首届全国高中数学原创命题说题大赛获奖作品(05)

教育 2024-12-20 05:20 陕西

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由南京师范大学数科院和北京时代凤凰教育研究院联合主办、中国教育学会中数专委会指导的【第一届全国高中数学原创命题说题大赛】近日在南京师范大学成功闭幕！

本次大赛历时五个多月，共有来自23个省（市、自治区）700多所高中学校的老师报名参加。所有参赛作品历经三轮角逐，由全国高中数学知名专家组成评委会进行高标准严格评审，最终评出特等奖7个、一等奖13个、二等奖29个

现将大赛获奖作品正式面向全国高中数学同行开放分享。愿在更多数学教育同仁的热情参与下，让“命题说题大赛”大力推进教师高水平专业发展，让数学创新之花在“研题命题说题”中绽放！

获奖教师简介

PROFILE

谷红亮银川市第六中学

大赛 “一等奖”

谷红亮，河南驻马店人，中学二级教师，曾获宁夏回族自治区精品课一等奖，银川市教学论文评选一等奖，先后在《数学通讯》《中学数学杂志》《数理化解题研究》等期刊发表论文多篇。

获奖题目

现市场上治疗某种疾病的药品有A、B两种，其治愈率与患者占比如下表所示. 为试验一种新药C，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用，设药C的治愈率为p(0<p<1)，且每位病人是否被治愈相互独立.

	A	B	C(新药)
治愈率	75%	70%	p
患者占比	52%	48%

(1)记100个病人中恰有80人被治愈的概率为 $f(p)$ ,求 $f(p)$ 的最大值点 $p_0$

(2)以(1)问中确定的 $p_0$ 作为 $p$ 的值,用新药 $C$ 的患者占比达到多少时,能保证从患者人群中随机抽检一名痊愈者,其是服用新药 $C$ 治愈的概率为 $30\%$ (药品 $A$ , $B$ 减少的患者占比,均为新药 $C$ 增加占比的一半)

(3)按照市场预测,新药 $C$ 的患者占比 $X$ 能达到 $20\%$ 以上,不足 $40\%$ 的概率为 $\frac{1}{3}$ ,不低于 $40\%$ 且不超过 $60\%$ 的概率为 $\frac{1}{2}$ ,超过 $60\%$ 的概率为 $\frac{1}{6}$ 。某药企计划引入药品 $C$ 的生产线,但生产线运行的条数受患者占比的影响,关系如下表:

患者占比X	20%＜X＜40%	40%＜X＜60%	X＞60%
最多投入生产线条数	1	2	3

若某条生产线运行,年利润为1000万；若某条生产线未运行,年亏损300万,欲使该药企生产药品 $C$ 的年总利润均值最大,应引入几条生产线？

试题解析

(1)100个病人中恰好有80人被治愈的概率为

f(p)=C_{100}^{80}p^{80}(1-p)^{20}

则

f'(p)=C^{80}_{100}[80p^{79}(1-p)^{20}-20p^{80}(1-p)^{19}]=20p^{79}(1-p)^{19}C^{80}_{100}(4-5p)

令

f'(p)=0

,得

p=0.8

当

p\in(0,0.8)

时,

f'(p)＞0

f(p)

单调递增

当

p\in(0.8,1)

时,

f'(p)＜0

f(p)

单调递减

所以

f(p)

的最大值点为

p_0=0.8

(2)

由(1)知,

p=0.8

,设新药

C

的患者占比达到

n\%

时,满足要求。

事件

M

=“从患者人群中抽一名痊愈者”

事件

N_1

=“该患者服用药品

A

治疗”

事件

N_2

=“该患者服用药品

B

治疗”

事件

N_3

=“该患者服用药品

C

治疗”

则

P(M)=P(N_1)P(M|N_1)+P(N_2)P(M|N_2)+P(N_3)P(M|N_3)

因此

P(M)=(52\%-\frac{1}{2}×n\%)×75\%+(48\%-\frac{1}{2}×n\%)×70\%+n\%×80\%

又因为

P(N_3|M)=\frac{P(N_3M)}{P(M)}

所以

30\%=\frac{n\%×80\%}{(52\%-\frac{1}{2}×n\%)×75\%+(48\%-\frac{1}{2}×n\%)×70\%+n\%×80\%}

解得

n\%≈28\%

(3)

设随机变量

Y

为生产药品

C

产生的年利润

①若投入1条生产线,由于服用药品

C

的患者的占比总大于

20\%

,所以一条生产线总能运行

此时对应的年利润

Y=1000

P(Y=1000)=1

,所以

E(Y)=1000

；

②若投入2条生产线,当

20\%＜X＜40\%

,1条生产线运行,

年利润

Y=1000-300=700

P(Y=700)=\frac{1}{3}

；

当

X＞40\%

时,2条生产线运行,

年利润

Y=1000×2=2000

P(Y=2000)=\frac{2}{3}

,此时

Y

的分布列如下：

Y	700	2000
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$

所以 $E(Y)=700×\frac{1}{3}+2000×\frac{2}{3}=\frac{4700}{3}$

③若投入三条生产线,当 $20\%＜X＜40\%$ 时,1条生产线运行,

年利润 $Y=1000-300×2=400$ , $P(Y=400)=\frac{1}{3}$ ；

当 $40\%＜X＜60\%$ 时,两条生产线运行,

年利润 $Y=1000×2-300=1700$ , $P(Y=1700)=\frac{1}{2}$ ；

当 $X＞60\%$ 时,3条生产线运行,

年利润 $Y=1000×3=3000$ , $P(Y=3000)=\frac{1}{6}$ ,此时 $Y$ 的分布列如下:

