编程的关键在于选择数据结构和算法，数据结构用于描述问题，算法用于描述解决问题的方法和步骤。
描述问题的数据除了各数据元素本身，还要考虑各元素的逻辑关系，主要是一对一的线性关系，一对多的树型关系和多对多的图形关系。另外，内存中对各数据元素的存储只有顺序存储和链式存储两种方式，所以数据结构还要考虑数据的存储结构，并考虑逻辑结构与数据结构如何有效地结合到一起。
用算法描述问题，当问题比较复杂时，通常的思路是分而治之，并辅以适当的数据结构。
1 分治法Divide and Conquer
分治法通常描述为以下三步：
Divide the problem into more subproblems（分解问题为众多的子问题）;
Conuqe(solve) the subproblems（解决各子问题）;
Combine(merge) the solution of subproblems(if need)（合并各子问题的解（如果需要））.
如用分治法来计算2^10?
2^10＝2^5*x^5=2^2*x^3*x^5=32*32=1024
相对于顺序查找，二分查找有更高的效率，前提是二分查找需要事先排好序：
int binarySearchLoop(int arr[], int len, int findData){if(arr==NULL || len <=0)return -1;int start = 0;int end = len-1;while(start<=end){int mid = start+(end-start)/2;if(arr[mid] == findData)return mid;else if(findData < arr[mid])end = mid-1;elsestart = mid+1;}return -1;}
2 枚举法也是一种暴力缩小问题规模的算法
简单的枚举算法也是可以优化的，即尽可能缩小搜索的空间，如判断质数：
质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。
判断质数的函数：
int isPrime(int n){if(n<= 1)// 小于等于1的整数不可能是素数return 0;if(n == 2); // 2 是素数return 1;if(n%2 == 0); // 能被2整除的其他整数都不是素数return 0;int limit = (int)sqrt((double)n)+1;for(int i = 3; i <= limit; i=i+2){if(n % i == 0)return 0;}return 1;}
isPrime()没有必要枚举所有的因子。
I 只要发现任何一个大于1小于n的因子，就能停下来报告n不是素数。
II 如果n能被2整除，直接报告n不是素数。如果n不能被2整除，那么它也不可能被4或6或其他偶数整除。因此，isPrime只需要检查2和奇数（由3开始，步长为2）。但注意有个特例，2能被2整除，但2是素数。
III 如果n不是素数，则必有一个因子小于√n 。因此不需要检查到n为止。只需检查到√n（n=√n*√n） 。
因为如果n能被2~n-1之间任一整数整除，其二个因子必定有一个小于或等于√n，另一个大于或等于√n。例如24可以表示为：2*12、3*8、4*6，前面的因子小于√24，后面的因子大于√24，检验出了小因子，即可判断n是否为素数，就像逻辑运算的短路求值。
3 程序的模块化
分治法在程序思想中的应用就是实现程序的模块化，包括面向过程的函数化和面向对象的对象化。
许多原因都促使我们将应用程序分解成函数，下面仅列举其中三个：
函数一般小而具体。用一系列函数来写程序，胜于一气呵成写完整个程序。这称为“分而治之”，使你的精力一次集中在一个函数上。
包含许多小函数的应用程序比单一的长程序更容易阅读和调试。
函数可以重用。函数写好后可在程序的其他任何地方调用。这减少了编码量，提高了开发效率。
4 函数调用与栈
首先讨论一个从a点出发去f点，然后回到a点的问题（中间的b、c、d、e都有多个分岔口）：
a→b2→c1→d3→e2→f，每个分岔口都有一个信封，告诉你应该走哪一个分支，为了能够正确地回到起点a，正确的做法是拿到一个信封后，即将这个信封叠在上一次拿到的信封的上面，回去时，依次从上面拿取信封，按提示即可正确返回。
其做法就是依次放入，依次取出，信封之间是顺序关系，只在一端操作，也就是不管是放入还是取出都不在中间操作。这样一种思路在计算机上用数据来描述就是后进先出的栈，函数的调用、返回，递归、回溯算法都需要使用栈这种数据结构（由程序员或递归时由编译器来实现）。
在C++中，函数不能嵌套定义，但可以嵌套调用，在函数调用时，编译器需要确保在逐级调用后能够回归到最初的调用点，编译器会隐式实现一个堆栈，用来保存每一级函数调用时的函数返回地址和局部变量，依次入栈和出栈。
C++也支持递归函数的递归调用，同样是由编译器隐式地实现了一个堆栈。
5 深度搜索与广度搜索
如果将上述的问题稍微扩展一点，要从源点到目标点，中间的节点可能有多个分叉，这样的问题可以用一个树或图来描述。
而探路的方法可以分为两种，一种是深度优先搜索（下一点、下一点……回溯……），一种是广度优先搜索（下一点的全部分叉、下一点的全部分叉……）：
5.1 深度优先搜索用栈（stack）来实现，整个过程可以想象成一个倒立的树形：
1）把根节点压入栈中。
2）每次从栈中弹出一个元素，搜索所有在它下一级的元素，把这些元素压入栈中。并把这个元素记为它下一级元素的前驱。
