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一、极点极线定义
二、极点极线定理证明
三、极点极线的配极性质
四、极点极线的高考命题背景（例题）
2024・新高考 II 卷
2023・新高考二卷
2023 · 北京
2023・全国乙卷
2022・全国甲卷
2022・乙卷
2022・北京卷
2020 · 北京
2020・新高考一卷
五、学习极点极线的必要性
对于高中生的我们来说，有没有必要学极点极线，适合哪些同学学，这个高等数学中的课程内容我们高中生应该如何去学习，从哪些方面去学习，真的要提前把大学的内容都学了吗？答案肯定是“No”!
首先，作为高中生的我们，拎清楚自己的“段位”很重要，对于有兴趣、学有余力的同学，可以接着往下看，如果基础不是很好，可以先收藏，先尽量去把自己基础薄弱的部分先补上来，后面有时间回过头来再学习。
那我们今天就一起来看看适合我们高中生且高考有涉及的极点极线的一些基础内容。
先一起来看一下近五年高考解析几何真题的考点：
| 年份 | 新高考Ⅰ | 新高考Ⅱ | 甲卷 | 乙卷 | 北京 | 天津 | 浙江 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2024 | 面积问题 | 双元数列递推+帕斯卡定理 | 调和线束平行中点定理 | 极点极线背景+内外角角平分线 | 向量乘积 | ||
| 2023 | 垂直背景+弦长最值 | 1.简单极点极线背景 2.斜率翻译或者坐标翻译 | 1.抛物线焦半径 2.简单面积处理 | 1.斜率和定值 2.调和线束平行中点定理 | 1.单动点 2.五边形 3.帕斯卡定理背景 | 面积比转化为坐标比 | |
| 2022 | 1.斜率和 2.面积 | 1.中点 2.斜率 3.退化二次曲线布利安桑定理背景 | 1.抛物线截距等比 2.最大张角 | 1.调和线束平行中点定理 2.隐藏斜率倒数和为定值 | 1.调和线束平行中点定理 2.隐藏斜率倒数和为定值 | 1.切线 2.单动点 | 1.隐藏斜率倒数和为定值 2.弦长最值 |
| 2021 | 1.退化二次曲线与四点共圆 2.倾斜角互补 | 1.弦长 2.焦点弦 | 抛物线彭赛列闭合 | 阿基米德三角形面积 | 1.隐藏斜率积为定值 2.轴点弦 | 1.切线 2.单动点 | 1.长度等比 2.退化二次曲线 |
| 2020 | 1.斜率积定值 2.过定点 3.自极三角形 | 1.斜率比定值 2.定点 3.极点极线背景 | 1.焦点弦长 2.两圆锥曲线交点 | 面积 | 1.轴点弦 2.定值 | 1.切线 2.中点弦 | 1.两圆锥曲线交点 2.定比分点 |
对于高考而言，在全国卷大一统的形势下，纵观历年全国卷的解析几何试题，以极点极线为背景的题目，不断出现，不过基本上也是基础类型．
一、极点极线定义
1.二次曲线的替换法则
对于一般式的二次曲线 ： ，用代，用代，用代，用代，用代，常数项不变， 可得方程：
2.极点极线的代数定义
高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下：
(1)圆：
① 极点关于圆的极线方程是
② 极点关于圆的极线方程是
③ 极点关于圆的极线方程是：
(2)椭圆： 极点关于椭圆的极线方程是：
(3)双曲线： 极点关于双曲线的极线方程是：
(4)抛物线 极点关于抛物线的极线方程是：
注： ① 极点极线是成对出现的； ② 焦点和焦点对应的准线就是最常见的极点极线； ③ 已知定比分点，则其调和分点一定位于其对应极线上！
3.极点极线的几何意义
(1)若极点 在二次曲线上，则极线是过点 的切线方程。
