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作者简介
申西芬
中共党员，硕士研究生，中学数学高级教师，广东省中小学“百千万人才培养工程”培养学员，华南师范大学研究生校外导师，广州市特约教研员，广州市高三数学中心组成员。曾多次获得校先进工作者和优秀德育工作者，并曾获优秀德育者标兵、高考突出贡献奖、校青年教师微课大赛一等奖、校青年教师教学能力大赛一等奖、广东省中小学校本课程建设成果一等奖，广东省中学青年教师问题讲授核心片段特等奖，广东省基础教育精品课，广东省基础教学成果二等奖等。参与编写《华南师大附中特色班数学补充教材》，《创新思维下的高中数学解题策略》，《核心素养下高中数学优秀教学设计》等，主持和参与省级课题多项。
一道高考题的通性通法求解及教学启示
申西芬
摘 要：本文通过对2023年新课标1卷22题的分析、分解知识点, 剖析学生可能面对的困难，给出通性通法求解, 多角度优化运算, 并举例给出在日常教学中对于圆锥曲线中的独立双变量问题的教学建议。
关键词：通性通法; 独立双变量; 圆锥曲线
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背景
2022年, 教育部教育考试院指出高考数学命题贯彻高考内容改革要求, 依据高中课程标准, 进一步增强考试与教学的衔接。试题的考查内容范围和比例、要求层次与课程标准保持一致, 注重考查内容的全面性, 同时突出主干、重点内容的考查, 引导教学依标施教。试题突出对学科基本概念、基本原理的考查, 强调知识之间的内在联系, 引导学生形成学科知识系统; 注重本原性方法, 淡化特殊技巧, 强调对通性通法的深入理解和综合运用, 促进学生将知识和方法内化为自身的知识结构。
一般地, 通性通法通常是指在解决一类具有相同性质的数学问题时所采用的具有某种规律性和普遍意义的常用解题模式和常用的数学解题方法。一般来说, 在做题者面对题目时, 通过阅读和转化, 能将题目的式子结构、文字信息、图形和符号与记忆中的知识与技能, 思想与方法以及活动经验有效结合起来, 形成常规的解题思路。对于难度较大的题目,通常对做题者的要求更高, 主要体现在题目设计层次多, 知识点多, 运算形式丰富. 故而要求在日常教学中, 教师不仅要注重解题过程的示范和引领, 更要注重对问题的剖析, 对思维回路的建立, 提升学生独立分析和转化题目的能力, 能在思维回路建立的基础上, 鼓励学生针对问题的结构特征利用所学独立的解决。
2023年新课标1卷22题, 是一道看起来不难, 做起来棘手的解析几何题, 学生容易入手并形成完整思维回路, 但是在转化为目标问题求解时会遇到困难, 因为目标问题是一类很典型的独立双变量不等式 (函数) 证明问题, 如果学生没有积累过这一类问题的经验, 或者不能去根据所学去化解问题,找到解决问题的办法, 那么在考场上很容易慌乱, 导致做不出而丢分。
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题目再现
试题分析: 本题考查的主要知识点包含抛物线的定义,动点轨迹的判断与方程的求解, 圆锥曲线背景下多点多直线问题中一类范围问题—–线段长度之和的求解, 计算处理所涉及的知识与方法有函数与导数, 分段函数, 绝对值三角不等式, 多元均值不等式, 三角换元等。
如图1, 做题者比较容易建立一般思维回路, 但在选定变量, 控制变量, 处理不等式时容易卡住, 笔者讲具体解题和分析如下:
图１
解（1）：
（2）分析: 由于矩形的对称性, 要求矩形的周长只需研究相邻两边的长度之和即可, 即研究 Rt∆ABC 的两条直角边之和。
法一) 设三点坐标, 两直线斜率, 表达长度之和, 直接求解:
点评: 法一没有过多的运算技巧, 要求学生明确求解目标, 有较好的运算功底, 顺着思路完成书写即可, 但很多学生缺乏耐心, 难以完成。
法二) 上同法一, 减少变量, 斜率消一留一, 简化形式
点评: 不难发现经过对称性处理后, 式子变得简单易入手, 不论是直接求导还是换元用均值不等式, 运算难度都大大降低。
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考教衔接
学生在考场上没有做出来第二问的主要原因包括以下几点: 一是部分学生在训练时往往已经放弃最后一部分; 二是, 迫于解题速度偏慢, 留给最后一题的时间不多, 无法深入思考; 三是有时间, 但是畏难, 没有勇气对多变量的式子进行分析破解, 四是计算错误。
事实上, 这类问题不论是在高一高二常规学习时, 还是高三专题备考时, 学生都有机会触碰到相关知识和方法积累。教师要合理选择素材展开教学。在学习选择性必修一第三章《圆锥曲线的方程》时, 在椭圆的性质中, 学生很容易理解和接受长轴是最长弦长这一事实, 但教师不能把它当做简单的结论让学生记着, 不妨转化为以下问题进行处理, 这里便可以带领学生处理圆锥曲线中独立双变量的问题了。
点评: 以上探究可以充分让学生运用椭圆第一定义, 同时处理独立双变量下的问题求解, 掌握解决问题的一般思路,以及遇到新问题的处理习惯和对知识的融会贯通, 这对学生能力的提升很有帮助。
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教学启示
从整体来看, 2023年新课标1卷数学试题, 相比2022年难度下降不少, 尤其是基础题以考查基础知识和基本运算能力为主, 拉开差距的题目还是主要在于各题型的压轴题, 尤其是本文所谈的 22 题, 这也给我们在日常教学备考中以下几点启示:
高考命题以课程标准为中心, 教学中主要落实新课标教学理念。
上好概念课: 教学中以教材为基础, 讲清楚概念、定义、原理和性质, 尤其抓住概念的核心, 注重知识的发生发展过程, 授课中对于结论性的知识要加以解析推理运算;
上好习题课, 以教材例题习题为基础, 关注迁移, 以点代面, 注意知识和方法的发散, 教师应做到应教尽教, 讲授例题时, 注重思维的养成, 问题的剖析, 学生在学习中要特别注重一般思想方法的积累, 通性通法思维回路的建立以及运算方法的优化;
上好微专题: 针对一类问题专题讲解, 加深学生对相似问题的处理策略, 能做到一题多法或者一法解多题。
做数学难题就像是打组合拳, 而日常备考就像是学习基本动作, 只有每一个动作做好了, 练熟了, 不论怎么组合, 只要分解合理, 就能转化到日常的每一个熟练动作, 所谓万变不离其宗, 就是这个道理。
END
文章来源：中学数学研究
提分关键词：思想纯粹，稳定情绪，适度锻炼，激发潜能，保持节奏，时刻细心，相信自己
