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滤波器概念的提出
首先从这个射频工程师熟悉的方程开始，这个被评为人类最美十大方程之首的方程到底出自谁手，中间的大胡子还是右边的型男？
图一、a) 麦克斯韦方程，b) 麦克斯韦，c）亥维赛德
也许绝大多数同学都会说，肯定是中间的麦克斯韦啊，这还用问么，这位可比肩牛顿和爱因斯坦的物理学家在前人基础上提出了著名的麦克斯韦方程，尤其是位移电流的提出，引出了电磁波动方程，将电学、磁学、光学联系在了一起，为今天的信息时代打下了理论基础。诚然，麦克斯韦的伟大无需多言，但今天我们内容的主角却是右边这位——Oliver Heaviside（奥利弗·亥维赛德，1850~1925）英国数学家和物理学家，他未上大学，自学了电磁学并自创了矢量微积分学，基于对这两者的精通他将麦克斯韦原始的二十多个方程简化为了上述四个方程，对称、简洁、深刻 使其被誉为上帝写下的诗歌，也使得今天的我们能轻易写出这组方程（否则大厂射频工程师面试的时候估计90%以上的同学都写不出麦克斯韦方程组了）。亥维赛德生活的年代正是有线电话刚好兴起的时代，他后来成为了一名电报员，期间他提出了著名的电报员方程，给了电压和电流信号在电缆上随空间/时间变化的传播方程，进而提出了损耗常数、相位常数、趋肤效应、特性阻抗、反射、负载等一系列概念，他是传输线理论的奠基人。在当电报员工作期间他意识到在电缆上周期性引入线圈可以抑制某些通话噪声并于1887年发表了文章，这其实就是最早的低通滤波器，亥维赛德没有意识到这一发现将对大西洋对岸的美国电话电报公司（AT&T）带来深远的影响，更在后来兴起的无线通信中发挥了无可替代的作用。
先简单介绍一下啥是滤波器，我们知道无论是有线通信还是无线通信都是基于电磁波，如图二本质都是对无线电波段的利用。
无线电波的频率（波段）划分与应用
图二、无线电波波段划分与应用
图三是我国无线电频谱的划分图，可以看到这零零碎碎的划分，本质就是为了更好的利用无线频谱这一不可再生资源，如何利用呢，就是使用本文主角——滤波器。滤波器顾名思义就是滤除掉不需要的电磁波的器件，不难想象一个理想的滤波器的样子应该如图四蓝色曲线所示（又叫“砖块”滤波器），在需要的频谱内（即通带）信号可以畅通的通过，在不需要频谱外（即阻带）信号完全抑制掉，本文试着讲讲这一百多年来人们是如何在追求这一目标上不断前行的，即黄色曲线的演进（图四）。
图三、中国无线电频谱划分
图四、理想滤波器曲线（蓝）VS 实际滤波器曲线（黄）
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第一款滤波器诞生
继续回到100多年以前，时间来到20世纪的第一个10年，接下来重点介绍的是AT&T公司这个电信巨头及其下属的贝尔实验室，他们将引领接下来几十年滤波器领域的创新，第一位出场的重量级人物是G.A.Campbell (1870 ~1954) 。
图五、a）Campbell，b）Pupin
Campbell 1891年本科毕业于麻省理工，1893年硕士毕业于哈佛，然后去欧洲先后师从两位数学大神克莱因和庞加莱学习数学，跟随物理大神玻尔兹曼学习电学， 1897年Campbell回到美国加入AT&T，他一边工作一边攻读博士，并于1901年从哈佛获得博士学位，Campbell是最早意识到亥维赛德工作价值的人之一，其博士研究方向即为传输线加载线圈的研究，扎实的数学功底以及工作上的需要使得他成为第一个精准设计滤波器的人，他的第一项研究成果就是在电缆上精确计算间隔和插入电感量使得电缆可以在某个频率响应截止从而抑制掉某些干扰提升了信号质量增加了传输距离，1900年5月波士顿郊外的一条线缆第一次增加了加载线圈用于提升通话质量这可能是世界上第一款滤波器应用。这个技术发明很快出现了争议，哥伦比亚大学的M.Pupin教授（1858~1935）声称1900年就获得了电缆加载线圈的专利（图六）。
图六、Pupin 1900年申请的加载线圈专利
