提分关键词：思想纯粹，稳定情绪，适度锻炼，激发潜能，保持节奏，时刻细心，相信自己
CCTV纪录片 | 数学大片《被数学选中的人》（视频1—4集全）
进入新学期,老师们都有自己的新打算:新教师希望上好教师生涯第一课;老教师希望教学进步.如何上好一堂课,是一个没有标准答案的永恒话题.教无定法,但教有规律.数学教学要遵从学生的认知规律和数学本身的规律.学生学习的实质是把新获得的知识和已有的认知结构联系起来,积极建构其知识体系.数学是一个逻辑严密的整体,因此,数学教学应进行整体性教学设计.
数学核心素养具有整体性、一致性和发展性.数学核心素养难以在单个的知识点上表现出来, 它往往隐藏在知识体系、知识结构之中. 发展学生的数学核心素养应着眼于知识结构的教学, 这样才有利于素养的生成、发育和成长. 数学教学设计要从着眼于一个知识点或课时转变为整体性教学设计. 构建内容结构既要关注数学内容的整体性,又要关注核心素养整体性培养的要求, 准确把握每个主题的内容要求和学业要求, 遵循螺旋上升原则, 使学生对数学知识的理解不断深入, 同时不断提升学生的数学核心素养水平, 体现核心素养发展的阶段性.
一、什么是单元整体教学设计
(一) 课程标准对单元整体教学设计的界定
《义务教育数学课程标准( 2022年版)》第86页对单元整体教学设计作了如下界定:
整体分析数学内容本质和学生认知规律,合理整合教学内容,分析主题—单元—课时的数学知识和核心素养主要表现,确定单元教学目标,并落实到教学活动各个环节,整体设计,分步实施,促进学生对数学教学内容的整体理解与把握,逐步培养学生的核心素养.
进行整体性教学设计,就是把每个知识点都放到完整的单元知识结构中去理解,促使学生建立新、旧知识之间的关联,把握知识结构之整体,从而通过“学结构”,学会“用结构”. 这种设计基于对知识的系统理解,强调知识的关联和整合;强调形成学生主动类比发现结构、形成结构并加以拓展的学习心态和能力;强调将学生在学习过程中积累的经验迁移到新的问题情境中,构建有序思维,解决挑战性问题.
整体性教学设计是先建构单元整体,引领和帮助学生建立有关单元的知识框架认知, 建立轮廓化印象,然后再深入研究具体的单个知识.处于某种联系中的知识往往能让学生实现一种“情境记忆”———框架或网络式情境中的记忆,记得一点就能“带出”许多.学生只有在结构化的知识里才能理解知识元素之间的关系,才能透过关系发现本质,进而再以这些本质性的认知去解决更多同类或有紧密关联的问题,实现高效率的迁移.一般情况下,低阶思维更多发生在一个个知识点的教学过程中,其中尤以对知识的简单识记为主,而高阶思维则几乎不可能发生在碎片化的教学中.
(二)数学教学单元类型
1.以知识技能为主题的教学单元
这类教学单元主要指由新知课构成的单元.教材就是按单元编写的.在实际操作中,打乱教材的内容顺序,进行所谓的内容重组,是不妥当的.
2.以思想方法或学科素养为主题的教学单元
这类教学单元主要指由复习课构成的单元.一般为超越教材的内容,根据复习的主题或专题目标进行的内容重组.
3.项目型单元
华东师大版《初中数学》新教材安排了这类项目学习单元.
(三)单元整体教学设计的原则
数学教学应按照“总—分—总”原则进行整体性教学设计.
第一个“总”就是先作粗浅的梗概介绍,它在一定程度上是很好的先行组织者,成为学习的导航仪,这个导航仪也成为后续学习的定位仪.
“分”就是“由薄到厚”,它是对具体知识的研究.教师要从“研究一个数学对象”的角度思考和设计教学过程,对研究对象的抽象、研究内容的确定、研究思路的构建、研究方法的 引导等方面规划整体教学思路,帮助学生明晰迁移相似问题的研究策略.
