从数学文化视角解读人教A版教材解析几何内容

       殷玉波（河北保定市第三中学）

摘要：解析几何是人类数学史上的里程碑。本文从数学文化的视角，从教材整体布局、文化知识传播、例习题的文化背景等，解读人教A版平面解析几何内容蕴含的数学文化，深化理解解析几何的基本思想。

关键词：数学文化 解析几何  教材解读

数学教材不仅传授数学知识，更传播数学文化。“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。”【文献1 】。

解析几何是数学发展史上的一个重要里程碑，具有重要的文化价值。普通高中数学教材将平面解析几何内容安排在选择性必修第一册（以下简称教材）【文献2】。由“直线与圆的方程”、“圆锥曲线的方程”两章内容构成。教材以平面解析几何知识为载体，以数学文化为背景，在传授数学知识的同时传播数学文化。

1.教材关于解析几何文化内容的整体布局

《高中数学课程标准》（以下简称课标）指出“数学文化融入课程内容”【文献1】。解析几何在数学发展史中有非常重要的地位，文化背景十分丰富，教材对解析几何中蕴含的数学文化内容进行了整体布局。

首先，安排了三篇阅读材料。

第一篇是“笛卡儿与解析几何”。主要介绍法国数学家笛卡儿的思想，以及解析几何的历史价值。

笛卡儿的思想就是解析几何的思想。这篇材料对于理解解析几何思想，了解解析几何文化价值有重要的参考作用。直到今天，笛卡儿的思想对解析几何，乃至科学技术的发展仍有巨大影响。

笛卡儿认为没有任何东西比几何图形更容易印入人脑，用图形表达事物非常有益。同时他也看到了代数的力量，他认为代数提供广泛的方法论方面高于欧几里得的几何学，代数的公式可以使解题过程机械化，代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力。

几何注重推理，代数注重运算。笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合起来，工具是坐标系。

第二篇阅读材料是“坐标法与数学机械化”。

笛卡儿开创了解析几何思想方法的先河。笛卡儿设想把一切问题都归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到一个未知数的方程。这个想法在当时来说虽然失败了，但是在今天，随着计算机技术的进步，其中很多想法变成了现实。

我国著名数学家吴文俊被认为是自动推理领域的先驱。“吴方法”机器证明的思想，主要是从笛卡儿的坐标法和中国古代解方程的计算方法而来的。

上述两篇文章将解析几何的历史与未来、思想与应用介绍的非常清楚。从中可以看到，解析几何的发展总体上还是遵循笛卡儿思想，只不过是技术水平越来越先进。也说明，数学思想是数学的灵魂，是数学文化的核心。

第三篇阅读材料是“圆锥曲线的光学性质及其应用”。材料从椭圆、双曲线、抛物线都有焦点说起，介绍圆锥曲线与光线的紧密联系。这是一篇科普文章，介绍的是圆锥曲线在现实生活中的应用。

阅读完上述三篇文章，对解析几何的历史发展、以及与现实生活的关系会有一个初步了解，特别是对解析几何思想有了完整的认识。

其次，插入大量的图片。教材中插有大量圆锥曲线知识与现实、科技有关的图片。这里着重介绍章头图。教材在两章的章头都安排了精美的图片。这两张图片不仅精美，而且与教学内容紧密相关。教学中要引起足够重视。

第一章的章头配图意境深远。图上有落日、长河、桥梁。用数学的眼光来看，长河、桥梁抽象为直线，落日抽象为圆，整幅图案可以抽象为“直线与圆”。这幅画面用数学中的直线、圆装扮出“长河落日圆”、“秋水共长天一色”的壮美辽阔景象。

“桥梁”的寓意也很深刻。解析几何是沟通数学内部数与形、代数与几何的“桥梁”。代数与几何相互汲取新鲜活力，开创了数学研究的新方向新方法，使得数学迅速发展。从此，“一桥飞架南北，天堑变通途”。