Y	400	1700	3000
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

所以 $E(Y)=400×\frac{1}{3}+1700×\frac{1}{2}+3000×\frac{1}{6}=\frac{4450}{3}$

综上所述,欲使该药企生产药品 $C$ 的年度总利润均值最大,应引入两条生产线

命题意图

综合性试题，不仅是指学科内知识点的融合，还包括情境的复杂性，因此需要以复杂的情境作为载体，能够反映学科知识、能力内部的整合及其综合作用.

纵观新高考的高频考点和热点，无外乎导数、圆锥曲线、数列、解三角形、立体几何等，当然知识点间的融合、模块间的交叉，已然成为新的趋势.

但是，有一个模块的内容，很多同学并不是很重视，而且容易忽略，那就是统计概率部分，这是命制该题的原始初衷.

因此本题选择了涉及概率知识的二项分布、全概率公式、离散型随机变量的数字特征等进行命制.

首先，课标中要求通过具体实例，掌握二项分布，并能解决简单的实际问题. 题目以新药的临床试验为背景，符合学生的日常认知经验，巧妙的将二项分布的实际应用贯穿其中. 同时要想得到 $f(p)$ 的最大值点，就需要对其进行求导运算，既考查了求导的运算法则，又涉及了简单的复合函数求导，与课标中对导数的要求相吻合，也体现了利用导数求函数的最值. 在此过程中，考查了学生的数学运算、数学抽象等核心素养.

第(2)问中，有部分教师认为是贝叶斯公式的考查，而且此内容为选考，设置题目不合适. 其实不然，从题目本身来看，它是典型的条件概率问题，只是在运用条件概率公式求解时，又涉及到了全概率公式，而课标对条件概率以及全概率公式的要求是会利用、能计算，由此可以发现完全符合课程标准. 同时全概率公式也是新教材中新加入的学习内容，更应该重点掌握，达到灵活运用.

第(3)问的求解需要进行分类讨论，进而得到离散型随机变量Y的分布列及数学期望，符合课标中“理解离散型随机变量的分布列及数字特征”的要求. 题目以表格的形式体现已知条件，可以很好的考查学生的数据分析、逻辑推理、数学运算等核心素养.

方法点拨

第(1)问求最大值点，涉及到求最值的两个常用策略：基本不等式和函数单调性，本题很显然需借助导数，得到

f(p)

的单调性，进行求解.

第(2)问思考方向应为条件概率,在抽检出“痊愈者”的条件下,其是服用新药

C

治愈的概率,也即在事件

M

发生的条件下,事件

N_3

发生的概率,

得到关系式

P(N_3|M)=\frac{P(N_3M)}{P(M)}

求分子

P(N_3M)

用到概率的乘法公式

也即

P(MN_3)=P(N_3)P(M|N_3)

求分母

P(M)

用到全概率公式,也即

P(M)=P(N_1)P(M|N_1)+P(N_2)P(M|N_2)+P(N_3)P(M|N_3)

可以发现,运用条件概率+全概率公式即可(不必涉及贝叶斯公式)

第(3)问求均值,应从列分布列着手思考. 随后引入表示利润的随机变量

Y

，结合“投入生产线条数”进行分类讨论，找到年利润Y的可能取值及每个取值所对应的概率，分别得到三种情况下，

Y

所对应的分布列，进而求出

E(Y)

进行比较大小!

题源分析

命题素材 1 (A版数学选择性必修第三册教师教学用书第七章章末学业水平测试11题)

根据某种疾病的历史资料显示,这种疾病的自然痊愈率为

20\%

,为实验一种新药,在有关部门批准后,某医院把此药给10个病人服用,实验方案为:若这10个病人中至少有5个人痊愈,则认为这种药有效,提高了治愈率；否则认为这种药无效

(1)如果新药有效,把治愈率提高到了

70\%

,求经实验认定该药无效的概率

p

(2)根据

p

值大小解释该方案是否合理

命题素材 2 (A版普通高中教科书数学选择性必修第三册第七章习题7.4第8题)

某药厂研制一种新药,宣称对治疗某种疾病的有效率为

90\%

.随机选择了10名患者,经过使用该药治疗后,治愈的人数不超过6人,你是否怀疑该药厂的宣传?