(2)若极点 在二次曲线内部，则极线是过点 的弦两端端点的切线交点的轨迹。如图所示，过点 的弦 、 的两端端点作切线，得到的直线 即为点 对应的极线轨迹。【极线和二次曲线必定相离】
(3)若极点 在二次曲线外部，分成两种情况： ① 极线在二次曲线内的部分是点 对二次曲线的切点弦；【极线和二次曲线必定相交】
② 极线在二次曲线外的部分是过点 的弦两端端点的切线交点的轨迹。
二、极点极线定理证明
如下图所示，设非中心点 不在椭圆 上，过 作椭圆的两割线 和 ，连接 和 交于 ，则 。
证明：
如图所示，在线段 上取一点，使 ， ，， 为调和点列，根据定比点差法(过程在深挖教材系列（二）——定比分点与定比点差法讲解过)可知：，
同理在 上取一点 ，使 ，，， 为调和点列，
则有，
由于 、 均在同构方程 上，
所以直线 的方程为，
连接 ，我们仅仅需要证 ，， 三线共点 即可，此时我们需要借助一下梅涅劳斯定理和塞瓦定理，由于借助平面几何知识，延长 和 交于 ，连接 交 和 分别于 和 点，我们需证 ，， 三点共线，则只需证 与 重合， 与 重合
在 中， 是其塞瓦点，根据塞瓦定理可知：，
在 中， 为其截线，根据梅涅劳斯定理得：
所以 ，由于 ，故 与 重合，同理可证 与 重合，
故点 在直线 上，所以 ，命题得证！
注意：关于梅涅劳斯定理和塞瓦定理及其逆定理，均属于高中数学联赛的知识，高中课本上是没有做要求的，考试不能直接拿来证明，但是其对应的比值性质与极点极线的调和共轭属性完美契合，属于证明极点极线的最佳方法.
三、极点极线的配极性质
① 点 关于二次曲线的极线 经过点 点关于二次曲线的极线经过点 .
② 直线 关于二次曲线的极点 在直线上 直线关于二次曲线的极点在直线 上.
①② 表达点 和点是二次曲线的一组调和共轭点，也是定比点差常说到的定比分点和调和分点.
极点极线的综合模型——自极三角形
极点极线的几何意义：
（1）若点 是圆锥曲线上的点，则过点 的切线即为极点 对应的极线。
（2）如图所示（以椭圆图形为例），若点 是不在圆锥曲线上的点，且不为原点，过点 作割线 、 依次交圆锥曲线于 、、、 四点，连结直线 、 交于点 ，连结直线 、 交于点 ，则直线 为极点 对应的极线。类似的，也可得到极点 对应的极线为直线 ，极点 对应的极线为直线 ，因此，我们把 称为自极三角形。【即 的任一顶点作为极点，则顶点对应的边即为对应的极线，“补全自极三角形”这个技巧很常用，后面结合例题了解！】
如图所示，如果我们连结直线交圆锥曲线于点 、，则直线 、 恰好为圆锥曲线的两条切线，此时，直线 不仅是极点 的极线，我们也称直线 为渐切线。
四、极点极线的高考命题背景（例题）
本讲从一些高考真题介绍一下极点极线的原理和背景，给予其背后涉及的高等数学背景进行解读，但是这些都不能直接在考试中使用，还是需要用到圆锥曲线其他的处理方法和处理技巧（可以参考《MST25版圆锥曲线》点击此处即可跳转），一旦考场中直接使用极点极线的理论，会被扣步骤分，大家切记！
2024・新高考 II 卷
已知双曲线 , 点 在 上, 为常数, , 按照如下方式依次构造点 , 过 斜率为 的直线与 的左支交于点 , 令 为 关于 轴的对称点, 记 的坐标为 .
(1)若 , 求 ;
(2)证明: 数列 是公比为 的等比数列;
(3)设 为 的面积, 证明: 对任意的正整数 .
【解析】
（3）极点极线背景分析：
双曲线内接六边形 (汉密尔顿回路) 中, 与 平行; 与 平行, 根据帕斯卡定理得 与 平行.
法一: 要证 , 只需先尝试 ,
即先证 , 记 , ,
则 ,
而 ,
∴
法二: 利用面积公式
所以对任意的正整数 , 都有
而又有
这就表明 的取值是与 无关的定值, 所以 .