第二个“总”就是“由厚到薄”,作精练而深刻的总结,它是在掌握具体学习内容基础上的再次深度融合与升华,因而更为具体、深入.为此,要重视对章末“小结”的教学.在期末复习和学段总复习时,要构建每册教材和整套教材的知识结构,沟通每册教材和整套教材的知识联系.
二、华东师大版《初中数学》教材
单元整体教学设计
整套教材按照“总—分—总”原则进行编排.第一个“总”是序幕:每册教材中“致亲爱的同学”是该册教材的序幕,其目的是让学生了解全书内容及其与已学内容的联系;每章的“章首页”是该章的序幕,其目的是帮助学生构建良好的数学认知结构、掌握基本思想方法、 感受数学应用的广泛性.第二个“总”是总结升华,例如每章末的“小结”,其目的是帮助学生加深对该章知识的理解、梳理该章的知识结构、提炼该章的数学思想方法;每册最后的2个“项目学习”既是对知识(包括数学知识和跨学科知识)和方法的整合,也是对学生素养的整 合. “分”是对具体知识的研究,一般采用“情境—探索—归纳—应用”的过程展开,主要聚焦局部问题,让学生获得成就感.
教材编排思路决定教学设计思路,两者的关系如图1、图2所示.
三、单元整体教学设计示例
(一)初中数学起始课
小学阶段和初中阶段的数学核心素养水平不同:小学阶段的表现侧重于意识,主要是基于经验的感悟,形成初步的意识,所有概念均没有明确的定义;初中阶段的表现上升为观念, 主要是基于对概念的理解,形成相对明确的观念,开始尝试建立属加种差的定义.为此, 有必要通过初中数学起始课,为学生开启初中数学学习做必要的准备.初中数学起始课应引导学生思考如下问题: (1)小学学过哪些数学知识? (2)数学是什么? (3)数学有什么用? (4)怎样学数学? (5)初中阶段要学哪些数学知识?
(二)单元起始课
有效的单元起始课教学通常建立在对单元知识、学生认知和教学安排的整体性认识之上,并能引发后续更加深度的教学探究活动.单元起始课在内容组织方面一般体现以下三个主要目的:
(1) 知识层面:单元起始课的教学设计应为整个单元提供知识框架,并揭示知识间的内在联系,从而有利于后续每个子知识的深度教学.
(2) 方法层面:单元起始课的教学设计应关注学生用怎样的思维方式、思想方法来完成整个单元的学习.
(3) 价值层面:单元起始课的教学设计应强调学习的必要性,全面揭示数学知识背后的育人价值,提升课程与教学的立意和价值取向.
以教材中“有理数”章为例,本单元(章)起始课可按如下方式展开:
(1) 复习旧知或创设情境,引出研究问题,并强调研究的必要性. 如气温的表示等;减法的封闭性(3-5=?).
(2) 分析研究思路,得出研究方法,引出本单元(章)要研究的主要内容.
有理数的研究思路:
——引入负数;
——有理数的概念(定义,符号表示,分类及相关概念,相反数、倒数、绝对值);
——有理数的性质(大小比较);
——有理数的运算(运算法则,运算律);
——有理数的应用.
(3) 梳理研究问题的方法,揭示通性通法. “数”概念扩充的原因:生产生活实践的需要;数学自身发展的需要. 研究“数”概念的“套路”:概念—性质—运算—应用.
单元起始课不是教知识,而是教方法——教该单元的研究方法!
(三)新知课
应该把教学过程的每个环节看作是这节课的一个局部, 把每节课看作是整个单元的一个局部, 把每个教学单元看作是整个领域的一个局部, 把每个领域看作是整个学段的一个局部.
例如, “数与代数”领域的整体教学设计:
(1) 绘制“数与代数”领域的知识结构图.
进行“数与代数”领域的单元教学时,应先厘清“数与代数”领域的知识结构,绘制“数与代数”领域的知识结构图,如图3所示.
如图4给出了4条线索的关系图,从中可以看出: 4条线索对应4个结构模式,而它们是相似的.
(2) 关联知识内容与核心素养.
接着应把从领域到主题,再到单元、课时的知识内容与核心素养的主要表现关联起来, 如图5所示.
(3) 注意通性通法的迁移.
