热学中的常见物理模型，学会拿高分！

1、单分子层模型

在用油膜法测分子直径时，油酸分子在液体表面形成单分子油膜层，可以利用公式来计算油酸分子直径．

例1、将的油酸溶液溶于酒精，制成的酒精溶液，已知的酒精油酸溶液有50滴，现取1滴酒精油酸溶液滴到水面上，随着酒精溶于水中，油酸在水面上形成一单分子层，已测出这一薄层的面积为，由此可估算出油酸分子的直径多大？

解析：1滴酒精油酸溶液含有油酸的体积为：

单分子油膜层的厚度即油酸分子直径：

2、球体模型

由于固体和液体分子间距离很小，因此，在估算分子直径数量级的计算中，可以把固体和液体的分子看成是紧密挨在一起的球体．

例2、已知铜的密度为，相对原子量为64，通过计算求每个铜原子所占的体积以及每个铜原子的直径．

解析：因为铜的相对原子量为64，所以铜的摩尔质量为，铜的摩尔体积为，因此每个铜原子的体积为

由于铜原子间距离很小，我们可以把铜原子看成是紧密挨在一起的球形，

则由球体体积公式：，

可得铜原子的直径为：

3、立方体模型

一般情况下，气体分子间距很大，不像固体和液体那样紧密排列在一起。设想气体分子均匀分布，且把每个气体分子平均占有的空间想像成一个小立方体，任意一瞬间所有气体分子处于各个小立方体的中心位置，所计算出来的数值是每个气体分子所平均占有的空间，不是气体分子的大小．

立方体模型适用于计算离子晶体两个相邻离子之间的距离．求铜原子直径时，用立方体模型，表达式为：，所以．

4、弹性球模型

对于理想气体，分子间距离很大（大于10），分子力可以忽略不计，这时可以把气体分子看成一个个无相互引力和斥力的弹性小球，它们不停的做无规则的热运动，当与器壁发生碰撞时，便对器壁产生了压强．

例3、在常温下，氧分子的平均速率约为500m/s，如果一个氧分子以这个速率垂直地打在容器壁上，并以相等的速率反弹回来，氧气分子对器壁的冲量是多少？如果常温下某容器内氧气的压强为，试估算1s内打在器壁上面积上的氧分子个数．（假定每个氧分子都以平均速率垂直于容器的方向撞击器壁）

解析：氧气分子的摩尔质量为，则每个氧分子的质量为：

根据动量定理得，氧分子撞击器壁的冲量为：

设单位时间（1s）内打到器壁上的分子个数为n，则氧气的压强可表示为：

所以（个）

小结：无论是将物体分子看成球体还是立方体，还是弹性球，都是一种简化模型，是一种近似处理方法，由于建立的模型不同，得出的结果可能稍有不同，但数量级都是一样的．一般在估算固体或液体分子线度或分子间距离时采用球体模型，在估算气体分子间距时采用立方体模型．

5、球面模型

例4、横截面积是的圆筒内装有0.6kg的水，太阳光垂直照射2min，水温升高了1℃，设大气层顶的太阳光只有45%到达地面，试估算太阳的全部辐射功率．（太阳到地球的距离，保留两位有效数字，水的比热容）

