东南大学科研团队提出基于磁感的变压器和感应电机等效矢量磁路分析

研究背景

作为实现机电能量转换的重要电磁设备，变压器与感应电机应用广泛，且在分析方法和基本特性上有一定的相似性。为了便于分析二者的工作原理，现有电机学等传统电机理论常采用等效电路表示一次、二次电流之间的流通关系并计算性能，根据等效电路绘制的相量图来表示相关物理量之间的相位关系。以单相变压器为例，图1所示为其等效电路图和空载相量图。但对于初学者来说，常存在一些不易理解的地方，造成困扰。

（a）原理示意图

（b）空载等效电路

（c）负载T形等效电路

（d）空载相量图

图1  单相变压器

（1）图1b、图1c所示的等效电路中，有一个励磁支路，用电阻R_m来等效铁心损耗，流过该支路的电流I_m为励磁电流。在实际变压器中，一次、二次侧的电路各自闭合，进而二者中的电流也不会流过R_m。为了分析计算而直接等效加入该电阻，让学生理解起来较为抽象，容易产生疑惑。

（2）图1c所示的变压器负载T形等效电路中，一次、二次绕组在电路上直接连通，这与其相互绝缘的事实不符，并且还要对二次侧的物理量进行“匝数归算”，让计算复杂化。为了简化计算，在T形等效电路基础上又演变出“近似等效电路”和“简化等效电路”，进一步增加了初学者的学习难度。

相较于等效电路的分析方法，等效磁路在电磁设备工作原理的理解上更为直观。但是，在图1d所示的空载相量图中，空载电流I₀（I_m）与主磁通Φ_m之间有一个相位差a_Fe，电机学中称为“铁耗角”。若依据传统的磁路欧姆定律，励磁磁通等于空载磁动势N₁I₀除以变压器铁心的磁阻，磁通与磁动势应该同相位，为什么铁心中的损耗会导致磁通与磁动势之间产生相位差？该相位差又与什么电磁量有关？如何进行定量计算？

不难发现，造成上述困扰的根源在于：传统的标量磁路理论中仅有磁阻单一元件，不仅无法表征磁通与磁动势之间的相位差，更无法表征铁心中的损耗。因而在利用现有标量磁路理论去分析计算电机等设备的关键参数时，均默认磁通与磁动势同相位。一方面，在相关理解与计算中往往不得不将实际磁量用电量来等效表示，使得问题复杂化；另一方面，这一定程度上阻碍了《电机学》教材内容与组织形式的革新尝试，让《电机学》“难学”、“难教”的局面难以有效改观。

最近发现并定义了新的磁路参数——磁感，为电机等电磁装备的分析计算提供了全新的视角和手段。本文推导了变压器外接负载情况下的等效磁路，并进一步将磁感的概念推广到感应电机中，尝试利用矢量磁路理论来统一分析变压器和感应电机，以期简化计算过程，降低理解难度，达到抛砖引玉之效。

研究内容

1  变压器等效矢量磁路分析

1.1 变压器空载运行

变压器空载等效矢量磁路如图2所示，其中，磁感L₀为铁心等效磁感。由此可见，磁通滞后空载电流的相位角（即《电机学》中所说的铁耗角）可由磁阻、磁感元件的大小直接反映。

图2  变压器空载等效矢量磁路

1.2 变压器负载运行

变压器负载等效矢量磁路如图3所示。当已知负载阻抗，可相应求得二次绕组的等效磁感L₂。可见，变压器的分析计算被简化为对磁路方程的求解，不仅没有一次、二次绕组匝数归算，而且各电磁量的关系清晰明了，与实际变压器的电磁关系相一致。

图3  变压器负载等效矢量磁路

图4  变压器负载相量图

图4给出了基于等效矢量磁路推导的变压器负载相量图。传统电机学中根据归算后的一次、二次绕组电压平衡方程组，以E₁=E '₂为公共参考量，得到变压器相量图。由于未能有效揭示一次、二次绕组和铁心之间的磁场联系，此时磁动势与磁通之间的相位差仍是困扰初学者或不能被直观解释的难点。