“直线与圆”的教学内容突出解析几何基本思想。教学中，可以先让学生透过这壮美的景色从感官上感到美。透过这种美妙的意境，抽象出其中的数学元素，感悟其中蕴含的数学原理，感受数学与自然之和谐，造化安排数学之美妙，初步感受数学家创造数学之深邃。使学生感受到数学的美是具体的，数学是美的，数学是研究美的，美在数学之中。

“圆锥曲线的方程”的章头其实只有一句话，“进一步感受数形结合思想方法，体会坐标法的魅力与威力”。其魅力与威力是什么？章头图已经有所展示。

章头图给出两张图片，书页左上角给出圆锥曲线的原始含义。下图是一幅浩瀚宇宙的画面，告诉人们解析几何是探索宇宙奥秘的重要工具。

圆锥曲线与客观世界的运动规律、人类生活实际联系最为紧密，也最能体现数学的魅力。教学中要紧密联系生活现实，以及解析几何的科学价值与应用价值。如：

人类早就有飞天的梦想，探索宇宙是人类共同的梦想，探索宇宙奥秘离不开数学智慧。人类早就知道卫星绕地球的运行轨迹是椭圆，椭圆是一个几何图形，欧式几何的研究方法依赖于图形，在没有解析几何之前，人类没有办法确定卫星的运行轨道，正是解析几何的诞生，让人类将梦想变为现实。

在我国，2003年我国首次进入太空，20多年来，我国的航天事业从一人一天，到多人多天，从仓内工作到太空行走，从短暂停留到中长期驻留的不断跨越。每一步跨越，都凝聚着航天员们飞天逐梦的勇敢与执着，为人类探索宇宙贡献中国智慧。

第三，在例题习题中渗透数学文化。在例题习题中使用了很多现实中的实例，包括解析几何在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义。如圆形拱桥、抛物线形拱桥、发电厂冷却塔、卫星接收天线等，让学生感受解析几何在科技、生活、航空航天等领域无处不在。教学中不能仅仅从解题的角度去处理这些习题，要从文化的视角理解和认识这些典型事例。

2从数学内部感受解析几何的思想属性

教材从宏观上介绍了解析几何的科学价值和应用价值，其知识属性和思想属性还要结合具体内容来掌握。

2.1了解解析几何的伟大成就

会解题是衡量学生学习的一个重要标准。但是，坐标法的“魅力”与“威力”很难通过直线、圆的学习感受到。因为直线与圆的内容比较简单，学生学习起来毫不吃力。因此，教学中需要让学生多了解一些解析几何的伟大成就，了解解析几何的价值，明确学习动机，增强学习动力。

解析几何的基本思想是用代数方法研究几何学。这就把空间的论证推进到可以进行计算的数量层面。代数的基本功是计算,几何的基本功是推理，现代数学中的计算是以运算为根据的推理。二者的结合就是：代数取代了几何，就是用思维取代眼睛。

解析几何的伟大成就具体有以下五个方面【文献3 】：
  (1)数学的研究方向发生了一次重大转折:古代以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学.

(2)以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学,为微积分的诞生奠定了基础；

(3)使代数和几何融合为一体,实现了几何图形的数字化,是数字化时代的先声；

(4)代数的几何化和几何的代数化,使人们摆脱了现实的束缚.它带来了认识新空间的需要,帮助人们从现实空间进入虚拟空间:从三维空间进入更高维的空间。

(5)代数几何的发祥.解析几何的出现,使高次曲线的研究成为必然,这样,代数几何就出现了.

例如：解析几何中的代数语言具有意想不到的作用,因为它不需要从几何考虑。我们知道：方程x²+y²=25表示一个圆。圆的完美形状、对称性、无终点等都存在在方程之中!

在几何上( x , y )与( x ,- y ),(-x , y ),(-x ,- y )对称，表现在它们都满足同一个方程上。这就是代数取代了几何,思想取代了眼睛!

