1已知，如图，O为△ABC外心，
P,Q在AB,AC上，
∠BOP=∠ABC,
∠COQ=∠ACB.
求证：BC关于PQ对称的直线为圆APQ的切线。
(2013加拿大数学奥林匹克CANMO5)
思路分析：
在准确的图形下，可以发现A,P,O,Q共圆，这个倒角易得。本题两对等角条件对称，但是都不好用。只能从证明结果入手，需要证明BC关于PQ对称的直线为圆APQ的切线。这个结论还是蛮抽象的，很不好描述。尝试以后，自然的想法是延长PQ交BC于H，则PQ关于BC对称的直线BG满足∠PHB=∠GHP,这样只需证明HG为圆APQ切线即可。设切点为G，类似圆与圆相切，切点性质十分丰富，直线与圆相切亦然。因此G应该会有很好的性质，而且一般会是四点共圆。在准确的图形下，可以发现点G在圆O上，而且AG//BC。这样就可以直接设出点G，证明其为切点即可。倒角即可证明。
证明：
设G在圆O上且AG//BC,PQ交BC于H,
则AGBC为等腰梯形，
∠GOP=∠GOB-∠POB=∠AOC-∠ABC=∠ABC=∠GAB,
∴G,A,O,P共圆，
同理Q也在此圆上。
又B,G关于OP对称，
故PB=PG.
∠HBG=∠CAG=∠HPG,
∴H,B,P,G共圆。
∴∠GHP=∠CHP.
∴∠HGP=ABC=∠GAB,
∴HG为圆APQ切线.
即BC关于PQ对称的直线HG为圆APQ的切线。
注：
本题虽然看起来和圆和圆相切无关，只是直线和圆相切，但是直线与圆相切和圆与圆相切的性质是类似的，切点都是至关重要的，而且切点往往有很好的几何性质，一般都会有一些四点共圆。而且事实上图形中还隐藏这一对相切的圆。圆APQ和圆BCO相切于点O，当然这个结论的证明几乎是显然的。
2 如图，O为锐角△ABC外心，圆c的圆心在△ABC过A的高线上，过A且和AB,AC交于P,Q.且BP*CQ=AP*AQ。
求证：圆c和圆BOC相切。
(2015CANMO4)
思路分析：
本题中准确的图像还比较难画，在圆O上任取三点ABC，不好做出满足条件的圆c。只能退而且其次，先画出一个大概的草图。还是先挖掘图形的基本性质，BP*CQ=AP*AQ，
写成比例BP/AP=AQ/QC,感觉几何意义更明显。同时作出高线AD，圆c圆心还要在高线AD上，考虑到圆心角的基本性质，
则∠AQP=90°-∠PAD=∠CBA,
从而B,C,Q,P共圆。则AP/AQ=AC/AB。
这两个条件就能确定点P,Q了。事实上，由BP*CQ=AP*AQ，可得BP/AQ=AB/AC,除以上式即得BP/AP=(AB/AC)^2.但是其几何意义不是很明显。还是要从结果入手，两圆相切，公切点至关重要，设为点G。BP/AP=AQ/QC，最好的几何意义是相似对应，即找到一点Z，使得△ZAB∼△ZCA,则P,Q为相似对应点。故∠ZPB=∠ZQA，故A,P,Z,Q共圆。
且此时BP/PA=BP/QA*QA/PA
=ZB/ZA*AB/AC=(AB/AC)^2,从而Z,G重合！
这样一来，我们就可以直接构造相似
△GAB∼△GCA,只需证明G在两圆上，且两圆切于点G即可。倒角可得∠OGA)=90°,故延长OG交圆c于H，则AH为圆c直径。后面的性质也都是可以通过倒角完成证明。
证明：
设△GAB∼△GCA,
则∠AGB=∠CGA=180°-∠BAC,
∠BGC=2∠BAC=∠BOC,
∴B,C,G,O共圆。
又BP*CQ=AP*AQ,
即BP/AP=AQ/QC,
∴P,Q为相似对应点，
故∠ZPB=∠ZQA，
则A,P,G,Q共圆。
∠AGO=∠AGB-∠OGB=∠AGB-∠OCB
=180°-∠BAC-(90°-∠BAC)=90°,
设AH为圆c直径，
则OH交圆c于G，
∴∠QGC=∠QGH+∠HGC=∠QAH+∠OBC
=90°-∠ACB+90°-∠BAC=∠CBA,
设GJ为圆c切线，则
∠JGC=∠CGQ-∠JGQ=∠CBA-∠GAQ
=∠CBA-∠ABG=∠GBC,
∴JG为圆BCO切线，
故圆c和圆BOC相切于G.