不同于传统电机学中的相量图，基于等效矢量磁路推导得到的变压器负载相量图以主磁通Φ_m为一次、二次侧的公共参考相量，一次、二次绕组的感应电动势E₁、E₂均滞后主磁通Φ_m 90°，其大小与各自的绕组匝数成正比。由铁心磁阻磁位降R_FeΦ_m与空载等效磁感磁位降jωL₀Φ_m合成得到空载磁动势N₁I_m，构成空载磁动势三角形（即变压器空载相量图，在图4中以紫色标记），清晰地表明了空载下磁动势与磁通之间的相位差（即铁耗角）。

基于空载磁动势三角形，再叠加上带负载时二次绕组等效磁感上的磁位降jωL₂Φ_m，就得到负载时的一次绕组磁动势N₁I₁，并由它们构成负载磁动势三角形（在图4中以橙色表示）。一次绕组、二次绕组和铁心之间的磁场联系通过磁量直接表示；而一次侧和二次侧的电压、电流相量可根据各自的电压方程独立绘制，不需要进行匝数归算，如图4中绿色所示。

需要说明的是，虽然在一次、二次电压、电流计算中用到了等效电路，但它们都是各自电路内部的等效，并没有将磁量等效为电量，也没有将二次侧的电量等效为归算到一次侧的电量。

2  感应电机等效矢量磁路分析

2.1  转子静止时的感应电机

转子静止时的感应电机相当于二次绕组短路的变压器，但在磁路中有两个气隙，其等效磁路与图3相同，只是磁路的磁阻除了铁心磁阻外，需加上两个气隙的磁阻R_g，转子笼型绕组等效为磁感，如图5所示。因此，转子静止时的感应电机分析计算与变压器类似。

2.2  转子旋转时的感应电机

转子旋转后又分两种情况：

（1）理想空载情况，此时转子以同步速旋转，旋转磁场与转子之间无相对运动，因此，转子绕组中不会产生感应电流，相当于处在静态磁场下，此时的感应电机等效为二次侧开路的变压器。其分析计算与1.1节里空载变压器的分析计算方法相同。

（2）非理想空载情况，即感应电机的正常运行情况，转子与旋转磁场之间以转差速度相对运动，转子绕组中的电流频率为转差频率，转子上有机械功率输出。此时感应电机的电磁结构如图5a所示，其中，R_L是转子机械输出功率的等效负载电阻，由转子电压方程式有R_L=R₂(1−s)/s；R_g为气隙磁阻；其他变量的定义与图1中变压器的定义相同。等效磁路与变压器负载等效磁路相似，如图5b所示。

（a）感应电机的电磁结构

（b）等效矢量磁路

图5  感应电机

事实上，图5b所示等效矢量磁路适用于感应电机的各种运行工况。当感应电机转子静止时，转差率s=1，则负载电阻R_L=R₂(1−s)/s=0，等效为二次侧短路的变压器，对应于2.1节的分析情况；当理想空载时，s=0，负载电阻R_L=R₂(1−s)/s=∞，等效为二次侧开路的变压器，对应于2.2节的分析情况。至此，感应电机的分析计算转化为对图5b等效矢量磁路的求解，并且同样可以根据该图，画出与图4类似的基于等效矢量磁路的感应电机相量图。

至此，可以得到适用于变压器和感应电机分析的统一等效矢量磁路，如图6所示，再次表明等效磁路的直观有效。变压器和感应电机能够以统一的等效磁路表示，但又有所区别，具体可归纳为：

图6  感应电机和变压器的等效矢量磁路

（1）变压器和感应电机的等效矢量磁路均由磁阻R、铁心损耗等效磁感L₀和二次绕组（在感应电机里为转子笼型绕组）等效磁感L₂组成。

（2）由于变压器中没有气隙，因此R=R_Fe；而在感应电机里，气隙承担了机电能量转换的媒介，绝大部分的磁动势降落在气隙上，等效磁路中还存在着气隙磁阻R_g，并有R=R_Fe+2R_g。