在具体教学过程中,将同一个结构单元或者不同单元但结构类同的内容的教学过程分为“学会结构”和“运用结构”两大阶段.在“学会结构”阶段,充分发挥教师的主导作用:整体认识知识关系,确定学习对象,形成学习经验.在“运用结构”阶段,充分发挥学生的主体作用:将在“学会结构”阶段形成的学习经验迁移到新的情境中,类比学习新知、解决问题,完善认知结构.
例如,从初中阶段“数”概念的学习来看,“有理数”是“学会结构”阶段,“实数”是“运用结构”阶段.在学习“有理数”时,教师要引导学生把握研究一种新数的“基本套路”:背景— 概念—性质—运算—应用.具体来说,“有理数”的研究过程为:引入负数(生产生活实践的需要和数学自身发展的需要)—有理数的概念(定义,符号表示,分类及相关概念,相反数、倒数、绝对值)—有理数的性质(大小比较)—有理数的运算(运算法则,运算律)—有理数的应用.在学习“有理数”阶段,教师应引导学生形成研究“数”概念的一般观念,然后把这个一般观念迁移到“实数”的学习中.把“实数”教学作为“数”概念教学的“运用结构”阶段,类比“有理数”的学习经验进行整体教学设计,即:
“学会结构”阶段——““有理数”教学： 引入负数(生产生活实践的需要和数学自身发展的需要) ——有理数的概念(定义,符号表示,分类及相关概念,相反数、倒数、绝对值) ——有理数的性质(大小比较) ——有理数的运算(运算法则,运算律) ——有理数的应用 | “运用结构”阶段——“实数”教学： 引入无理数(生产生活实践的需要和数学自身发展的需要) ——实数的概念(定义,符号及在数轴上的表示,分类,相关概念) ——实数的性质(大小比较) ——实数的运算(运算法则,运算律) ——实数的应用 |
(四)单元复习课
在上复习课前, 教师首先要明确复习目标. 复习目标应包括以下几个方面: 知识点的梳理和巩固; 解题方法的总结和提炼;数学思维的培养和提升.确定目标后,教师应根据目标制订相应的复习计划, 确保复习内容全面、重点突出. 复习课应实现以下三个目标:
(1) 知识条理化.复习课的首要任务是对已学知识进行梳理.教师可以引导学生按照教材的顺序,逐一回顾知识点,帮助学生形成清晰的知识脉络.在梳理过程中,要特别注意对重点、难点和易错点的把握,以便在后续的复习中加以强化.
(2) 方法系统化.复习课不仅是对知识点的回顾和巩固,更是对数学思想和方法的培养. 在复习过程中,教师应引导学生对解题方法进行总结和提炼,帮助学生形成自己的知识体系.同时,还要注重培养学生的数学思维,提高学生的数学思维水平.
(3) 问题类型化.复习课中,练习是必不可少的环节.在练习题的选择上,教师应注重题目的典型性和代表性,避免选择重复和低水平的题目.同时,还要根据学生的实际情况,有针对性地进行强化训练,提高学生的解题能力和思维水平.
(五)项目学习
1.项目目标
项目目标包括知识目标、能力目标和素养目标(宏观阐述).
2.学情分析
学情分析包括认知基础分析、知识基础分析和能力基础分析.
3.项目实施课时计划
第1课时:明确活动内容及所需相关知识;形成活动小组;制订小组活动计划,填写项目学习活动计划书(表1).
第2课时:中期交流与答疑(主要交流在课外实地测量、上网查阅资料等研究活动中的体会和困惑).
第3课时:成果展示(向同学或家长报告活动过程和结果.最终成果可以是具体的实物作品,如“绘制公园平面图”的最终成果是学生绘制的公园平面图;可以是探究分析的研究报告,如“体育运动与心率”的最终成果是数据分析报告;等等.可以采用PPT汇报个人或小组的发现、想法、设计、方案等).
4 . 评价设计
项目学习评价内容包括:学生对真实情境中问题的理解,用数学语言表达问题的适切性, 结果预测的合理性,解决问题的实施方案,解决问题过程中的思考、交流和创意表现,项目研究成果的质量.可以设计如表2所示的项目学习评价表.