在这个代数方程的性质中,我们能够找出几何中圆的所有性质.这个事实使得数学家们通过几何图形的代数表示,能够探索出更深层次的概念。我们可以考虑下述方程：

X²+y²+z²+w²=25,以及形如的方程。

这是一个伟大的进步。仅仅靠类比,就从三维空间进入高维空间,从有形进入无形,从现实世界走向虚拟世界。

中学数学是质变，大学是量变。中学的平面解析几何是解析几何的本质，也是基础，其中蕴含的基本思想永放光芒。

2.2 通过“直线”讲授解析几何的基本思想

笛卡儿认为，科学研究不可以从庞大暧昧的事物中，只可以从最容易碰见的容易事物中演绎出最隐秘的真知本身。

按照这一思想，教材从最简单的直线和几何性质最突出的圆入手，详细介绍了解析几何的基本思想。

教材在直线的开篇就明确指出“在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来”。以此为指导，确定直线位置的几何要素之一是角，教材给出直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式，然后“根据斜率判定两条直线平行或垂直”。

在求直线方程时也是首先明确确定直线位置的几何要素是什么，在此基础上探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。

分析教材的上述过程，可以得出如下认识:
   首先，解析几何的研究对象是几何图形，要结合具体图形形成解题思路，运用代数运算解决问题。

其次，讨论平面图形的特征要在平面直角坐标系中进行。
    第三，要通过直线的学习，了解坐标法研究几何问题的思路:在直角坐标系中认识图形的几何特征——建立标准方程——运用代数方法研究曲线的性质——通过代数运算研究曲线的位置关系。

研究“圆的方程”，教材用了一个词——“类似”。由此可见，直线内容完整的展现了解析几何的基本思想，提供了用代数方法研究几何问题的基本方法和基本思想。

同样地，这种思想也贯穿在圆锥曲线的教学中。在第二章的章头提到，“本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力。”

两章内容是一个整体，通过“直线与圆”详细介绍解析几何的基本思想，通过“圆锥曲线”的学习进一步感悟、应用这种思想解决问题。两章内容的编排设计详略得当，充分体现数学的整体性，思想方法的一致性。

老子说，“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”。对解析几何的认识从直线开始，到直线结束。可以说，理解了“直线”就理解了解析几何。

2.3通过例题渗透数学文化

教材主要通过数学知识讲述解析几何的基本思想和方法，其科学价值、应用价值、文化价值主要体现在例题和习题中。

师：建圆拱桥有什么优势和困难？

生：优势很明显，比如赵州桥。美观，可以节省建筑材料，通过率高，发洪水阻力小等。最大的困难应该是圆拱必须保证“圆”，保证受力均匀。

师：怎么保证圆拱是圆的一段弧？

生：设计桥桩时要保证桥桩的高度，保证桥桩的顶点都在某个圆上。施工时还要保证地基不能塌陷，误差要足够小等。

师：建桥的第一步当然是实地测量，然后在图纸上作业。这样，实际问题就转变成了一个数学问题，请同学们完成这个计算。

同样，在教材124页例4的双曲线型“冷凝塔”与此题是类似的问题。

这样处理，现实问题转变为一个数学问题，数学问题变成了实实在在的数学文化问题，甚至会演变成社会问题。比如：2016年11月24日江西丰城发电厂的“冷却塔”施工中倒塌，上级调查事故原因，要从设计和施工两方面进行调查。如果是设计有缺陷，数学问题就演变成了社会问题。

案例2 （教材120页的例题2）已知A,B两点相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求爆炸点的轨迹方程。

这是双曲线的定位原理。将声音换成电磁波就是双曲线在军事、生产中的应用。

教材中类似的问题有很多。比如，抛物线中卫星接收天线的曲面设计呈“锅盖”状，与位于贵州500米直径的天眼“大锅”原理都是一样的。

教学中，如果将这些数学问题背后的文化意义渗透到课堂中去，学生会对数学的价值、对数学学习的意义会产生深刻认识，从而激发学生的数学学习兴趣和爱国情怀。

2.4椭圆中的一点遗憾

用手电筒斜照在平面上，用刀斜着切火腿肠，倾斜装有水的圆形水杯等，都能得到椭圆。但是，这些做法得不到的椭圆的定义。椭圆是点的轨迹。用双钉法画椭圆用的是定义。由生活中的椭圆转换到轨迹法椭圆，是师生的一个心结。老版本教材有专门的阅读材料介绍旦德林模型，供有兴趣的人参考。新教材中去掉了，很遗憾。