（3）变压器和感应电机外接负载Z_L可直接考虑在等效磁感L₂里，其中，变压器的二次绕组等效磁感L₂=(N₂)²/(R_sum+jωL_sum)，感应电机的转子笼型绕组等效磁感L₂=(N₂)²/(R₂+R_L)。

（4）变压器是静止设备，感应电机是旋转设备，因此磁感元件上的电频率并不同：在变压器中，电频率ω是一次绕组的激励电频率；在感应电机中，转子电频率sω是转子相对于旋转磁场的转差频率。

（5）等效磁感L₂上产生有功损耗P，让电源侧输入有功功率以抵消损耗，在感应电机中经转轴对外输出机械转矩。

3  实验验证

具体解析计算结果和实验结果比照详情可见正文。

结论

本文根据磁感及矢量磁路理论，推导了适用于任意工况下的变压器和感应电机等效矢量磁路，以磁路角度描绘了二者电磁量的相量图，并对它们在不同工况下的特性进行了定量分析计算，实验结果验证了所提等效矢量磁路方法的有效性。

与传统的等效电路分析方法相比，本文所提的等效矢量磁路方法省去了原有分析中必不可少的匝数归算、频率归算等工作，物理概念清楚，计算过程简洁。

它既可以清晰地定性、定量表征变压器和感应电机中铁心涡流损耗等效磁感对磁通幅值及相位差的影响，也可以直接计算它们的参数变量，还能够计算感应电机的转矩-转差率曲线等工作特性，从而为电机等电磁装备的分析、设计和控制提供了全新且直观的视角和方法。

此外，如果在电机学课程和教材中引入等效矢量磁路分析，有望降低相关内容的理解和学习难度，可为电机学教材的改革提供参考。

江苏省电机与电力电子联盟（JEMPEL）是由IEEE Fellow、东南大学首席教授程明领衔，东南大学电气工程学院14名专任教师为核心，多名长江学者等专家为支撑，170余名博士后和博士、硕士研究生为骨干的科研团队，研究领域涵盖电机与电力电子及其在新能源发电、电动汽车、轨道交通、伺服系统等领域的应用。

程明

博士，东南大学首席教授、博士生导师，IEEE Fellow, IET Fellow。现任东南大学风力发电研究中心主任、东南大学先进电机与电力电子集成系统研究所所长、江苏省新能源汽车电机及驱动系统工程实验室主任。30多年来，主持承担国家自然科学基金重大项目、国家973计划课题、国家863计划项目等60余项，发表论文500余篇（SCI收录350余篇）；主编《微特电机及系统》、《可再生能源发电技术》教材，出版《General Airgap Field Modulation Theory for Electrical Machines: Principles and Practice》、《电机气隙磁场调制统一理论及应用》、《定子永磁无刷电机-理论、设计与控制》、《电动汽车的新型驱动技术》等著作，应Wiley出版社邀请参编《Encyclopedia of Automotive Engineering》并任第三卷编辑；获授权中国发明专利160余件、美国专利5件、欧洲专利1件。获国家技术发明二等奖（2016年）、教育部自然科学一等奖（2013年、2022年）、江苏省科学技术一等奖（2019年）、江苏省专利发明人奖（2018年）、中国机械工业科学技术一等奖（2015年）、中国电工技术学会科学技术一等奖（2023）、中国专利优秀奖（2017年）等学术奖励和IEEE IAS 杰出讲座学者、IET成就奖、中达学者等荣誉称号；享受国务院政府特殊贡献津贴；培养了3位国家杰青、长江学者特聘教授等优秀人才。

马钲洲

博士研究生，研究方向为磁场调制电机的分析、设计与优化。2021年本科毕业于河海大学，同年推免进入东南大学直接攻博。现参与国家自然科学基金重大项目和原创探索计划项目，以一/二作身份发表国内、外高水平期刊论文4篇。曾获第十七届“挑战杯”全国一等奖、江苏省特等奖，2021年度江苏省普通高校本科优秀毕业论文一等奖等荣誉。