类题赏析

【变式1】

第(3)问可以依据前两问进行分布列设置

问题:(3)以第(1)(2)问中确定的药品

C

的治愈率

p_0

,患者占比

n\%

为依据,且服用药品

A

B

C

的治疗周期分别为3个疗程、4个疗程、2个疗程.若从患者人群中抽检一名痊愈者,求该患者治疗耗时(疗程)

Y

的分布列以及期望(取整数)

【解析】

由题意得,该患者的治疗耗时 $Y$ 可能的取值为2,3,4.

则 $P(Y=2)=P(N_3|M)=\frac{P(N_3)P(M|N_3)}{P(M)}=\frac{224}{747}$

同理可得, $P(Y=3)=P(N_1|M)=\frac{95}{249}$ , $P(Y=4)=P(N_2|M)=\frac{238}{747}$

所以 $Y$ 分布列如下表所示:

Y	2	3	4
P	$\frac{224}{747}$	$\frac{95}{249}$	$\frac{238}{747}$

故 $E(Y)=2×\frac{224}{747}+3×\frac{95}{249}+4×\frac{238}{747}≈3$

【变式2】

第(3)问可以考虑两个痊愈者治疗疗程的和(或差)进行分布列设置

问题:(3)以第(1)(2)问中确定的药品

C

的治愈率

p_0

,患者占比

n\%

为依据,且服用药品

A

B

C

的治疗周期分别为3个疗程、4个疗程、2个疗程.若分别从药品

C

投入市场前后的患者人群中,各抽检一名痊愈者,求两位痊愈者治疗耗时(疗程)之和

ξ

的分布列及期望(精确到0.01).

【解析】

由题意得,

设药品 $C$ 投入市场前的一名痊愈者为甲,其治疗耗时为随机变量 $Y$ ,且 $Y$ 可能取值为3,4；

设药品 $C$ 投入市场前的一名痊愈者为乙,其治疗耗时为随机变量 $Z$ ,且 $Z$ 可能取值为2,3,4；

则 $P(Y=3)=\frac{65}{121}$ , $P(Y=4)=\frac{56}{121}$

又 $P(Z=2)=\frac{224}{747}$ , $P(Z=3)=\frac{95}{249}$ , $P(Z=4)=\frac{238}{747}$

所以两位患者治疗耗时之和 $ξ$ 的可能取值为5,6,7,8,且 $ξ$ 的分布列如下表所示:

$ξ$	5	6	7	8
P	$\frac{14560}{90387}$	$\frac{31069}{90387}$	$\frac{31430}{90387}$	$\frac{13328}{90387}$

故 $E(ξ)=5×\frac{14560}{90387}+6×\frac{31069}{90387}+7×\frac{31430}{90387}+8×\frac{13328}{90387}≈6.48$

则两位患者治疗耗时(疗程)之和 $ξ$ 的期望为6.48

说明:为了保证第三问和前两问的数据一致,所以两个变式只是给出了命题的方向,并没有对数据进行调整

教学建议

统计、概率部分的知识点，大部分同学都是有误解的，感觉列联表与独立性检验很简单，恰恰忽略了这部分内容的综合性。首先，这部分内容不仅有自身的条件概率、全概率公式、离散型随机变量的分布列、二项分布、超几何分布、正态分布等知识点，而且还可以与导数、数列进行联系设置题目，如2019年全国1卷第21题.

针对以上情况，教学过程中应注意以下方面：

① 要向学生强调这部分知识的灵活性、综合性，从心里引起学生的重视；

② 构建知识框架，避免片面化，形成该部分知识的整体结构；

③ 新授课要“用好”教材，特别是典型的例题、习题要引导学生深入思考，达到举一反三；复习课要回归教材，深挖教材，找相似题目，自行总结解题思路、总结相似模型；

④ 认识模型，理解模型，掌握模型，应用模型，如：经典的题目要积累，以期达到“一题多解，多题一解”的效果。

首届全国高中数学原创命题说题大赛获奖作品(04)

首届全国高中数学原创命题说题大赛获奖作品(03)

首届全国高中数学原创命题说题大赛获奖作品(02)

首届全国高中数学原创命题说题大赛获奖作品(01)

大赛组委会及本期获奖教师

本期获奖教师

谷红亮银川市第六中学

组委会人员名单

章建跃中国教育学会中学数学教学专委理事长

吴锷苏州市教育学会中学数学教学专委会理事长

王锋南京师范大学数学科学学院副院长

黄华上海市教育学会中小学数学教学专委会秘书长

张晓斌重庆市教育学会中学数学教学专委理会长

张金良浙江省教育学会中学数学教学分会会长

周远方湖北省教育学会中学数学专委会理事长

黄仁寿湖南省教育学会中学数学教学专委会秘书长

陈中峰福建省教研员

常磊山西省教研员

焦宇陕西省教研员

葛建华宁夏教育学会中学数学教学研究会秘书长

纪宪禹《中国数学教育》杂志社副主编

周超《中国数学月刊》杂志社副主编

陈明北京时代凤凰教育研究院院长

END

编辑 | 李明秋

初审 | 任金伟

终审 | 李明秋

提分关键词：思想纯粹，稳定情绪，适度锻炼，激发潜能，保持节奏，时刻细心，相信自己

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