本文由清华大学宽带通信与信号处理实验室的老师 撰写， 课题组在5G/6G相关信号处理领域取得了重要的研究突破，并将这一成果精心整理成文，呈现给5G通信读者。

写在前面：本推送介绍论文“Block-sparse tensor recovery”的相关内容。张量稀疏恢复作为5G/6G通信中频谱感知、信道估计、到达角估计等诸多应用领域所倚重的核心信号处理技术，其理论与算法设计的精准性与高效性至关重要。本文探讨了5G/6G高维信号处理领域中，基于张量压缩测量重建稀疏张量的可恢复性问题。研究构建了一个块稀疏张量恢复的一般化理论模型作为基石，并创新性地定义了用于衡量矩阵集合的互不相干性概念（MIP）。以此为基础，本文引入了一种基于正交匹配追踪（OMP）框架的代表性算法，即张量广义块OMP（T-GBOMP），用以分析在无噪声及有噪声场景下的理论恢复条件。具体而言，研究不仅提出了精确恢复条件，还进一步探讨了该条件成立的充分条件，同时考虑了多种不同程度的条件约束。在残差收敛性、估计误差以及信噪比界限等多个方面，本文推导了可靠重建条件，旨在揭示基于新定义MIP的张量稀疏恢复的理论可计算性及可解释性。对比分析表明，本文所推导的理论结果相较于现有结果更优。最后，研究还深入探讨了若干经典贪婪算法的张量扩展形式，证明了所得出的理论结果具有广泛的适用性，能够涵盖上述所有算法的张量化变体。

一、研究背景

在诸多5G/6G通信应用场景中，如频谱感知、信道估计、到达角估计及稀疏表示等，均需从线性测量中重构n维块稀疏张量。张量重构的一个核心问题在于如何准确表征其可恢复性。在传统单测量向量（SMV）与多测量向量（MMV）模型中，限制等距性（RIP）是衡量贪婪算法可恢复性的重要工具之一。具体而言，若测量矩阵满足具备适当限制等距常数（RIC）的RIP条件，则稀疏信号能够被可靠恢复。然而，计算矩阵的RIC是一个NP难问题，这无疑增加了其在实际应用中的难度。相比之下，互不相干性（MIP）作为一个可计算的性质，为RIP提供了更为严格的条件，即满足MIP意味着RIP成立，但反之则不然。然而，现有的MIP框架无法应用于张量恢复场景，原因在于其仅针对单个测量矩阵的特性进行描述，而张量恢复问题往往涉及多个测量矩阵，现有MIP框架无法有效捕捉给定矩阵集内部元素之间的交叉相干性。

此外，开发限制性较小的理论保证对于实际决策十分关键，其依赖一个有效的张量模型。块稀疏张量作为张量内部结构特性的广义扩展，在诸多应用中不可或缺。换言之，待恢复信号不仅具有多维结构，其中每个维度代表时间、频率或空间等特定的物理属性，从而形成张量结构，而且由于多带频谱利用和能量扩散效应等因素还表现出块稀疏性。结合张量结构与块稀疏性，块稀疏张量恢复在提高恢复精度和降低复杂度方面显示出巨大潜力。

针对上述问题，本文贡献如下：定义了针对给定矩阵集的MIP概念，作为张量恢复的理论基础。通过分析比较，新定义MIP概念相比传统MIP在张量结构化性能方面具有更强的表征能力。提出了块稀疏张量恢复模型，并将稀疏张量内部的一种新型块结构建模为阴影块稀疏性。它利用张量空间支撑块间的遮挡关系，量化了每个测量矩阵与稀疏张量的非零支撑块之间的相关块数量。作为一种广义变体，提出了源自OMP框架的张量广义块正交匹配追踪（T-GBOMP）算法，作为推导块稀疏张量恢复可靠重构条件的重要工具。基于上述准备，探讨了块稀疏张量理论恢复条件。首先，提出了无噪场景下T-GBOMP的精确恢复条件，并基于可重构稀疏度提出精确条件成立的充分条件。相关结果表明，如果稀疏度低于某一上限，T-GBOMP能够从测量值中精确重构出最稀疏的张量。其次，基于新定义的MIP推导出了有噪恢复条件，其涉及在不同假设下原始张量与估计张量之间误差上限、可靠恢复所需信噪比（SNR）下限以及特定迭代下残差张量的范数。此外，研究指出测量矩阵的块正交性可以降低重构误差上限，且块稀疏张量较大的块长会进一步增大块正交测量矩阵与非块正交测量矩阵之间的性能差距。上述所得结果比现有结果（如果存在且可比较）更优，证明了块稀疏张量恢复方法相较于传统方法的优越性。