注：
本题中点G一般称为△ABC在点A处的Dumpty 点，其比较常见，性质很丰富。
3 如图，在△ABC中，X,Y为AB,AC上的点，使得BC关于XY对称直线与△AXY的外接圆c相切。求证：c与△BOC的外接圆相切。
(2016年伊朗国家队选拔考试IRTST4)
思路分析：
本题与上两题类似，首先作出圆AXY，这个图还是比较好做的，在圆BOC上任取一点G，设O’为圆BOC圆心。AG中垂线与O’G交点T即为圆AXY圆心，以T为圆心，TA为半径的圆交AB,AC于X,Y,即得到题目中的图形。
类似第1题，设XY交BC于I，BC关于XY对称的直线为IJ’,其中J’为此直线与圆AXY的切点。我们还是一以贯之的思路，本题中切点G,J’是关键所在，要挖掘此两点的进一步性质。J’似乎没有特别好的性质，
基本性质就是J’I^2=IX*IY,及∠XJ'Y=∠A。点G在两圆上，为切点即∠YGC=∠YXG+∠GBC.点G的性质似乎丰富一些，已经在两个圆上。
故很可能是密克点，又密克定理设圆BXG,CYG另一个交点为J，则J在BC上。点J似乎有不错的性质，在准确的图形下，可以发现J,J’关于XY对称！
发现了这个性质以后感觉就差不多了，证明的时候，可以设IJ’为圆c切线，J,J’关于XY对称，G为X,Y,J关于ABC密克点，只需证明G在圆BCO上，且两圆相切于G即可，这都是可以通过倒角完成的证明。
证明：
设BC关于XY对称线切圆AXY于J',
J'关于XY对称点为J,圆BJX交圆c于X,G.令GL为圆c切线。
则∠GYA=GXB=∠GJC,
故CYGJ共圆。
又∠XJY=∠XJ'Y=∠A，
∴∠BGC=∠A+∠ABG+∠ACG
=∠A+∠XJG+∠YJG
=2∠A=∠BOC,
故BOGC共圆。
∴∠YGC=∠YJC=∠YXJ=∠YXG+∠GXJ.
又∠YGL=∠YXG,
∴∠CGL=∠GXJ=∠GBJ,
∴GL为圆OBC切线。
故c与△BOC的外接圆相切于G.
注：
本题结论优美，新颖别致，证明也不复杂，是一个人见人爱的题目。不难发现，本题实际上是前两个题目的综合及推广。当本题中点G和O重合时，即为第1题。当圆AXY圆心在高线AH上时，本题即为第2题。同时也可以看出来，第2题也可以作为第1题的一种推广，只是其证明的结论不同，在第2题的图形中，也有BC关于PQ对称的直线和圆APQ相切这个结论。
当然，在第2题的图形中，还有很多性质。如下图，除了以上三题的分析和证明中已经提到的性质以外。还有AGK共线，PK//AC,QK//AB,及K,H,K’共线。以及AK为陪位中线（即中线AM关于角A平分线对称的直线）。等等。
事实上，由以上3题出现的时间先后顺序，我们可以合理的推测，此第3题应该是作者研究加拿大的赛题1,2，将其推广加深以后编制出来的。
当然，本题的逆命题也值得思考，即若过BC的一个定圆，满足过A且与其相切的圆交AB、AC于P、Q，BC关于PQ对称得直线与圆APQ相切，则此定圆一定过ABC的外心O.
当然，本结构中还有一些曲线，例如小圆圆心的轨迹显然是一条双曲线，BC关于XY对称的直线与小圆的切点的轨迹是一个高次曲线，如下图所示，有兴趣的读者可以进一步探究。
本文主要通过三个先后出现的竞赛真题，讲解了此结构的来龙去脉，最终返璞归真，还是回到了此系列一言以蔽之的结论：两圆相切问题的公切点至关重要，此点往往还会在很多其他圆上（一般会和密克结构，即猫爪定理有关，对此定理感兴趣的读者也可以参考本公众号“猫爪定理”系列）。