解析：0.6kg的水温度升高1℃吸收热量为

，0.6kg的水吸收了太阳的热量为．

由于太阳的全部辐射能量散布在半径为R的球面上，所以太阳的全部辐射能量为：．

则太阳的全部辐射功率为：

．

6、弹簧双振子模型

固体、液体间的分子力可以用弹簧双振子模型来类比。设想两个分子由一根轻弹簧相连，分子间的作用力就相当于弹簧的弹力，分子势能则相当于弹性势能。

例5、两个分子从靠近得不能再近的位置开始，使二者之间的距离逐渐增大，直到大于分子直径的10倍以上，这一过程中关于分子间的相互作用力的下述说法中正确的是（ ）

A.分子间的引力和斥力都在减小

B.分子间的斥力在减小，引力在增大

C.分子间相互作用的合力在逐渐减小

D.分子间相互作用的合力，先减小后增大，再减小到零

解析：分子间同时存在着引力与斥力，当距离增大时，二力都在减小，只是斥力减小得比引力快。在时，引力与斥力的合力为零，相当于弹簧处于原长；当分子间距离时，分子间的斥力大于引力，因而表现为斥力，相当于弹簧被压缩；当时，分子间的斥力小于引力，因而表现为引力，相当于弹簧被拉伸；当距离大于10倍直径时，分子间的相互作用力可视为零。所以分子力的变化是先减小后增大，再减小到零，因而选项A、D正确。

7、柱体(微元柱)模型

例6、风力发电机是将风的动能转化为电能的装置。若每台风力发电机叶片转动后总共的有效迎风面积为S＝10m²，空气密度为，平均风速为，设风吹动发电机叶片后动能迅速为零，风力发电机的效率（风的动能转化为电能的百分比）为，则每台风力发电机的平均功率约为多少？

解析：虽然空气流无影无形、极不规则，但如果研究某段时间内进入电机叶片的气流，就可以建立起空气的柱体模型：柱体的横截面积为S，长度为，所以在时间内吹向电机叶片的空气的质量，其动能

所以发电机的平均功率

8、液柱模型

例7、（2021·广西桂林市·高三一模）如图所示，粗细均匀的U形玻璃管竖直放置，左管口封闭，右管开口，管中一段水银在左管中封闭一段空气柱，空气柱长为6cm，右管中水银液面离管口高度为4cm，已知大气压强为76cmHg，环境温度为300K。求：

(1)若将环境温度降低，使左右管中水银面相平，则环境的温度应降为多少K？（答案保留一位小数）

(2)若从右管口推人一个活塞，活塞与玻璃管内壁气密性好，缓慢推动活塞，使玻璃管两边水银面相平，则活塞在玻璃管中移动的距离为多少？（答案保留两位小数）

解析：(1)开始时，封闭气体的压强大小为

降温后，两边液面相平时，封闭气体的压强大小为

根据理想气体状态方程有

其中

L₁ = 6cm，L₂ = 5cm，T₀ = 300K

求得

T = 243.6K

(2)设活塞移动的距离为x，两管中气体的压强为p，对左管中气体研究有

对右管中气体研究有

其中L₃ = 4cm解得x = 1.75cm

例8、（2021·贵州六盘水市·高三一模）如图，一端封闭且粗细均匀的细玻璃管中，用长10 cm的水银柱封闭了一段空气，当玻璃管与水平面夹角为30°倾斜放置时水银柱上端恰好与管口相齐，空气柱长17 cm。已知大气压强为75 cm Hg，保持环境温度27℃不变，缓慢旋转玻璃管至开口竖直向上。

(i)求玻璃管开口向上竖直放置时被封空气柱的长度；

(ii)保持玻璃管开口向上竖直放置，缓慢加热空气柱使水银面与管口齐平，求此时空气柱的温度。

解析：(i)玻璃管缓慢转动过程中，气体做等温变化，初状态的参量

p₁=

V₁=L₁S，L₁=17cm

末状态的参量

p₂=

V₂=L₂S

根据玻意耳定律可得

p₁V₁=p₂V₂

代入题给数据解得

L₂=16cm

(ii)玻璃管保持竖直，温度升高过程，气体做等压变化。

T₂=300K，V₃=V₁

根据盖吕萨克定律得

代入题给数据解得T₃=319K，即t₃=46℃。

例9、(2021·江西南昌十中期末)如图所示，一个质量为m的T形活塞在汽缸内封闭一定量的理想气体，活塞体积可忽略不计，距汽缸底部h₀处连接一U形细管(管内气体的体积忽略不计)．初始时，封闭气体温度为T₀，活塞距离汽缸底部为1.5h₀，两边水银柱存在高度差．已知水银密度为ρ，大气压强为p₀，汽缸横截面积为S，活塞竖直部分高为1.2h₀，重力加速度为g，求：

