李迅

生活中，我常常遇到已为人父或为人母的学生，请我给他们推荐一些适合孩子阅读的数学类读物。虽然在实体书店里、网络平台上，琳琅满目的数学练习册、数学竞赛丛书应有尽有，但真正适合少年儿童身心发展水平、有利于启迪数学思维的少儿读物，属实匮乏。随着国际科技创新领域的竞争加剧，以及各国对相关领域人才的需求增大，数学等基础学科的重要性和影响力不断提升，数学素养在早期人才培养上的重要意义日益凸显。

鉴于此，我们推出了“义务教育阶段数学资优生发现及培养”教科研项目，以期通过总结过去的经验，立足国内外最新教研成果，达到育人之目的。该项目也是2022年福建省教育系统哲学社会科学研究项目，研究团队由陈德燕老师领衔；并且在中国数学会、华东师范大学的指导下，通过在省域内设置实验基地校，采取校内研训与校外交流相结合的方式，系统有序地推进项目；基地校师生有机会参加冬令营与夏令营以及国际国内数学竞赛与文化交流活动，充分体会数学带来的乐趣；同时，特别注重教师队伍的专业发展，开展了多次教师交流活动。我曾有幸参与研究团队组织的活动，深切感受到他们满腔的热忱和钻研的精神，他们的专业性令我感到欣慰。我建议他们组织编写一套涵盖义务教育九个年级，且能激发志趣、启迪思维的数学读物，以供数学爱好者阅读。这一提议最终在福建教育出版社江金辉先生的大力支持下得以实施，我遵嘱为此套丛书作序。借此机会，我且谈谈关于数学学习的浅见。

学好数学首先应勤思与善问。学问学问，就是要善学会问。数学更是如此。数学是门古老的学科，几千年来都在不断发展和完善之中，涉及每个领域各个层面。即使是学习数学里貌似很简单的知识，也可以提出有价值的问题。比如数字是怎么来的？最初，人类并没有数字的概念，而是为了满足生产与生活的需要才逐渐产生了数字。在漫长的岁月里，不同文明孕育出了各具特色的数字表示法。如中国古代有一种表示数字的方法叫“算筹”，后来又用大写和小写两种方式来表示数字；希腊阿提卡数字是用字母系统来表示的；玛雅人使用点、横与一个代表零的贝形符号来表示数字；印度婆罗门数字最早可追溯到被称为哈拉巴数码的铭文记数法；罗马数字因其独特的表示方式常见于钟表上；阿拉伯数字就是我们现在记数用的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。而如今所有文字、图片等信息数据都能以“0”和“1”的字符形式在计算机或手机上呈现，并轻松传输。数字，仿佛既存在于世界之中，又抽象于世界之外，成为连接一切的纽带。又如，关于数字有哪些有趣的命题？一年通常有365天，而365是10²、11²、12²这三个平方数之和，同时还是13²、14²这两个平方数之和。这一切不会是偶然吧。可以思考存在类似关系的数还有多少组。