教学中将二者结合起来，对学生理解椭圆、理解数学很有帮助，有HPM爱好者进行过相关探索，效果很好【文献4】。

教材的篇幅是有限的，而知识是无限的，教学中可以根据教学实际补充学习。

3.解析几何教学建议及反思

解析几何的发展中蕴含了丰富的数学文化元素,是高中数学课程中提升学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值的不可多得的好素材。教材和教学应整体布局，思想与文化并重，教学中应高度重视解析几何的育人功能。

3.1数学文化是发展数学核心素养的必要条件

解析几何教学中有一种教与学、学与考都不对称现象。教材非常重视直线教学，但学生学起来很轻松；圆锥曲线是考试重点，知识掌握很容易，教与学都轻松，但是不会做题。这种现象不仅让很多师生不适应。

这种现象表明，解析几何文化的欠缺影响了教师对教材的理解，也影响了学生思维品质提高。

数学文化是发展数学核心素养的必要条件。因为知识的理解和掌握应从知识的产生背景、产生过程、知识应用中去理解和掌握，这个过程就是领略数学文化的过程。知识的产生不是孤立的，也不是静止的，是有生命的。

数学课上教的是知识，学到的应该是文化。数学必备品格的形成依赖数学文化的积淀。

3.2注重数学思想的渗透

数学思想是数学文化的灵魂，在知识的学习过程中缺乏文化渗透，也不会真正理解其中的数学思想。

从学生学习的角度来看，解析几何学起来简单，但是考试题很难，能完整做出答案的人很少。还有人公开说解析几何就是考计算的，算不出来很正常。实际上，过度强调计算是对解析几何的误解，更是没有理解解析几何的基本思想。

经常听到很多教师这样教导学生：解析几何的解题思路是“直曲联立、韦达定理、化简求值、全凭运气”。按照教师的“教诲”，这道题无从下手。直线转动，两个角也跟着变，单纯从几何角度无法判断两个角是否总相等。几何问题转化为代数问题才能进行计算。

几何转化为代数，就是思维取代眼睛。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。”

本题源自2018年高考题。通过这道考题可以感悟解析几何的基本思想，欣赏解析几何的魅力。

3.3 数学文化对教育创新的影响

法国科学家笛卡儿，以其在数学、哲学和物理学方面的卓越贡献而闻名。作为数学家，被誉为解析几何之父。他的坐标系发明对于现代数学有着重要意义。借助坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究。这种方法具有一般性，沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系。从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展。

吴文俊先生是数学家，是中国数学史学家，他从中国古代数学中汲取营养，借助计算机技术，发展、完善解析几何坐标法，使得计算机应用到几何定理的证明中成为可能，为人工智能的发展奠定了基础。

回顾解析几何的创立，以及人工智能领域的蓬勃发展可以发现，没有继承就没有创新，没有创新就没有发展。人类社会既靠文化的传承而延续，又靠文化的创新而进步。

课程和课程教学是实现教育目标最为重要的手段。但是应试教育背景下，课程教学异化为分数教学。为了追求更高分数，把本来用于阅读、思考的时间用在了机械刷题上，把本来用于传授文化的课堂变成了培训基地。这种方式培养的学生可能有知识，但肯定没文化，可能有执行力，但一定缺乏创新力。

文化是文明的基础，是人类社会的“基因”。老师是文化的传承者，在解析几何教学中要先了解其文化价值，掌握解析几何思想，最终理解其科学价值。

参考文献

1.中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准2017年版[M] 北京 人民教育出版社2018年1月

2.普通高中教科书 数学选择性必修第一册[M] 北京 人民教育出版社 2020年5月

3. 张顺燕 数学的美与理[M]  北京北京大学出版社 2004年7月175-176

4.汪晓勤 HPM：数学史与数学教育[M] 北京 科学出版社 2017年5月456-463

长按下方二维码即可识别，添加作者“微信”添加时请备注：地区身份，欢迎各位朋友，相识即是缘，感恩遇见