2023・新高考二卷
已知双曲线 中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 。
(1)求 的方程；
(2)记 的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与 的左支交于 ， 两点， 在第二象限，直线 与 交于 ，证明 在定直线上。
【方法一】极点极线背景分析：
由于 是 和 的交点， 是 和 的交点，根据极点极线知识可得 两点符合调和共轭，即 ，所以 。
【方法二】(齐次化)：
我们发现 是 轴的轴点弦， 是 轴的顶点角，易判断隐藏了斜率关系
将双曲线按照向量 平移得： ，
同时设直线 的方程为： ，则 ；
与双曲线联立可得： ，
化简得： ，
同除以 有： ，
所以
根据第三定义(考试需自证)： ，
所以 ；
又直线 、 的方程分别为：① ，
② ；
联立①②： ，整理得
故点 在定直线 上。
【方法三】定比点差：
过点 的直线与 的左支交于 ， 两点，设 ， ，
满足 ；即有 ， ；
又 ， 在双曲线上，则满足 ，
两式相减得： ，
即 即 ，
、 、 三点共线： ，
、 、 三点共 线： ；
故 ，
所以 ，点 在定直线 上。
【方法四】(曲线系)：
， ，联立可得： ；
， ；
故曲线系方程为：
对比 系数： ，
对比 系数： ，
。
2023 · 北京
已知椭圆 的离心率为 、 分别为 的上、下顶点, 、 分别为 的左、右顶点, .
(1) 求 的方程;
(2) 点 为第一象限内 上的一个动点, 直线 与直线 交于点 , 直线 与直线 交于点 . 求证: .
【方法一】极点极线背景分析：延长 和 交于 ，连接 交 于
方案一(帕斯卡定理)：由于过 作椭圆的切线，
所以我们记为六边形 与 交点 与 交点 与 交点记为 , 由于 , 故 在无穷远处, 故 .
方案二(交比不变性)：以 为射影中心，由于 ，
故 ，
根据交比不变性 ，故 ，
故 ，我们仅需证 为菱形,
由于 , 令 与 交于 ,
则 为 中点, 则 , 故 为菱形。
【方法二】参数换元:
设点
则有 其中 ,
由题可知 ;
联立直线 和直线 可得: ;
联立直线 和直线 可得: ;
所以 ,
所以 ，得证！
2023・全国乙卷
已知知圆 的的心率为 , 点 点 上.
(1)求C的方程;
(2)过点 的直线交 于点 两点, 直线 与 轴的交点分别为 , 证明: 线段 的中点为定点.
【方法一】极点极线背景分析：
本题给到 , 我们求出它的极线方程 ,
如图, 即是过椭圆左顶点 和上顶点 的连线, 设 与 交于点 , 则 是调和点列,
因为 轴, 由调和点列的平行中点定理知 ,
( 如右图所示, 也可以过 作 , 分别交 和 于 两点,
)
证明: 如图, 由于 过定点 , 与左顶点 的横坐标相同, 易知隐藏了 定值, 过程如下:
将椭圆按照向量 平移得到方程: ,
即 , 此时
设 , 此时 恒过 ,
故将椭圆与直线联立得:
;
由于 , 故同时除以 有:
,
所以线段 的中点为定点 .
2022・全国甲卷
已知抛物线 焦点为 ，点 过焦点 做直线 交抛物线于 ， 两点，当 轴时， 。
(1)求抛物线方程；
(2)若直线 ， 与抛物线的另一个交点分别为 ， 。若直线 ， 的倾斜角为 ， ，当 最大时，求 的方程。
【方法一】极点极线背景分析：
四边形 是内接四边形，对角线交点是 ，又直线 和 的交点 ，交出的角就是 。由“自极三角形”的性质， 在 的极线上，即 ，因此 在 上。剩下的就自己思考一下
【方法二】同构方程：
设 ， 则 的方程： (证明省略)，
由 ， ， 共线得： ，
由 ， ， 共线得： ， 得
由 ， ， 共线得： ；
设 ， 斜率分别为 ，
1 当 斜率存在
，
显然当 ， 有最大值，当 时，
即 取等，此时 方程 ；
2 当 斜率不存在时， ，不合题意。
【方法三】曲线系：
将抛物线向左平移两个单位得： ，即
： ， ： ， ： ， ： ，
过 、 和 、 组成的两个退化的二次曲线的交点的曲线系方程为：
常： ， ： ， ： ，
综合解得： ， ，
所以 ， ，当且仅当 等号成立，
2022・乙卷
已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴、 轴，且过 ， 两点.