二、系统模型

块稀疏张量恢复模型如图1所示，目标从接收的线性测量Y中恢复n维块稀疏张量X：

其中为测量矩阵，N为噪声张量，代表矩阵和张量的第个模态积。待恢复张量X呈现块稀疏性，即非零支撑部分形成张量块。为获得所述模型恢复理论性能，研究定义互块相干性和互次相干性如下

相比于传统MIP度量仅针对单一测量矩阵，本研究所定义MIP能够衡量测量矩阵集合整体互不相干性，从而揭示多测量矩阵条件下矩阵整体的近正交程度，以推导块稀疏张量恢复理论界限。

图1 张量块稀疏恢复模型

基于块稀疏张量非零支撑在空间中的遮挡关系，研究提出阴影块稀疏度概念，如图2所示。对于块稀疏张量X，阴影稀疏度定义为遮挡第个张量模态方向上的非零支撑块个数。

图2 阴影稀疏度模型

基于上述概念，并考虑张量空间结构，本文提出块稀疏张量所满足阴影块稀疏度条件，即针对一个块稀疏度为的张量，其阴影稀疏度满足，其中为张量第个模态的阴影稀疏度。该条件构建了块稀疏张量的空间几何模型，并成为后续理论推导的关键。

三、重构理论

3.1 无噪恢复条件

本文首先针对无噪场景下提出T-GBOMP算法的精确恢复条件，其为T-GBOMP算法能够利用最少张量块（即最稀疏）表示重构目标张量的充分条件。具体为，针对待恢复块稀疏张量X，且给定测量矩阵集，T-GBOMP算法精确重构的充分条件为，其中，是对应X非零支撑的张量索引集，代表包含中s个最大元素的索引集，是中最大元素的张量索引。由于该充分条件中包含非零支撑集索引集合，因此不具直观性。为此基于MIP概念，提出该精确重构条件成立的充分条件，即可重构稀疏度。具体为当块稀疏度满足

时，精确重构条件成立。分析表明，该充分条件优于现存结果，揭示块稀疏张量恢复的优越性。

3.2 有噪恢复条件

当场景存在噪声时，本文首先给出重构误差上界，即当T-GBOMP算法残差满足时，则重构误差满足：

其中和为与测量矩阵集相关的特征值上界与下界。分析表明，随着块稀疏性、互块相干性和互子相干性降低，重构误差上界也随之减小，意味着恢复性能提高。与现存基于NP难RIP度量的结果相比，上述条件提供了一个可计算的理论重构误差，因此更具实际应用价值。此外，当块长越大时，重构误差与最优张量结构的误差就越接近。这表明更强的块结构可以带来更好的恢复性能。

此外，在有噪场景中，应适当设置ϵ以避免算法过早或过晚终止。过早终止会导致张量恢复不足，而过晚停止则会使张量受到更多噪声的干扰，即出现过拟合。在上述理论中，本文考虑了当时，的情况。然而，由于是一个预设参数，当时，会出现不满足的情况。针对该场景，本文提供了一个恢复条件，表明T-GBOMP算法最多在次迭代内可以进行可靠恢复。即当且不满足时，若SNR满足

其中为张量X的最小平均比，则T-GBOMP算法能够在最多次迭代中选择所有的支撑索引。可以看出，和处于同一量级，共同影响，这意味着选择参数的增加可以有效地抵消由于块稀疏性增加而导致的性能损失。由于，随着支撑张量块功率的增强，可以获得更低的SNR界。