5.项目实施过程
项目实施过程分三个环节:活动目标、活动过程、活动评价.其中,活动过程包括准备阶段、活动阶段和成果展示.如图6所示.
(六)中考复习课
下面是将知识结构化的方法.
1.利用思想方法系统化知识
(1) 借助“分类”思想串联知识.
例如,可以利用“分类”将三角形的有关知识串联起来:
(2) 借助“模型”思想统一知识.
如图7所示,列代数式、列方程、构造函数关系式、构造直角三角形都是通过建立数学模型解决实际问题:先把实际问题抽象成数学模型,再通过解数学模型得到数学模型的解, 最后把数学模型的解还原成实际问题的解.
(3) 利用“转化”思想条理化知识.
例如,方程是刻画数量关系的重要数学模型,初中阶段的方程内容由三部分组成:一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程.如图8呈现了方程知识结构,图中的箭头表明了解方程的基本思想——转化:无理方程转化为有理方程;分式方程转化为整式方程;高次方程转化为低次方程;多元方程转化为一元方程.
2.利用大概念(或核心概念)整理知识
大概念(大观念)指具体的经验和事实都已忘记之后还能长久保持的核心概念.
核心概念(核心观念)指居于具体教学情境和具体事实知识之上的思想意识,是对科学及其各学科的概括性认识,是期望学生将来离开学校且忘记许多具体科学知识后仍能留下的思想观念,具有持久价值和迁移作用.核心概念是在具体的教学情境中通过对事实性知识和概念的学习而逐步形成的,对事实性知识的学习和应用具有统领和支配作用. 例如,用“距离”大概念整理知识:
如图9所示,可以用“距离”大概念把初中阶段的相关知识系统化.
3 . 以问题为载体整合知识
中考复习课通常由两个环节组成.一是归纳知识:把学过的知识进行归纳整理,构建知识网络;二是解题训练:教师先讲一些典型例题,然后让学生模仿例题进行大量训练.这种复习方法存在一定的弊端:首先,把知识和解题截然分开,容易导致学生死记硬背知识要点,让学生感到不能得心应手地灵活应用知识解决问题;其次,在知识归纳阶段,学生往往感到枯燥乏味,调动不起学习热情;再次,过分的题型分类容易限制学生的思路,使学生的思维缺乏发散性.中考复习课应该把知识归纳融入解决问题的过程中,提高学生灵活运用 知识解决问题的能力.中考复习课应强化解题思路分析,提升学生的思维水平,特别是应该通过开放性问题和变式训练提高学生的发散思维能力.
例如,中考总复习中与“距离”有关的问题:
如图10所示,可以从问题类型、教材习题、关联知识、解题依据、计算工具等方面,把与 “距离”有关的问题和知识关联起来.
按照类似图10的设计进行复习教学,把知识梳理融入解决问题的过程中,使学生把问题与知识紧密联系起来:看到问题想到相关知识,看到知识想到相关问题.从而提高解决常规问题的能力,然后以此为出发点,让思维不断发散,通过各种变式训练,进而提高解决非常规问题的能力.通过这样的复习,学生对知识的理解得到深化,解决问题的能力得到提高.