Campbell反驳到他更早就在AT&T内部进行过该idea的演示，只是AT&T内部管理问题导致了专利申请滞后，双方进行了非常复杂的法律争辩，最终AT&T考虑到继续争辩下去所有专利都有可能被亥维赛德于1887年发表的论文给无效掉，因此他们搁置了争议购买了Pupin的专利，在17年时间内共付给Pupin 45万美金的专利费（想想在1910年代那是多大一笔钱），AT&T的决策是英明的，基于线圈加载的滤波器理念他们后续又开发了合路器，实现了一根线缆承载多路通话的功能，大大降低了电缆的铺设开销（尤其是后来的跨海电缆），据统计AT&T因为新兴的滤波器技术截止1925年就一共节约了2亿美金电缆开销，也许AT&T觉得过于对该技术的鼻祖亥维赛德有所亏欠，提出要给予他一定补偿，但亥维赛德拒绝了，他只要求大家承认是他第一个提出该理论的人。
再说说Pupin他的一生也颇具传奇色彩，他出生于塞尔维亚，早年颠沛流离，移民到美国后一边做体力劳动营生一边学习，五年后考上哥伦比亚大学，1883年大学毕业后他跑去英国剑桥大学找麦克斯韦学习电磁学，但去了后发现麦克斯韦已经去世，整个剑桥居然没有人可以教授这门课，于是他又到德国师从亥姆霍兹学习电磁学，回到哥伦比亚大学后他一直教授这门课，为电磁学理论早期传播做出了巨大贡献，他是NASA主要创始人之一，还参与了美国数学学会，美国物理学会的创建，担任过美国电气工程师协会、美国无线电研究所和美国科学促进会的主席或者副主席，连他的自传《从移民到发明家》都获得了普利策奖。
Campbell的工作仍在继续，在1910~1920年之间，他将滤波器电路的发展推向了第一个高峰，他提出了滤波器里面最经典的梯形（ladder）拓扑结构（图七a），该电路拓扑是当今SAW、BAW、LTCC、LC等滤波器用得最多的结构，Campbell基于该拓扑完成了低通滤波器的精确设计，仅通过增加“梯子”的长度就可以获得更好的滤波效果，接下来基于频率变换可以设计出任意截止频率的低通滤波器；完成低通滤波器研究后通过互补性变换（电容和电感互换转换）Campbell将低通滤波器可变换为高通、带通、带阻等不同形式，并给出了其对应的电路结构（图七b），该工作发表于《Physical Theory of the Electric Wave-Filter》，可以说该论文是滤波器电路理论第一篇集大成者，里面的滤波器各种拓扑结构以及低通到高通、带通、带阻的变换依然是微波专业本科及研究生必学知识。除ladder结构外，Campbell还提出了晶格型（lattice）滤波器拓扑结构（图七c），该类结构后来在电磁场滤波器中应用较少但在声波类SAW、BAW滤波器上应用较多。
a) 梯形滤波器电路拓扑
b) 低通、高通、带通、带阻对应的ladder电路拓扑结构
c) 晶格型滤波器电路拓扑
图七、Campbell论文里面的各种滤波电路
Campbell的理论已经非常完善，但细心的射频工程师就会发现，他的滤波器都是标准切比雪夫/巴特沃斯结构，其频率远端滤波能力很好，但滤波器最最看重的频率近端滤波能力还不行，解决该问题的人是Campbell在贝尔实验室的同事O.J. Zobel（1887~1970），Zobel博士毕业于威斯康星大学，早年曾进行热力学方面的研究工作， 1916年加入AT&T进行传输线研究工作，此时Campbell 已经完成滤波器的电路设计大多数工作，Zobel在其基础上提出了新的拓扑结构（图八）。
图八、Zobel增加近端零点后的滤波器电路拓扑
注意该结构的4个并联支路在标准谐振回路基础上引入了额外的电容或者电感，这样一来滤波曲线上会出现近端零点，从而大大改善频率近端的滤波能力，但该结构也有缺点就是频率远端滤波能力不强，为了解决该问题，Zobel将他的拓扑结构和Campbell的结合起来，得到了近端和远端都有不错滤波器能力的电路拓扑，且他还解决了两者级联带来的匹配问题，至此，滤波器电路拓扑基本完成，后续的所有滤波电路拓扑理论上都是在这两者工作上的变种（在数学上等价，可以相互推导），因为其强大的滤波器设计能力，AT&T将频分复用技术（FDM）发挥到了极致（早期国际电信联盟制定的语音通信带宽为300Hz~3400Hz，信道间隔为4000Hz，也就是极限情况下过渡带只有600Hz，需要非常陡峭的滤波能力）使得一根电缆上可以实现多路电话信号传输，大大降低铺设成本，可以说滤波器理论的发明为早期电话的普及做出了巨大贡献。
除了滤波器工作以外，Zobel在阻抗匹配研究上也有巨大贡献，因为一个好的阻抗匹配网络本质就是一个滤波器，Zobel提出的恒阻匹配网络（也叫Zobel网络）如今在滤波器设计上已经逐渐被其他设计方法所取代，但依然还用在音响设计上。Zobel还有一个巨大贡献就是，他是最早意识到通信当中的噪声是无法消除的工程师之一，最早提出“白噪声”这一概念，这一工作也为后来香农的信息论提供了参考。