四、数值仿真

本文从有噪场景和无噪场景验证T-GBOMP算法性能以及对应理论推导结果。在无噪声场景，准确恢复比例被用作衡量指标，其定义为

考虑三维块稀疏张量恢复模型，ERR被描绘为块稀疏度的函数。块长度固定为，和，因此总稀疏度为。仿真结果如图3所示，当块稀疏度小于或等于2时，T-GBOMP（s=2）和T-GBOMP（s=3）提供了更好的精确恢复保证，性能优于其他算法，其中k=1是算法实现精确恢复（即ERR=1）的唯一可能点。如图3(a)所示，当块稀疏度大于3时，在恢复块稀疏高斯张量（其中且）方面，T-GBOMP（s=2）和T-GBOMP（s=3）的性能不如块正交最小二乘法（BOLS），这表明在MIP不理想且块稀疏度较高的情况下，OLS框架在提供可靠恢复方面可能具有高度的竞争力。对于2-PAM张量，图3(b)和3(d)显示，T-BOMP、T-GBOMP（s=2）和T-GBOMP（s=3）的性能显著优于其他算法。这表明张量结构信息对于可靠恢复是有益的，因为T-BOMP的性能优于BOMP和BOLS。此外，利用块稀疏性可以获得更可靠的结果，因为T-GBOMP（s=2）和T-GBOMP（s=3）的性能优于T-GOMP（s=2）和T-GOMP（s=3）。由于T-GBOMP的性能优于T-BOMP，而T-BOMP的性能又优于BOMP，因此，张量维度越高，算法的恢复性能越好。此外，T-GBOMP（s=3）的性能优于T-GBOMP（s=2），表明更大的选择参数能通过增加选择所有正确原子的可能性来提高恢复的准确性。针对可重构稀疏度上界，基于图3中的参数设置，可得理论最差可重构稀疏度为。该结果与图3中给出的结果一致，即当块稀疏度小于或等于1时，T-GBOMP（s=2）和T-GBOMP（s=3）可以实现100%的ERR。

图3 算法ERR性能

针对有噪场景，如图4所示，T-GBOMP（s=3）在所有比较的方法中总体具有最优的归一化均方误差（NMSE）。随着块稀疏度的增加，T-BOMP、T-GBOMP（s=2）和T-GBOMP（s=3）的性能会恶化，但它们仍然显著优于其他方法。对于可靠恢复所需SNR下界，由于图4的仿真中生成了块稀疏的2-PAM张量，因此能够得到可靠恢复所需SNR下界等于。与图4中结果对比，即当SNR超过10 dB时，NMSE相对较低，保持在10−2以下，与理论下界吻合。值得一提的是，由于进行了渐近分析，本文中的其他结果比上述理论结果中的限制更少，这表明针对图4的理论验证结果的正确性也证明了本文所得其他SNR界限的正确性。其次，假设一个在计算重建误差界时限制较少的场景，即图4中测量矩阵的每个元素都遵循均值为零、方差为的独立同高斯分布。当SNR=10 dB且时，有。因此，根据所得理论，有。这一结果与图4中的发现一致，表明关于重建误差推导出的其他理论结果也是正确的。由于本文的分析基于MIP框架，本质上考虑了块稀疏张量恢复性能最差的情况，因此所呈现的分析结果比数值结果更为悲观。

图4 算法NMSE性能

五、总结展望

本文针对5G/6G通信场景中的高维信号处理关键技术展开研究。定义了针对测量矩阵集合的MIP概念，构建了块稀疏张量恢复模型，并详细阐述了T-GBOMP算法。本文从无噪场景下的精确恢复条件和有噪场景下的可靠重构条件两个方面，对T-GBOMP进行了深入的理论分析。具体而言，在无噪场景下，当块稀疏度小于推导出的上界时，可以确保T-GBOMP能够精确重构块稀疏张量。在有噪声场景下，推导了T-GBOMP在不同假设下原始张量与估计张量之间误差上限、可靠恢复所需SNR下限以及特定迭代下残差张量的范数。相关结果可以拓展至现存张量恢复贪婪算法以及其他张量变体，表明本文所推导的理论结果具有广泛适用性。