华东师大版初中数学新教材七年级下册内容变化及教学提示
第5章 一元一次方程、第6章 一次方程组
1.“第5章 一元一次方程”内容的主要变化
按照《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，小学不再学习方程，在初中阶段方程是零起点。因此，这次教材修订，突出了方程的引入过程，以及引入方程的必要性。教材由浅入深，引导学生回顾“尝试—检验”“分析—列算式”等方法，再联想到“用字母表示数”，作出“探索”，自然引出方程。教学时，教师应完整呈现方程引入的思维过程，拉长方程引入和建立的思维链条，让学生的思维充分参与。
七年级下册第2-3页截图
2.“一元一次方程”单元整体教学设计
第一步：绘制“数与代数”领域知识结构图——确定“一元一次方程”在“数与代数”领域的位置。
第二步：关联知识内容和核心素养——明确核心素养培养要求。
第三步：迁移通性通法——把握与“一元一次方程”结构类同的内容的研究思路和方法。
把一元一次方程的教学作为“学会结构”阶段，把一元一次不等式的教学作为“运用结构”阶段，类比方程的学习，得出不等式的研究思路。方程与不等式具有揭示数量关系的共同本质，而区别只在于相等与不等，表现为用“＝”连接与用“＞”或“＜”连接。去括号、移项、合并同类项等变形，既是解方程的主要步骤，也是解不等式的主要步骤，而区别只在于两边同除以未知数的系数时有所不同。
第四步：揭示数学本质——提升数学认识水平。
利用“转化”思想把方程知识结构化。方程是刻画数量关系的重要数学模型，初中阶段，方程的内容由三部分组成：一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程。下图是方程知识结构，图中的箭头表明了解方程的基本思想——“转化”：无理方程转化为有理方程；分式方程转化为整式方程；高次方程转化为低次方程；多元方程转化为一元方程。
3.规范“一元一次方程”概念的表述
小学和初中的数学素养水平有差异：小学对概念是感性认识，而初中对概念上升为理性认识，对概念要给出明确的定义。修订前的教材对“一元一次方程”概念的表述不规范，本次修订规范了其文字表述。
4.理解解方程
解方程x+4=6，只要将+4从左边移到右边（移项），就可得到x=6－4，即x=2。这里要让学生明白：将+4从左边移到右边（移项），实际上是根据等式的性质，将方程的两边都减去4。如果把解方程规定为五步，仅仅要求学生“依葫芦画瓢”，就会导致学生知其然而不知其所以然。在初学解方程时，应该要求学生指出每个步骤的数学依据，强化对解方程的理解。
5.通过推导“鸡兔同笼”问题的算术解法，让学生进一步体会到引入方程和方程组的必要性
“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
对此，在小学，学生已经知道如下的算术解法：如果每只鸡都用一只脚站着，而每只兔子都用后腿站着，在这种情况下，总脚数只出现了一半，即47只脚。在47这个数里，鸡的头数只数了一次，而兔子的头数却数了两次，从47里减去总的头数35，得到的就是兔子的头数：47－35＝12，即有12只兔子。那么鸡就是35－12＝23（只）。
这种算术解法技巧性很强，一般人很难想到。义务教育阶段的数学教学，不是追求技巧，而是着眼于让学生掌握通法。七年级下册第47页“阅读材料 鸡兔同笼”用解方程组的知识推导出了以上的算术解法，以此让学生感受到：方程和方程组比小学的算术解法更强大，具有一般性，是解决问题的通用方法。从而让学生进一步体会到引入方程和方程组的必要性。
6.方程组的定义
七年级下册第30页和第41页，分别结合具体例子对二元一次方程组和三元一次方程组进行了描述性说明，没有给出二元一次方程组和三元一次方程组的定义，教学时在定义处不宜停留过多时间。不管是解几元几次方程组，其基本思想都是“消元”，最终转化为解一元一次方程。因此，对方程组来说，其定义不是教学重点，重点是如何联立方程，求出未知数——方程组的解法。
7.以思想方法的分析带动具体数学知识内容的教学——强调模型思想和转化思想
在人工智能时代，“知识就是力量”已经行不通，人类在与机器的较量中，“思维才是力量！”在数学学习中，知识不能直接转化为素养，只有思想方法才能转化为素养。发展学生的数学核心素养，就是让学生用“学会数学地思维”的方法学习数学。数学教学就是通过有效的数学活动，把数学具有的思想方法转化为学生具有的数学素养。因此，应该以思想方法的分析带动具体数学知识内容的教学。在方程和方程组的教学中，只有揭示方程和方程组蕴含的模型思想和转化思想，以模型思想和转化思想带动方程和方程组知识的教学，才能实现让学生“会用数学的语言表达现实世界”的素养目标。
