1 已知：圆O,O'相外切，圆O上点P对圆O'切线为PA，PB，M为AB中点，PB交圆O于D，OC⊥PA且C在弧PD上，
求证：Ｃ,Ｄ,Ｍ共线。（《中等数学》数学奥林匹克问题高544）
思路分析：
两圆相切，切点必然很重要，设为S，不难得到OSO’,PMO’,CSA共线.
则∠SPC=∠SBM,发现此结构中嵌套着经典的调和四边形陪位中线结构，即：
已知：如图，△ABC外接圆在B、C处的切线交于E，D为BC中点。
求证：∠BAD=∠CAE
由此结构知∠BSM=∠PSC=∠PDC,
则CDM共线
<=>∠BDM=∠PDC
<=>∠BDM=∠BSM
<=>DSMB共圆，
这个不难倒角得到。在本图中，上述经典结论也“顺便”可以证明。
具体证明过程如下：
证明：设切点为S，则O,S,O'共线，
又OC//O'A，则A,S,C共线。
则∠SPC=0.5∠SOC=0.5∠SO'A=∠SBA.
又O'MP共线且为AB中垂线，则
O'S^2=O'A^2=O'M*O'P,
则△O'SM∼△O'PS,
则∠PMS=∠OSP,
则∠SMB=90°+∠PMS=90°+∠OSP
=∠SDP=∠SCP,
∴SDBM共圆且∠PSC=∠BSM,
故∠MDB=∠BSM=∠PSC=∠PDC,
则CDM共线。
评析：
本题初看是相切两圆问题，但是图形中还隐藏着很多结论，
例如△SPC∼△SBM,这是手拉手模型。
还有S是DMJ对△ABC的密克点，这是密克结构。
当然本题隐藏着切割线结构和经典的调和四边形陪位中线结构。
因此本题虽然不是很难，但是是一个前面所有结构完美结合的好题。
当然本题还有很多不同的解法。有兴趣的读者可以自行探讨。
2 已知：如图，AB=AC,D为BC中点，DE⊥AC于E,P在CD上且DS⊥AP于S,ES交CD于Q，求证：△PQS外接圆与△ABC内切圆相切。
思路分析：
设两圆切点为J，发现图形中隐藏着很多结论，如LJQ,KJP共线,
还有AESD,ESPC,BKJQ,LESJ,KAESJ共圆等，
以下的难点在于如何描述J点，才能顺利的解决问题。
通过尝试，发现令J为QL与圆SQP交点即可。
具体证明如下：
证明：
设△ABC内切圆I与AB、AC切于K、L，QL交△PQS外接圆O于J；
依题意DA⊥BC,则AESD共圆，
则∠C=∠ADE=∠ASE,故PSEC共圆；
则∠LJS=∠SPQ=∠CES,故LJSE共圆;
显然QD为圆I及圆AES切线，
则QD^2=QS*QE=QJ*QI,故J在圆I上;
设MN为过J的圆O的切线，
则∠NJL=∠MJQ=∠JSQ=∠NLJ,
故MN为圆I的切线；
综上△PQS外接圆与△ABC内切圆相切。
注：
本题是叶中豪老师2017年2月发现的一个结论，虽然不算太难，但也不是很容易证明的问题。
3 已知：五边形ABCDE内接于圆O，直线XY过点A且和圆O相切，点A位于XY之间.
线段AD交△XED外接圆于D,Q,线段AC交△YBC外接圆于C,P.XE交YB于S，直线XQ交
YP于Z.
求证：△XYZ和△SBE外接圆相切。(2019伊朗数学奥林匹克第三轮决赛3)
思路分析：
设公切点为L，探究L的性质，发现ZSL共线，YBAL,XEAL共圆，
由此就差不多能够证明本题了。
可以设L为圆YBA,XEA交点，
则倒角可得LYZX,LBSE共圆，
然后做出公切线，倒角即可证明结果。
具体证明过程如下：
证明：
设圆ABY,AEX交于L，
则∠YLB=∠YAB=∠BCP=∠BYP,
则ZY为圆ABY切线，
同理ZX为圆AEX切线。
则∠YLX=∠YLA+∠XLA=∠ZYA+∠ZXA=180°-∠Z,
∴LYZX共圆。
∠BLE=∠BLA+∠ELA=∠SYA+∠SXA=180°-∠S,
∴LBSE共圆。
设ML为圆XYZ切线，
则∠MLE=∠MLX+∠XLE=∠LYX+∠XLE=∠LBA+∠XAE=∠LBA+∠ABE=∠LBE,
∴LM为△SBE外接圆切线，
综上△XYZ和△SBE外接圆相切。
注：
这是一个很好的题目，考察了两圆相切的基本结构，倒角共圆相切等基本知识。
应该还能推广。进一步，还有ZSL共线。上述证明中没有用到此结论，所以就不需要证明了。当然这个也不难证明，有兴趣的读者可以自行探讨。
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