电子有可能是一个小黑洞吗？

学术 2024-11-21 14:35 北京

作为基本粒子之一，电子的最典型的属性包括质量、电荷和自旋角动量，这些量都已被实验精确地测定，且与物理理论的计算结果符合得非常好。

对于它的大小，根据实验，电子的半径的上限只有10^-22m，这是一个非常小的值。一般倾向于认为电子是一个点粒子，也就是没有大小。

而说起黑洞，作为一种致密天体，根据黑洞的无毛定理（black hole no-hair theorem），它的基本属性与电子类似，由质量、电荷和自转角动量描述。

另外，根据广义相对论，黑洞的质量集中在它的中心的一个点，这个点叫奇点，它是一个没有大小的点。

对比电子和黑洞，虽然一个是基本粒子，一个是宇宙中的天体，但它俩看起来的确有点像呢！

这难免让人猜想，电子有没可能是一个微小的黑洞呢？

这种问题很难综合考虑，本文通过估算电子的寿命来尝试回答这一问题，以抛砖引玉石&轻拍。

我们都知道，地球的第二宇宙速度，也就是逃逸速度（escape velocity）为 $v_{\rm 逃}=\sqrt{\frac{2Gm_{\rm e}}{R_{\rm e}}}$ 其中 $G$ 为万有引力常量， $m_{\rm e}$ 和 $R_{\rm e}$ 分别为地球质量和半径。

对于黑洞，如上图所示，它的视界上的光刚好能逃离出来。这决定了它的视界半径，也就是施瓦西半径 $R$ 满足关系式

$\begin{equation} c=\sqrt{\frac{2Gm}{R}}\tag{1} \end{equation}$ 其中 $c$ 是光速， $m$ 为黑洞质量。

根据斯蒂芬·霍金的理论，黑洞并不是只进不出，它还会发出辐射，即所谓霍金辐射（Hawking radiation）。

根据安鲁效应（Unruh effect），黑洞辐射温度 $T$ 与黑洞视界上的重力加速度 $g$ 的关系为

$\begin{equation} T=\frac{\hbar g}{2\pi c k}\tag{2} \end{equation}$ 其中 $\hbar=h/(2\pi)$ ， $h$ 为普朗克常数。 $k$ 为玻尔兹曼常数。

诸君都很熟悉 $g$ 与 $G$ 的关系，即 $\begin{equation} g=\frac{Gm}{R^2}\tag{3} \end{equation}$ 联合式(1)、(2)和(3)得 $\begin{equation} T=\frac{\hbar c^3}{8\pi kGm}\tag{4} \end{equation}$ 按照相对论质能关系，黑洞的能量应为 $E=mc^2$ 由于霍金辐射，能量和质量都会减少，上式两边求时间导数得 $\begin{equation} \frac{{\rm d}m}{{\rm d}t}=\frac{1}{c^2}\frac{{\rm d}E}{{\rm d}t}\tag{5} \end{equation}$ 根据斯忒藩-玻尔兹曼定律（Stefan-Boltzmann law），将黑洞的辐射看作平衡态的黑体辐射，则黑洞的单位表面积在单位时间内的辐射能为 $\frac{{\rm d}E}{{\rm d}t{\rm d}S}=-\sigma T^4$ 其中斯忒藩-玻尔兹曼常数 $\sigma=\pi^2k^4/(60\hbar^3c^2)$ 。

将黑洞视界看作球形，则黑洞表面单位时间内辐射的能量为 $\begin{equation} \frac{{\rm d}E}{{\rm d}t}=-4\pi R^2\sigma T^4\tag{6} \end{equation}$ 联立式(4)，(5)和(6)得 $\begin{equation} m^2{\rm d}m=-\frac{\sigma c^6\hbar^4}{256\pi^3G^2k^4}{\rm d}t\tag{7} \end{equation}$ 代入系数 $\sigma$ 的值到式(7)得 $m^2{\rm d}m=-\frac{\hbar c^4}{15360\pi G^2}{\rm d}t$ 设黑洞初始质量为 $m_0$ ，蒸发完所需时间为 $\tau$ ，则 $\int_{m_0}^0m^2{\rm d}m=\int_0^\tau -\frac{\hbar c^4}{15360\pi G^2}{\rm d}t$ 即 $\frac{m_0^3}{3}=\frac{\hbar c^4}{15360\pi G^2}\tau$ 故得黑洞蒸发完所需的时间，即寿命为 $\tau=\frac{5120\pi G^2m_0^3}{\hbar c^4}$ 如果电子是一个黑洞，则该黑洞的质量为电子静止质量0.91×10^-30kg，代入如下数值到上式

$\left\{ \begin{align*} &m_0=0.91\times10^{-30}{\rm kg}\\ &G=6.67\times10^{-11}{\rm N\cdot m^2/kg^2}\\ &\hbar=1.055\times10^{-34}{\rm J\cdot s}\\ &c=3\times10^8{\rm m/s} \end{align*} \right.$