方程和方程组蕴含的模型思想和转化思想
第7章 一元一次不等式
1.本章内容的主要变化
原教材的“8.2解一元一次不等式”包括三部分内容：不等式的解集；不等式的简单变形；解一元一次不等式。把其中的“不等式的解集”并入原教材的“8.1认识不等式”，组成新教材的“7.1认识不等式”；其中的“不等式的简单变形”单独列为一节，作为新教材的“7.2不等式的性质”。在第4节增加“阅读材料 等号与不等号的由来”。将“综合与实践 球赛出线问题”改为“数学活动 球赛出线问题”。
2.代数推理的基本事实
代数推理以代数运算为基础，既有推理的特征，也有运算的特征。数与代数的内容蕴含着很多可以用来培养学生推理能力的素材，因此初中阶段应加强代数推理能力的培养。代数推理的两个基本事实：
（1）传递性
小学：a=b，b=c⇒a=c；
初中：a＞b，b ＞c⇒a ＞c。
（2）等式和不等式的性质
小学：a=b ⇒a+c=b+c；
初中：a＞b ⇒a+c ＞b+c（七年纪下册第60页不等式的基本性质1）。
在七年级下册第62页例2的旁边通过边框说明“传递性”可以作为代数推理的依据。例1实际上证明了通过作差比较大小的依据，在八年级下册第70页还将利用这一结论证明一次函数的增减性。本次修订根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，把代数推理贯穿数与代数学习全过程，在数与代数领域构建“代数推理”主线。
作差比较大小的依据：
八年级下册第70页数学活动：证明一次函数的增减性。
3.规范“一元一次不等式”概念的表述
修订前的教材对“一元一次不等式”概念的表述不规范，本次修订对其文字表述进行了规范。
修订后教材截图
第8章 三角形
1.本章内容的主要变化
将章名由“多边形”改为“三角形”，这样修改更加切合初中一年级学生的认知水平，也反映了教材从研究三角形开始的事实。为了避免章节同名，将第1节的节名由“三角形”改为“与三角形有关的边和角”，并在第1节增加“直角三角形的两个锐角互余”及其逆定理，第1节的课时相应增加1课时。
七年级下册第85-86页截图
2.“三角形”单元整体教学设计
第一步：绘制“图形与几何”领域知识结构图——确定“三角形”在“图形与几何”领域的位置。
第二步：关联知识内容和核心素养——明确核心素养培养要求。
第三步：迁移通性通法——把握与“三角形”结构类同的内容的研究思路和方法。
把三角形作为“学会结构”阶段，把平行四边形作为“运用结构”阶段。研究套路：“现实背景—定义—性质—特例（定义—性质—判定）”。
第四步：揭示数学本质——提升数学认识水平。
3.用尺规作图探索三角形三边的关系
本次修订依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，把尺规作图作为探究手段贯穿“图形与几何”学习全过程。在研究三角形、平行四边形、圆的过程中，都是利用尺规作图探索图形的有关性质，构建“尺规作图”探索主线。本章利用尺规作图探索三角形三边的关系，通过尺规作图发现结论：三角形的任何两边的和大于第三边。然后利用“两点之间线段最短”证明该结论。这样把合情推理和演绎推理融于同一几何推理的过程中，强化“图形与几何”的研究方法。
4.习题变化
（1）题量增加
本章修改前后习题量的变化如下表所示。
（2）增加探究性习题
增加实践探索题，如七年级下册第93页习题8.1B组第8题。
增加规律探索题，如七年级下册第105页习题8.3B组第6题。
5.三角形内角和与外角和的变式训练
教学中，应重视对课本习题的研究，从课本习题出发，通过不断增加思维含量，进行变式训练，以此提高学生的思维水平，进而提高学生的解题能力。
课本习题（第99页习题8.2A组第5题） 若一个正多边形的一个内角等于150°，求这个多边形的边数。
【分析】解决本题，有两条思路：一是根据多边形的内角和等于（n－2）·180°求解；二是根据多边形的外角和等于360°求解。这样在解决问题的过程中，既梳理了知识，又体现了“一题多解”。接下来就是从此题出发，进行如下的变式训练。
变式1：一个多边形的内角和等于1260°，它是几边形？
变式2：若多边形除去一个内角后，所有剩下内角的和等于1700°，求这个多边形的边数。
变式3：一个多边形的每个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为9:2，则这个多边形的边数为多少？
变式4：试证明一个多边形最多只有三个内角是锐角。
