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CCTV纪录片 | 数学大片《被数学选中的人》（视频1—4集全）
2025届天津一中高三二月考数学试卷(见最后)，其中压轴题如下：
第一问就不讨论了。第二问是零点差问题，2015年天津高考曾考过，如果对这方面还不太熟悉可以参考一下下面这道题目：
当然，这一问没有上面这道题目这么复杂，只需要找(0,0)和(e,0)点即可。
下面说说第三问。在笔者2024年10月9日写的一篇文章《聊聊25届湖北省新八校高三协作体联考中两道题目的一些相关内容》中，曾介绍了2025届湖北省新八校协作体联考试卷压轴题(19题)：
由这道题目的最后一问及n元基本不等式，可以得出如下结果：
将x换成y之后就是天津一中那道压轴题的最后一问，等号仅当各个变量都相同时取。
上述两题其实都涉及加权的琴生不等式，关于该不等式及证明如下：
这里的下凸就是凹函数，对于凸函数不等号反向。湖北省新八校协作体题目可以使用下述方法解答(标准答案可参见笔者上面提到的那篇文章)：
而对于二元的加权琴生不等式，2020年天津市南开区高三期末考试试卷中考察过：
最后附上整套试卷，感觉19题的不等式应该加上等号更严谨。
2025届天津一中高三二月考第19题是一道数列题，题目如下：
这道题目从风格上看像是全国一些地区的新定义题目，但笔者认为这道题目其实告诉25届高三考生和其它年级同学很多有用的信息，下面就来简单分析一下。先来看下面一段材料：
可以看到，上面这则材料就是开头题目的条件和第三问的来源，无论是给出的条件还是题目的设问方式都高度相似。唯一有点不同的是这里的材料不是直角三角形，而开头题目把这个变成直角三角形，其实还是简化了这里的探究问题，并且这个材料已经告诉我们如何解答开头题目的第三问了。
上面提到的材料是来自下面这个选修教材：
这个教材是上一版本的选修教材，不过在人教版官网上是和现在使用的版本放在一起的：
通过开头的题目和人教版官网上把新老教材放在一起其实也是提醒我们需要认真看看这些资料，不要盲目刷题。不仅如此，之前有一个材料中提到了一类高考压轴题类型时是这样介绍的：
其中提到的贝努利不等式在上述教材中作为例题出现的：
而柯西不等式和排序不等式则是作为整个章节出现的：
贝努利不等式在湖北安徽的高考中都曾出现过，而2022年天津高考数学压轴题其实就是柯西不等式，这也说明这本选修4-5的重要性。
而这本选修4-5的第二讲则是关于不等式证明的一些方法：
其中的有一道练习题如下：
可以看到这也是天津高考和模拟题中经常出现的根式放缩类型。
除此之外，开头题目的第二问其实是考察阶乘裂项，应该是改编自下面这道题目的第三问：
解答方法如下：
关于阶乘类型的裂项，现阶段使用的教材书后习题就有 (下图中第8题第(2)小题)：
通常可以简化为以下三个表达式：
更多关于阶乘类型的裂项，可以参见文章《教材上容易被忽略的内容（六）－简单谈谈“阶乘型”裂项》
在人教版教材2019版选择性必修三26页中，有这么一道习题（下图中第8题第（2）小题）：
这道题目可以认为是阶乘型裂项的基础，当然一些题目中的阶乘型裂项没有这么复杂，通常就是以下三个公式：
在2022年全国高中数学联赛浙江赛区预赛中，就有这么一道阶乘型的裂项题目，题目如下：
即第4小题：
这道题目可以看做来源于课本而高于课本的典型，解法如下：
当然，笔者前面更多地提到选修4-5也是举例子，其实上一版本的选修系列教材对高考复习都很重要，建议考生复习时多加参考。
最后，再说一点，就是排序不等式之前更多的是出现在数学竞赛题和强基自招的试题中，而这次出现在了天津的高考模拟题中，笔者个人觉得可能也是提醒想拿高分的考生在复习时需要注意加强一下这方面的内容。
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