(1)求 的方程;
(2) 设过点 的直线交 两点, 过 且平行于 轴的直线与线段 交于点 , 点 满足 . 证明：直线 过定点.
【方法一】极点极线背景分析:
方案一：
如下左图, 连接 , 设 与 交点为 的方程为 , 而以 为极点的极线方程为: , 即 , 恰好是 , 则有 是调和点列, 由于 , 且 , 直线 必过定点 .
方案二：
根据调和点列原始定义来理解，由于 是调和点列，我们过 作 ,并交 延长线于 ,
如上右图所示, 即 ,
由于 , 所以 , 于 ,
所以 、、 三点共线.
方案三：
根据 为与 轴平行线 的中点可知 , 故 、、 三点共线.;
方案四:
根据交比不变性, 以 作为射影中心,
由于 ,故 、、 三点共线.【方法二】齐次化: 大家自行尝试！
【方法三】定比点差：大家自行尝试！
2022・北京卷
已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 。
(1)求椭圆 的方程;
(2) 过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 。直线 分别与 轴交于点. 当 时, 求 的值.
【方法一】极点极线背景分析:
本题给到 , 我们求出它的极线方程 , 如左图, 即是过稀圆左顶点 和上顶点 的连线, 设 与 交于点 , 则 是调和点列, 因为 轴, 由调和点列的平行中点定理知 , (如右图所示, 也可以过 作 交 于 , 交 于 , 列因为 由此知 点的坐标为 ，十 , 联立 , 易解得 .
【方法二】齐次化: 大家自行尝试！
2020 · 北京
已知椭圆过点，且。
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于点，直线分别交直线于点。求的值。
【方法一】极点极线背景分析：
由于点 相对于椭圆 的极线方程为 , 故 在极线上, 过 作 交 于 , 故 这四点是调和点列, 根据平行中点定理知 , .
也可以根据两个相似, 一个 8 字形相似, , 一个 字形相似, , 由于 , 故 。
注意: 本题也可以理解为半梯形调和平行弦, 我们也可以将其还原成梯形, 如右图所示, 连接 并延长交 于 , 由于 这四点是调和点列, 则 、、 三点共线, 且 .
如果按照交比不变性, 我们不妨以 作为射影中心, , 由于 , 故 , , 所以 , 殊途同归.
【方法二】定比点差：大家自行尝试！
2020・新高考一卷
已知 分别为椭圆 ： 的左、右顶点， 为 的上顶点， 。 为直线 上的动点。 与 的另一交点为 ， 与 的另一交点为 。
(1)求 的方程；
(2)证明：直线 过定点。
【解析】
【方法一】极点极线背景分析：
与 交点 AM BNP ， 与 交点 构成自极三角形，根据对称性可知， 在直线 上， 为其极点，所以 ，即 。
【方法二】齐次化：
由(1)知 ，，，，，
设 ，，，
由 ，， 三点共线得：；由 ；
设 ，因为 是椭圆的直径，所以 。
又因为点 ， 在椭圆上，所以有
两式相减得 ，
所以 ，故 ，
所以 ，
将坐标原点平移到 点，则椭圆 ：，即 ，
设直线 的方程为 ，
代入椭圆 得 ，
同除 得，
由 ，
解得 ，
所以直线 过定点 ，所以直线 过定点 。
【方法三】(定比点差)：
，，所以
设 与 轴交于点 ，令 ，根据定比点差法(过程在深挖教材系列（二）——定比分点与定比点差法讲解过)：
，，
②代入①，所以，
所以， 当且仅当同时成立，即，
故直线过定点。
【方法四】(曲线系)：
设 ，因为 ，，
