方程的有关概念
1. 方程:含有未知数的等式就叫做方程。
2. 一元一次方程:只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程。
例如:1700+50x=1800, 2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程。
3.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
注:⑴ 方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。
⑵ 方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论。
等式的性质
等式的性质(1):等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等.
用式子形式表示为:如果a=b,那么a±c=b±c
等式的性质(2):等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,
用式子形式表示为:如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么a/c=b/c
移项法则
把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项。
去括号法则
1. 括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。
2. 括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变。
解方程的一般步骤
1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)
2. 去括号(按去括号法则和分配律)
3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号)
4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)
5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=).
列一元一次方程解应用题的一般步骤
1.列方程解应用题的基本步骤
步骤 | 名 称 | 方 法 | 依 据 | 注 意 事 项 |
1 | 去分母 | 在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数(即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数) | 等式性质2 | 1、不含分母的项也要乘以最小公倍数;2、分子是多项式的一定要先用括号括起来. |
2 | 去括号 | 去括号法则(可先分配再去括号) | 乘法分配律 | 注意正确的去掉括号前带负数的括号 |
3 | 移项 | 把未知项移到方程的一边(左边),常数项移到另一边(右边) | 等式性质1 | 移项一定要改变符号 |
4 | 合并 同类项 | 分别将未知项的系数相加、常数项相加 | 1、整式的加减; 2、有理数的加法法则 | 单独的一个未知数的系数为“±1” |
5 | 系数化为“1” | 在方程两边同时除以未知数的系数(或方程两边同时乘以未知数系数的倒数) | 等式性质2 | 不要颠倒了被除数和除数(未知数的系数作除数——分母) |
*6 | 检根 x=a | 方法:把x=a分别代入原方程的两边,分别计算出结果. ① 若 左边=右边,则x=a是方程的解; ② 若 左边≠右边,则x=a不是方程的解. 注:当题目要求时,此步骤必须表达出来. |
注意:
(1)初中列方程解应用题时,怎么列简单就怎么列(即所列的每一个方程都直接的表示题意),不用担心未知数过多,简化审题和列方程的步骤,把难度转移到解方程的步骤上。
(2)解方程的步骤不用写出,直接写结果即可。
(3)设未知数时,要标明单位,在列方程时,如果题中数据的单位不统一,必须把单位换算成统一单位,尤其是行程问题里需要注意这个问题。
2.设未知数的方法
设未知数的方法一般来讲,有以下几种:
(1)“直接设元”:题目里要求的未知量是什么,就把它设为未知数,多适用于要求的未知数只有一个的情况。
(2)“间接设元”:有些应用题,若直接设未知数很难列出方程,或者所列的方程比较复杂,可以选择间接设未知数,而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用。
(3)“辅助设元”:有些应用题不仅要直接设未知数,而且要增加辅助未知数,但这些辅助未知数本身并不需要求出,它们的作用只是为了帮助列方程,同时为了求出真正的未知量,可以在解题时消去。
(4)“部分设元”与“整体设元”转换:当整体设元有困难时,可以考虑设其一部分为未知数,反之亦然,如:数字问题。