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滤波器和数学函数的正式结合
滤波器的定义很多，可能大多数人最先接触到的滤波器名字就是切比雪夫滤波器、巴特沃斯滤波器、椭圆函数滤波器，很显然这些都和数学函数相关，前面的内容滤波器主要是和电路相关比如低通、高通、带通、带阻，是什么原因让滤波器和数学函数联系在了一起？接下来要介绍第一位大咖是R.M. Foster（1896~1998），Foster 1917年毕业于哈佛大学数学系，然后加入贝尔实验室，没错这一节内容依然是贝尔实验室主导，Foster和Campbell、Zobel成为了同事，那个时候滤波器已经形成了一套精准的设计流程，但对工程师经验要求非常高，首先要根据滤波器通带和阻带信息得到初步的电路拓扑结构和初值，然后根据其响应和规格进行对比，通常要进行很多轮迭代和阻抗匹配调整才能得到较为满意的滤波曲线，这一过程类似于现在的优化算法，只不过不是基于计算机而是基于工程师的经验和数学能力。Foster在其1924年发表的论文《A reactance theorem》中提出了全新的方式，首先根据电路拓扑写出其随频率变化的函数表达式，然后工程师根据需要指定通带和阻带频率位置（主要是指定频率响应的极点和零点），将其带入函数表达式中可以一步步求出该滤波电路拓扑下各个电感和电容元件的值，即完成了滤波器设计，Foster的工作开启了滤波器网络综合的大门，没错，你熟知的“网络”这个词最先来源于滤波器设计，后来因特网兴起后让位于了后者这个更宏大的产业。鉴于网络综合这一概念太过重要，后续会反复提起，先解释一下滤波器设计两条路径——优化和网络综合。
我们以图九千手观音这个舞蹈为例来说明两种思路的差异，设计目的：一条漂亮的滤波曲线，对应这里就是最终呈现的这个惊艳舞姿，每一个演员对应一个电路元件，编排导演就对应设计师。优化法导演大概会是这样的一个过程， “大家先站成一排，第一排姑娘的把手放在胸前，第二排的姑娘把手微微张开，第三排的姑娘把手张开得比第二排得多一点，第四排的姑娘把手张开更多一点…… 哎，第二排姑娘咋回事呢，手打开太多了，收一点，第三排姑娘咋回事不是让你收，你还要打开多一点…… 目前很好，大家保持住，听我节拍，1至5排缩手，6至10排手打直，怎么回事，8排做反了，重新来一编……一个月后，经过大家反复的辛苦排练我们越来越流畅了，终于可以上台表演了”；如果是网络综合导演的思路应该会是这样一个过程，“我先给大家编个号，小美1号站第一排，静静2号站第二排，大漂亮3号站第三排……，下面我分解每一个人的动作，1号首先将双手放到胸前，膝盖弯曲20度，2号双手打开呈30度角，3号双手打开40度角…… 当我喊节拍1的时候1~5号把手缩回来，6~10号把手伸直，当我喊节拍2的时候1~5号伸手，6~10号把手缩回来…… OK，动作要领分解到这里，各位领取角度计然后回家对着镜子按要领进行练习，明天我们第一次合练……一周后，我们已经非常流畅了，可以上台表演了”。
图九、千手观音舞蹈图（图片来源于网络）
两者的本质区别就是综合预先要对最终结果有一个清晰定量的认识并且要能将该结果分解成每个个体的指标，在滤波器设计中这需要非常深厚的数学功底。可以说综合相比优化优势巨大，唯一问题就是数学推导非常复杂，但这一问题在计算机引入后，通过编程实现后代价几乎为0，因此网络综合法在滤波器设计中越来越受欢迎（当然这是后话）。
Foster的工作很快启发了另外一个滤波器界里程碑式的人物——Wilhelm Cauer （威廉▪考尔1900~1945）德国人，毕业于柏林工业大学，早年研究广义相对论，后来他加入了AT&T在德国的分公司开始接触滤波器设计，他和Campbell，Zobel和Foster都有书信往来，考尔很快意识到Foster的工作具有重大意义，在1926年至1931年期间他在这一领域继续深入研究，很快他抓住该工作的两个关键点，第一要找到一个函数可以无限逼近“砖块”滤波器即通带损耗极限小，阻带抑制极限大，两者之间过度极限快；第二该函数要能被无源器件的阻抗网络来实现，最后考尔选择了切比雪夫逼近，最开始考尔选择的是通带内和通带外都带有波纹的切比雪夫函数，该函数也被成为椭圆函数，基于该函数进行网络综合得到的滤波器就被称为椭圆函数滤波器或者叫考尔滤波器，后来可以证明椭圆函数是切比雪夫函数的一种特殊形式，可以通过简化退化成我们熟知的切比雪夫函数，因此可以说切比雪夫和椭圆函数滤波器都是考尔最先发明出来的，更重要的是考尔开启了一个滤波器设计的新范式，通过一条优美的函数曲线去逼近滤波模版要求，然后基于特定拓扑结构通过精准的解析法逐个求出电路元器件的值。大家还记得学习微波工程中关于低通原型值的表格吧，里面的数据完全是天马行空毫无规律可言（图十），这些值就来自于考尔的研究工作。