(1)通过制冷装置缓慢降低气体温度，当温度为多少时两边水银面恰好相平；

(2)从开始至两水银面恰好相平的过程中，若气体放出的热量为Q，求气体内能的变化．

解析：　(1)初态时，对活塞受力分析，

可求气体压强p₁＝p₀＋

体积V₁＝1.5h₀S，

温度T₁＝T₀

要使两边水银面相平，汽缸内气体的压强p₂＝p₀，

此时活塞下端一定与汽缸底接触，V₂＝1.2h₀S

设此时温度为T₂，由理想气体状态方程有＝

得：T₂＝

(2)从开始至活塞竖直部分恰与汽缸底接触，气体压强不变，外界对气体做功W＝p₁ΔV＝(p₀＋)×0.3h₀S

由热力学第一定律得：ΔU＝0.3(p₀＋)h₀S－Q.

9、活塞模型

例10、（2021·福建省福清西山学校高三上学期12月月考）如图所示，透热的气缸内封有一定质量的理想气体，缸体质量M=200kg，活塞质量m=10kg，活塞面积S=100cm²活塞与气缸壁无摩擦且不漏气。此时，缸内气体的温度为27°C，活塞正位于气缸正中，整个装置都静止。已知大气压恒为p₀=1.0×10⁵Pa，重力加速度为g=10m/s²。求：

(1)缸内气体的压强p₁；

(2)缸内气体的温度升高到多少时，活塞恰好会静止在气缸缸口AB处？

解析：（1）以缸体为对象（不包括活塞）列缸体受力平衡方程：

解之得：

（2）当活塞恰好静止在气缸缸口AB处时，缸内气体温度为,压强为此时仍有

则缸内气体为等压变化，对这一过程研究缸内气体，由盖.吕萨克定律得：

所以

故气体的温度是：

 

例11、（2021·吉林省长春市29中高三上学期1月期末）如图所示，封闭有一定质量理想气体的汽缸开口向下竖直固定放置，活塞的截面积为S，质量为m₀，活塞通过轻绳连接了一个质量为m的重物．若开始时汽缸内理想气体的温度为T₀，轻绳刚好伸直且对活塞无拉力作用，外界大气压强为p₀，一切摩擦均不计且m₀g＜p₀S．

①求重物刚离地时汽缸内气体的压强；

②若缓慢降低汽缸内气体的温度，最终使得汽缸内气体的体积减半，则最终气体的温度为多少？

解析：①当轻绳刚好伸直且无拉力时，设此时汽缸内气体的压强为．

由力的平衡条件可得：

所以

当重物刚好离开地面时，设此时汽缸内气体的压强为，则有

所以

②设重物刚好离开地面时汽缸内气体的温度为，此过程气体发生等容变化，由查理定律可得

解得

设气体体积减半时汽缸内气体的温度为，此过程气体发生等压变化，由盖-吕萨克定律可得

解得．

8、变质量气体模型

例12、（2021·江苏省南通市高三上学期12月月考）如图是某同学用手持式打气筒对一只篮球打气的情景。已知篮球内部容积为7.5L，环境温度为27℃，大气压强为1.0atm，打气前球内气压等于外界大气压强，手持式打气筒每打一次气能将0.5L、1.0atm的空气打入球内，当球内气压达到1.6atm时停止打气（1atm=1.0×10⁵Pa）。

(1)已知温度为0℃、压强为1atm标准状态下气体的摩尔体积为V₀=22.4L/mol，求打气前该篮球内空气的分子数n（取阿伏伽德罗常数N_A=6.0×10²³mol^-1，计算结果保留两位有效数字）；

(2)要使篮球内气压达到1.6atm，求需打气的次数N（设打气过程中气体温度不变）。

解析：(1)设球内空气在标准状况下的体积为V^′，由盖―吕萨克定律有

其中T₁=300K，T₂=273K，又

解得n=1.8×10²³（个）

(2)由玻意耳定律，有

解得N=9（次）