3）找到所要找的元素时结束程序。
4）如果遍历整个树还没有找到，结束程序。
5.2 广度优先搜索使用队列（queue）来实现，整个过程也可以看做一个倒立的树形：
1）把根节点放到队列的末尾。
2）每次从队列的头部取出一个元素，查看这个元素所有的下一级元素，把它们放到队列的末尾。并把这个元素记为它下一级元素的前驱。（取出的元素也可以保存到一个队列）
3）找到所要找的元素时结束程序。
4）如果遍历整个树还没有找到，结束程序。
广度优先搜索相对于深度优先搜索，因为是逐层探索的，可以确保以较少的点到达目标点，缺点是存储量较大。
6 递归算法
递归就是某个函数直接或间接的调用自身。
语法形式上: 在一个函数的运行过程中, 调用这个函数自己：
直接调用: 在fun()中直接执行fun()；
间接调用: 在fun1()中执行fun2(); 在fun2()中又执行fun1() ；
问题的求解过程是划分成许多相同性质的子问题的求解，而小问题的求解过程可以很容易的求出。这些子问题的解就构成里原问题的解。
待求解问题的解可以描述为输入变量x的函数f(x)。
通过寻找函数g( )，使得f(x) = g(f(x-1))。
且已知f(0)的值, 就可以通过f(0)和g( )求出f(x)的值。
扩展到多个输入变量x, y, z等, x-1也可以推广到 x - x1 , 只要递归朝着 “出口” 的方向即可。
递归算法分解出的子问题与原问题之间是纵向的, 同类的关系（枚举分解出的子问题之间是横向的, 同类的关系）。
递归的三个要点:
递归式：如何将原问题划分成子问题；
递归出口：递归终止的条件, 即最小子问题的求解,可以允许多个出口；
界函数：问题规模变化的函数, 它保证递归的规模向出口条件靠拢。
如一个求阶乘的递归程序，给定n, 求阶乘n!
阶乘的栈：
二分搜索的递归实现：
int binarySearchRecursion(int arr[], int findData, int start, int end){if(arr==NULL || start>end)return -1;int mid = start+(end-start)/2;if(arr[mid] == findData)return mid;else if(findData < arr[mid])binarySearchRecursion(arr, findData, start, mid-1);elsebinarySearchRecursion(arr, findData, mid+1, end);
7 归并排序
归并排序（merge sort）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为2-路归并（2-way or binary merges sort）。
归并排序在1945年由冯·诺伊曼首次提出。
2-路归并的基本思路就是将数组分成二组A，B，如果这二组组内的数据都是有序的，那么就可以很方便的将这二组数据进行排序。如何让这二组组内数据有序？
可以将A，B组各自再分成二组。依次类推，当分出来的小组只有一个数据时，可以认为这个小组组内已经达到了有序，然后再合并相邻的二个小组就可以了。这样通过先递归的分解数列，再合并数列就完成了归并排序。
归并排序的效率是比较高的，设数列长为N，将数列分开成小数列一共要logN步，每步都是一个合并有序数列的过程，时间复杂度可以记为O(N)，故一共为O(N*logN)。因为归并排序每次都是在相邻的数据中进行操作，所以归并排序在O(N*logN)的几种排序方法（快速排序，归并排序，希尔排序，堆排序）也是效率比较高的。
归并排序的实现分为递归实现与非递归(迭代)实现。递归实现的归并排序是算法设计中分治策略的典型应用，我们将一个大问题分割成小问题分别解决，然后用所有小问题的答案来解决整个大问题。非递归(迭代)实现的归并排序首先进行是两两归并，然后四四归并，然后是八八归并，一直下去直到归并了整个数组。
7.1 归并排序分解
可以看到这种结构很像一棵完全二叉树，分阶段可以理解为就是递归拆分子序列的过程，递归深度为log2n。
7.2 归并排序合并相邻有序子序列
再来看看并阶段，我们需要将两个已经有序的子序列合并成一个有序序列，比如上图中的最后一次合并，要将[4,5,7,8]和[1,2,3,6]两个已经有序的子序列，合并为最终序列[1,2,3,4,5,6,7,8]，来看下实现步骤。
申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列； 设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置； 比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置；temp[index++] = A[i] <= A[j] ? A[i++] : A[j++]; 重复步骤3直到某一指针到达序列尾； 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾；
7.3 归并排序动图演示
7.4 归并排序代码
8 回溯法和分书问题