则直线 的方程可以表示为 ，
直线 的方程可以表示为 ，
易知 ，设直线 的方程为，
故经过 、、、 四点的曲线系可表示为
①比较“”项的系数，
②比较“”项的系数，
两式比较得 ，故直线 过 。
五、学习极点极线的必要性
对于高中生来说，学习极点极线有一定的必要性，具体体现在以下几个方面：
一、知识拓展与深化方面
加深对圆锥曲线的理解
圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是高中数学的重点内容。极点极线提供了一种全新的视角来审视圆锥曲线的性质。例如，在学习圆锥曲线的切线问题时，极点极线知识可以让学生明白圆锥曲线上一点的切线其实就是该点对应的极线，这有助于将切线的概念与更广泛的几何关系联系起来。 当研究圆锥曲线内接四边形的性质时，极点极线的配极原则等性质可以帮助学生发现四边形的对角线交点与对边交点之间的隐藏几何关系。这种对圆锥曲线内部结构的深入挖掘，能够使学生从更高的维度理解圆锥曲线，而不仅仅局限于常规的方程和基本性质。
高中几何主要包括平面几何和解析几何。极点极线作为解析几何中的高级概念，能够将几何中的点、线、面的关系用更具逻辑性的方式联系起来。例如，配极原则涉及到点与直线之间的相互对应关系，这种对应关系类似于函数中自变量与因变量的映射，有助于学生构建起更加严谨的几何逻辑思维。 它也可以将高中所学的一些分散的几何知识进行整合。比如，在证明几何共线、共点问题时，利用极点极线的相关性质，可以提供一种新的证明思路，使学生在面对复杂几何问题时能够有更多的方法可供选择。
二、解题能力提升方面
解决圆锥曲线难题
在高考及各类竞赛中，圆锥曲线的题目常常具有较高的难度。极点极线知识可以作为一种有效的解题工具。例如，对于一些涉及定点、定值问题的圆锥曲线题目，利用极点极线的性质可以快速地找到解题的突破口。 当题目中出现多个点和直线的复杂几何关系时，通过判断点和直线是否为极点极线关系，可以简化问题的分析过程。例如，已知一点和其极线与圆锥曲线的交点，利用调和点列等性质可以方便地求出相关线段的比例关系，从而解决问题。
学习极点极线可以培养学生的创新思维。在解题过程中，学生可以尝试运用极点极线的概念来转化问题，从不同的角度思考几何关系。这种思维方式的训练有助于学生在面对新颖的数学问题时，能够灵活运用所学知识，创造性地解决问题。 它还可以帮助学生掌握一些高级的解题技巧。例如，通过利用极点极线的几何性质，将几何问题代数化，或者将代数问题几何化，实现两种数学方法的相互转化，从而拓宽解题思路。
三、对未来学习的铺垫方面
为高等数学学习打基础
如果学生未来要学习高等数学中的射影几何、微分几何等课程，极点极线是一个重要的基础概念。射影几何是研究图形在射影变换下不变性质的几何分支，极点极线的概念在射影几何中有广泛的应用，如在研究交比不变性等性质时，极点极线的相关知识是必不可少的。 在微分几何中，对于曲线和曲面的研究也会涉及到一些类似的几何关系概念。高中阶段对极点极线的学习可以让学生在进入高等数学学习时，更容易理解这些抽象的几何概念。
接触极点极线这样的高级几何概念可以拓宽学生的数学视野。让学生了解到数学领域还有很多深邃而有趣的知识等待他们去探索，激发学生对数学学科的兴趣。这种兴趣的培养对于学生选择未来的专业方向，如数学、物理、计算机图形学等，都有着积极的推动作用。
不过，极点极线知识相对较难，在高中教学中可以作为拓展性内容，让有兴趣、学有余力的学生进行学习，以更好地发挥其在数学学习中的优势。
更多内容可以看《极点极线本质论》与《圆锥曲线专题书》：
也可以来跟着我们陪跑课一起学习：