其次，学好数学应会懂理与运用。不少学生上数学课，听老师讲解题目，知其然不知其所以然；至于概念、原理、定义，也只是守株待兔，不去想来龙去脉，有时记熟方法背牢定义，考试也可以得高分，便以为这就是学好了数学。然而死记硬背绝不是真正学好数学的方法。对于一个定理，你先要了解这个定理有什么意义，要思考在不懂这个定理之前，人类是怎么看待这个问题，以及要如何解决它。而后，再思考为什么要证明这个定理，以及怎样证明。最后，考虑如何在实际问题中应用这个定理。比如：由确定三角形的三条边即可确定三角形的形状和大小，而三条边的关系如何？从直角三角形这类特殊三角形知晓勾股定理a²+b²=c²，从而理解勾股定理的意义。其证明过程更是妙趣横生。通过勾股定理，导致不可通约量的发现。这在数学史上又是怎样的事件？勾股定理又是如何推广应用在维超立方体？尽管我们的大脑很难想象高维物体的形状，但黎曼通过数学构建了其“骨架”。单从等式而言，可以思考有多少正整数数组（a,b,c）满足a³+b³=c³，进而思考aⁿ+bⁿ=cⁿ满足的正整数数组。这个问题困扰了人类几千年，后来17世纪法国著名数学家费马提出一个著名的猜想：当整数n>2时，此方程不存在正整数解。数学界称之为费马大定理。对于费马大定理这样的数学难题，能否因为一直没有找到反例，就认为这个定理一定成立？事实上直到1994年，它才被英国数学家怀尔斯所证明，国际数学家大会破例给他颁发了一个特别贡献奖，也是迄今为止唯一的一个。同学们可能会问，证明古老的数学难题仅仅是挑战智商吗？对科学进展有无意义呢？答案显然是有意义。怀尔斯的证明过程导致了很多数学研究成果的出现，今天区块链技术中用到的椭圆加密方法，就是以其中的研究为基础的。当我们为我国自主研发、独立运行的北斗卫星导航系统而深感自豪时，是否知道科学家们当年是如何攻克北斗工程核心技术即信号“快捕精跟”问题？思考这些问题，能启迪我们更好地理解教学原理与应用的关系。

最后，学习数学需兴趣和坚毅。我很赞同丘成桐先生的观点，即“兴趣需要培养”“还没开始学习之前，就问人家有没有兴趣，是极无聊的问题。只有你真正做进去后，才会发现你对它的兴趣有多大”。作为数学老师，我之所以喜欢带领一批学生组成数学兴趣小组或数学爱好者协会系统地学习数学，之后再选拔其中解题能力强者参加数学竞赛，是因为除了数学自身魅力之外，更重要的是与学生一起迎接数学挑战充满了乐趣。我常说世人看国际数学奥林匹克竞赛均以胜负论英雄，而业内人士才知晓其中的美妙动人之处。国际数学奥林匹克竞赛一天考3道题目，考2天，每道题目7分，总分42分。学生做完所有题目后，竞赛委员会就会把比分公布出来。但是值得注意的是，发布的成绩并不是最终定论。国际数学奥林匹克竞赛还有一个专门的协调机制：若参赛者的解题方法与数学家们给出的几种标准答案不同，且评委无法判定其方法是否可以获得正确结果时，允许学生在竞赛结束后继续按原思路解题，若能得出正解，仍可适当按步骤得分，这就是“协调”。此过程中带队教练也可以帮忙，如若教练团队也解不出来，就无法得分了。故每次进入协调阶段，各国教练团队都非常紧张。2010年，国际数学奥林匹克竞赛在哈萨克斯坦举行，我作为中国观察员参加。那一年，我国代表队有些学生的个别题目初判为0分，虽然题目都已解了一大半，但与几种标准解答均不同，按规定如果在限定时间内无法给出可行性正解，就不能按步骤给分数。于是，我们展开紧急行动，所幸最终都解出来了。一道题7分，1分就能拉出很大距离，那年我们的团体总分获得了世界第一。这就是国际数学奥林匹克竞赛的迷人之处，它关注学生点滴的思维火花，认可他们的思维方式，帮助他们循着自己的思维方式解开题目，保护每一种可能性。

正如赫尔曼·汉克尔说的，在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添新楼层。这种持续接力对于数学教育也是这样。雷·哈罗·哈代曾说，他认识的每一位才华横溢的年轻数学家都志存高远，充满雄心壮志，他们都意识到，如果存在一条可以通往卓越人生的道路，那这条道路就是数学！本套丛书立足于与课本相关的知识体系，同时进行了拓展，注重激发学生兴趣，启迪学生思考数学原理与应用的关系，如书中涉及著名的“陈子测日”“泰勒斯量金字塔”等。期待这些问题能启迪孩子们学习数学的兴趣，也期待这套丛书能让孩子们喜欢。

(作者系数学金牌教练，国家督学)

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