变式5：只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（ ）。
（A）正十边形（B）正八边形
（C）正六边形（D）正五边形
变式6：如图，小亮从A点出发，沿直线前进10m后向左转30°，再沿直线前进10m，又向左转30°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 m。
变式6图
变式7：如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数。
变式7图
变式8：如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝90°·n，则n＝ 。
变式8图
变式9：如图所示是小张生产的一块模板，其中AF∥CD，AB∥DE，按规定AF与DE的延长线相交要成80°的角，因为交点不在模板上不好测量，小张正没主意，师傅告诉他只需测量一个角就行，你知道是哪个角吗？为什么？
变式9图
第9章 轴对称、平移与旋转
1.本章内容的主要变化
在第1节轴对称中，学习轴对称的概念和性质后，引导学生探索作线段的垂直平分线和角的平分线，因此与修订前相比增加2课时，删除了原教材中的“阅读材料 Times and Dates”；第2节增加“信息技术应用 图案设计”；第4节增加“信息技术应用 探索轴对称与平移、旋转、中心对称的关系”；将“综合与实践 图案设计”改成“数学活动 探索全等的图形”。
2.挖掘尺规作图的思维含量
对尺规作图的教学，不能仅要求学生记住作图步骤，会按步骤操作即可，而应“教思维”——以尺规作图为载体，提高学生的思维水平。按照《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，“作一条线段等于已知线段”前置到小学。在七年级上学期“第3章 图形的初步认识”中探索了“作一个角等于已知角”。本节在学习轴对称的概念和性质后，探索剩下的三种基本作图，其探索思路如下：
根据线段和角都是轴对称图形，探索得出作线段垂直平分线和作角平分线的方法。对于过一点作已知直线的垂线：
（1）当已知点在已知直线上时，作垂线就是作平角的平分线；
（2）当已知点不在已知直线上时，作垂线可以转化为作线段的垂直平分线。
修订后的教材在呈现这三个基本作图时，都是先呈现寻找作法的思维过程，再呈现具体作法。教学中应挖掘这三种基本作图的思维含量，引导学生积极参与作法的探索过程，以此提高学生的思维水平，而不是直接给出作图方法。
至此，包括小学学习的作一条线段等于已知线段在内，五种基本作图全部探索完成。在后续学习中，研究三角形、平行四边形和圆的有关性质和判定都是把尺规作图作为探究手段。尺规作图作为探究手段，贯穿整个图形与几何学习全过程。
备考讲座：不为压轴 赢得压轴—用“拆解法”进行压轴题命题和教学初探
备考讲座：基于一模15题阅卷情况浅谈空间向量与立体几何二轮复习策略
欢迎关注下方公众号，获取更多优质资源
1：（免责声明：本平台图文版权归原作者所有，素材来源于网络，仅供学习交流使用，不构成商业目的。推送文章除非确实无法确认，我们都会注明作者和来源。部分文章推送时未能与原作者取得联系，若涉及版权问题，烦请原作者及时联系我们，本平查核属实后，将于24小时内删除消息，不承担任何法律责任。摘录、转载，是想为经济欠发达地区教师提高业务水平做点事,仅此而已,欢迎关注、欢迎投稿！
2：本平台：妙解之慧（ID:WanZhuanShuXue1）由陕西西安孙冰钰老师创建专注分享初，高中数学优质资源，旨在：让全国各地的师生都能享受到同等优质的教育资源。本平台诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿，与数学有关的内容都可以。来稿请注明姓名或者网名、工作单位，一般只接受word文档格式的电子稿件，文稿请认真审查，防止错漏，确保无误，文责自负。文稿可发在QQ邮箱3305796992@qq.com或添加文末微信直接发给我，感谢各位朋友的鼓励与支持。
家里父亲种植的猕猴桃，每年八月底成熟，现摘现发，顺丰全国包邮，可以先尝猕猴桃桃味后付款，父亲种植猕猴桃30多年了，用心做事，全在猕猴桃桃味上了。详情点下方链接。下方是5月份猕猴桃开花，经人工授粉后80多天，长大的猕猴桃。（现在市场卖的猕猴桃纯属欺骗，陕西猕猴桃未成熟，在果园直播发的是去年冷库里的添加防腐剂的猕猴桃，希望各位朋友擦亮眼睛，防止受骗）
长按下方二维码即可识别，添加作者“微信”添加时请备注：地区身份，欢迎各位朋友，相识即是缘，感恩遇见
