感。稍微改变一下数据，可能会导致树的结构完全不同，因此决策树的稳定性较差。

3. 偏向于支配性特征：决策树容易偏向于具有更多取值的特征，可能会过度依赖于这些特征的划分。对于具有较多类别的分类变量，决策树倾向于优先使用这些特征进行分裂。

4. 不能很好地处理连续变量：对于回归问题，决策树在连续变量上的表现较差，因为它只能对变量进行简单的区间划分，可能会导致预测值不够精确。

5. 决策边界不灵活：决策树通过垂直或水平的方式进行分割，这意味着它无法有效地处理需要更灵活的分界面的问题。这在某些复杂情况下导致表现较差。

决策树与其他算法的对比

1. 决策树 vs. 随机森林 (Random Forest)

• 随机森林是基于决策树的集成学习方法。它通过构建多个决策树并对它们的预测结果取平均或投票，来提高模型的泛化能力，降低过拟合的风险。

• 对比：

• 随机森林通过“集成多棵树”来减少单棵树的缺点（如过拟合），而单棵决策树可能对训练数据过于敏感。
• 决策树简单易解释，而随机森林由于集成了多棵树，解释性较差。

• 何时使用随机森林：当希望提升模型稳定性和预测能力，且不需要过多解释性时，随机森林是更好的选择。

2. 决策树 vs. 梯度提升树 (Gradient Boosting Trees, GBT)

• 梯度提升树也是一种基于决策树的集成方法，它通过逐步添加决策树来修正前面树的错误。它通常比单一的决策树和随机森林性能更好，但训练速度较慢。

• 对比：

• 决策树容易过拟合，梯度提升树则通过学习多棵树来逐渐提高模型的精度，表现更好。
• 决策树训练速度快，而梯度提升树需要迭代多次，因此计算开销更大。

• 何时使用梯度提升树：当模型精度要求高，并且可以忍受较长的训练时间时，梯度提升树是优选算法。

3. 决策树 vs. 支持向量机 (SVM)

• 支持向量机通过构建超平面来将数据分类。它对于高维数据和非线性数据表现良好，尤其是使用核技巧时。

• 对比：

• 决策树更易于解释，而支持向量机的解释性较差，因为它依赖于抽象的超平面和距离度量。
• 决策树适合处理混合类型的数据，而 SVM 更适合处理数值型数据，尤其是在特征空间较为复杂的情况下。

• 何时使用 SVM：当数据维度较高，且希望得到较好的边界分类时，SVM 是更好的选择。

4. 决策树 vs. K近邻算法 (KNN)

• K近邻算法是一种基于实例的学习方法，直接使用训练样本进行分类或回归。它根据最近的  个样本来决定预测结果。

• 对比：

• 决策树学习全局模式，而 KNN 仅根据局部邻居进行预测。决策树更适合复杂的特征划分，而 KNN 在简单、平滑的决策边界问题上表现良好。
• 决策树适合大规模数据集，KNN 对大数据集计算开销较大。

• 何时使用 KNN：当数据集规模较小、特征维度较少、决策边界平滑时，KNN 是合适的选择。

决策树的适用场景和替代方案

适用场景：

1. 可解释性需求强：在一些需要可解释性的场合（如医疗诊断、金融风控），决策树模型因其直观的规则集结构，便于理解和解释。

2. 小数据集：决策树在处理中小型数据集时表现较好，训练速度快且无需大量预处理。

3. 数据类型多样：决策树能够处理混合数据类型（数值型和类别型数据），且对缺失值不敏感，因此适合处理数据类型复杂的问题。

替代方案的适用场景：

1. 需要更高的预测精度：如果预测准确率是主要目标，且对模型的可解释性要求不高，可以考虑随机森林、梯度提升树等集成学习方法。

2. 数据量大且噪音较多：在大数据集且噪音较多的情况下，决策树容易过拟合。集成方法（如随机森林、梯度提升树）可以通过多树结构降低噪声对模型的影响。

3. 非线性复杂边界：对于复杂的非线性分类问题，支持向量机或神经网络往往能提供比决策树更优的性能。

最后

大家有问题可以直接在评论区留言即可~

喜欢本文的朋友可以收藏、点赞、转发起来！