图十、0.5db带内波纹的切比雪夫滤波器低通原型值，摘自《现代滤波器结构与设计》
同样值得一提的是英国物理学家S.Butterworth（斯蒂芬.巴特沃斯 1885~1958）他在1930年代也独立发明了巴特沃斯滤波器，其大致思路和考尔一样，但他选取的逼近函数不是切比雪夫函数而是频率s的n次幂函数（n为滤波器阶数），相比考尔的椭圆函数巴特沃斯函数的滚降要差许多，因此当前应用越来越少。相比于Foster，考尔正式引入了切比雪夫函数作为逼近，而不是通过工程师经验来随意规定极点和零点来作为逼近（你可以理解为这种方法得到最佳逼近的几率非常非常小），其次就是考尔的工作中允许了电阻的存在，可以模拟出滤波器的损耗，而Foster理论里面只有电容和电感是无法模拟出滤波器损耗。即便如此考尔的工作依然存在两个问题，首先虽然考尔采用切比雪夫函数综合法得到了一些电容、电感值，但数学上依然没严格证明所有切比雪夫函数都一定可以被实际电容、电感实现，该工作后来被S.Schelkunoff（谢昆诺夫 1897~1992）和S.Darlington（达林顿，1906~1997）在1940年左右所证明，特别感谢Darlington在1984年发表了一篇回忆滤波器的历史的论文，本文很多素材也来自于他的回忆；其次考尔一开始选定的电路拓扑并不是ladder结构，而是需要引入一种阻抗变换器，这个在实际实现中非常麻烦，该问题一直到1950年才解决。考尔的工作是滤波器历史上的里程碑，从考尔的工作以后滤波器设计变得精确、优美，从此滤波器的设计有了坚实的数学根基。滤波器这些大咖基本都很长寿，Foster更是超过100岁，但考尔却很不幸，他只活了44岁，由于他有一位远亲犹太祖先使得他在二战中首先被纳粹德国打压，郁不得志，1945年苏联攻占柏林后他却被苏联士兵杀害，这样一位天才式的人物在时代洪流下的命运也是那么的无足轻重。
图十一、a) Foster，b) Cauer，c) Darlington
至此，滤波器技术这颗大树的树根和树干已经发展起来了，接下来就是各种开枝散叶。
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参考文献
1. Campbell, George Ashley, "Physical Theory of the Electric Wave-Filter". The Bell System Technical Journal. I (1922.11).
2. Zobel, O J, “Theory and Design of Uniform and Composite Electric Wave Filters”,The Bell System Technical Journal, Vol. 2 (1923), pp. 1–46.
3. Foster, R M, "A reactance theorem", Bell System Technical Journal, Vol. 3, pp259–267, 1924.
4. E. Cauer, W. Mathis, and R. Pauli, "Life and Work of Wilhelm Cauer (1900 – 1945)", Proceedings of the Fourteenth International Symposium of Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS2000), Perpignan, June 2000.
5. S. Darlington, “A history of network synthesis and filter theory for circuits composed of resistors, inductors, and capacitors”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, Vol.31,198