#include <iostream>#include <conio.h>using namespace std;int like[5][5]={{0,0,1,1,0},{1,1,0,0,1},{0,1,1,0,1},{0,0,0,1,0},{0,1,0,0,1}};int take[5]={0,0,0,0,0};//记录每一本书的分配情况int n;//n表示分书方案数void trynext(int i);int main(){n=0;trynext(0);getch();return 0;}//对第 i 个人进行分配void trynext(int i){int j,k;for(j=0;j<5;j++){if(like[i][j]&&take[j]==0){take[j]=i+1;//把第j本书分配给第i个人if(i==4)//第5个人分配结束，也即所有的书已经分配完毕，可以将方案进行输出{n++;cout<<"第"<<n<<"种分配方案"<<endl;for(k=0;k<5;k++)cout<<"第"<<k<<"本书分配给"<<(char)(take[k]+'A'-1)<<endl;cout<<endl;}elsetrynext(i+1);//递归，对下一个人进行分配take[j]=0;//回溯，寻找下一种方案}}}
#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <limits.h>// 分类 -------------- 内部比较排序// 数据结构 ---------- 数组// 最差时间复杂度 ---- O(nlogn)// 最优时间复杂度 ---- O(nlogn)// 平均时间复杂度 ---- O(nlogn)// 所需辅助空间 ------ O(n)// 稳定性 ------------ 稳定// 合并两个已排好序的数组A[left...mid]和A[mid+1...right]void Merge(int A[], int left, int mid, int right){int len = right - left + 1;int *temp = new int[len]; // 辅助空间O(n)int index = 0;int i = left; // 前一数组的起始元素int j = mid + 1; // 后一数组的起始元素while (i <= mid && j <= right){temp[index++] = A[i] <= A[j] ? A[i++] : A[j++]; // 带等号保证归并排序的稳定性}while (i <= mid){temp[index++] = A[i++];}while (j <= right){temp[index++] = A[j++];}for (int k = 0; k < len; k++){A[left++] = temp[k];}}// 递归实现的归并排序(自顶向下)void MergeSortRecursion(int A[], int left, int right){if (left == right) // 当待排序的序列长度为1时，递归开始回溯，进行merge操作return;int mid = (left + right) / 2;MergeSortRecursion(A, left, mid); //左半部分排好序MergeSortRecursion(A, mid + 1, right); //右半部分排好序Merge(A, left, mid, right); //合并左右部分}// 非递归(迭代)实现的归并排序(自底向上)void MergeSortIteration(int A[], int len){int left, mid, right;// 子数组索引,前一个为A[left...mid]，后一个子数组为A[mid+1...right]for (int i = 1; i < len; i *= 2) // 子数组的大小i初始为1，每轮翻倍{left = 0;while (left + i < len) // 后一个子数组存在(需要归并){mid = left + i - 1;right = mid + i < len ? mid + i : len - 1;// 后一个子数组大小可能不够Merge(A, left, mid, right);left = right + 1; // 前一个子数组索引向后移动}}}int main(){int A1[] = { 6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4 }; // 从小到大归并排序int A2[] = { 6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4 };int n1 = sizeof(A1) / sizeof(int);int n2 = sizeof(A2) / sizeof(int);MergeSortRecursion(A1, 0, n1 - 1); // 递归实现MergeSortIteration(A2, n2); // 非递归实现printf("递归实现的归并排序结果：");for (int i = 0; i < n1; i++){printf("%d ", A1[i]);}printf("");printf("非递归实现的归并排序结果：");for (i = 0; i < n2; i++){printf("%d ", A2[i]);}printf("");system("pause");return 0;}
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