浅议AI时代的数学建模
陈叔平
前不久，美国加州大学伯克利分校电气电子计算机工程系教授杰拉尼·纳尔逊在mathmatters.ai网站上发起如下一项名为“AI时代，强有力的数学非常重要”的签名活动， 向目前倾向于简单数学教育的观念发出警告，强调了强有力的数学教育在AI时代的重要性。原文见文献［1］。
这个活动立刻得到了Open AI CEO萨姆·奥特曼、特斯拉公司CEO伊隆·马斯克、谷歌首席科学家杰夫·迪安和NVIDIA首席科学家比尔·达利等一众大佬们的支持，影响力范围在不断扩大。
纳尔逊教授表示“为了未来,必须接受构建和分发AI技术所需的知识的教育”，代数、微积分、概率等数学都是AI创新的核心与基础，为了参与人工智能技术开发，学生需要强有力的数学基础”，三角函数和毕达哥拉斯定理并没有‘过时’，包括傅里叶变换和最小二乘算法在内的数学是数据科学的重要基础。在高中学习和掌握这些数学，将为以后在机器学习、数据科学或STEM专业化研究打下非常重要的基础。”一般来说，我们更愿意雇用那些掌握数学核心基础知识的学生。
纳尔逊教授警告说“如果在公共教育中不能维持更为严格的数学课程标准，那么扩大STEM领域的多样性的努力就会受到严重的影响”。
这些观点其实早就为有识之士提及。例如，华罗庚先生早在1959年就写过“大哉，数学之为用”的文章［2］。美国数学家Edward E. David, Jr. 1984年在《Notices of AMS》上的一篇文章［3］中写道：the "high technology" that is so celebrated today is essentially mathematical technology。美国国家研究委员会1989年的一份报告［4］里引用MIT Sloan管理学院Lester Thurow教授的话：“How can students compete in a mathematical society when they leave school knowing so little mathematics?”这样的例子不胜枚举。
在很长时间里，因为 “时机” 未到，“条件”尚不够成熟，这些富有远见的洞察和箴言并未为大多数人所真正理解，因而缺乏有效的措施和行动，更多地是被一些人拿来作宣传甚至成为“圈地”争资源的论据，而大众对数学的认知仍停留在“过去”，存在许多误解和偏见。随着AI的兴起和诸多应用的实现，对数学的关注和重视遂成为了一个广泛的热点，网络和各种媒体以及各种活动上关于“什么是数学”、“怎样学数学”和“怎样教数学”等讨论更是热闹非凡，数学测试正成为选拔和评价学生的越来越重要的标准。
从某个角度讲，AI的实质是让机器能够（像人一样）学习，核心是算法，基础是模型，数学因而有了其不可替代的价值。因此，讨论AI时代的数学教学，关注点不能脱离“学习能力”的提升；让更多的人学懂会用数学，不能够脱离数学建模，否则容易走偏。时代的发展使其成为决定未来竞争力所绝对必须的工作，而数学的特点决定了这不是一件容易得出简单结论的事，因此需要大家从不同的视角来共同探讨。
与这个话题有关，2021年美国数学会的刊物“Notices of the AMS”刊载了鄂维南院士题为The Dawning of A New Era in Applied Mathematics 的一篇演讲（译文“应用数学新时代的到来”［5］）。作者通过自己的学术经历，以“研究范式”为主线，梳理了应用数学的发展过程，并谈了对机器学习的认识。作者以其丰富的经历、出色的研究、广泛的阅读和深入的思考，提出了富有启发的见解，文章值得我们一读。
鄂维南院士在文中写道：
自从Newton(牛顿)时代以来，做科学研究存在着两种不同的范式：Kepler(开普勒)范式(paradigm)和Newton范式. 在Kepler范式或称为数据驱动的(data driven)方法中，人们通过对数据的分析提炼科学发现。经典的例子是行星运动的Kepler定律。生物信息提供了一个在当今时代引人注目的Kepler范式之成功的例证。在Newton范式或称为基于第一性原理的(first-principle-based)方法中，目标是要发现支配我们周围的世界或我们所感兴趣的事物的基本原理。最好的例子是理论物理，通过Newton，Maxwell(麦克斯韦)， Boltzmann(玻尔兹曼)，Einstein(爱因斯坦)，Heisenberg(海森伯)和Schrödinger(薛定谔)的工作。它现在仍然是一些最聪明大脑的一个重要用武之地。 |
数据驱动的方法随着统计方法和机器学习的发展已经成为一种强大的工具. 它在发现事实方面是非常有效的，但是对于帮助我们找到事实背后的原因就没有那么有效了。 |
基于第一性原理的方法瞄准的是在非常基本的层面上的理解。物理学，尤其是由对这种第一性原理的追求所驱动的. 1929年量子力学的建立是一个拐点: 如同Dirac(狄拉克)宣称的那样，有了量子力学，对于大多数工程和特殊尺度物理学除外的自然科学，我们手上就已经有了必要的第一性原理。 |
鄂维南院士提到的科学研究“范式”可以被理解为方法和路径的“抽象”。在数学建模中，也存在以上两种“范式”，就是我们常说的“机理建模”和 “数据建模”，两者的“混合”则衍生出诸多建模方法。至于第一性原理的概念，最早由古希腊哲学家亚里士多德提出［6］，他认为每个系统中都存在一个最基本的命题，它不能被违背或删除。目前普遍被采用的“第一性原理”大多属于自然科学，对社会科学，尤其是对人的学习，能够指导实践的、明确的“第一性原理”还很缺乏，需要发现和归纳总结，尽管这非常不容易。
今天，AI涉及的领域已经大大超出传统的科研和工程技术，扩展到社会的方方面面，大展身手。“新质生产力”概念的提出就是明确的信号和标志之一。我国制造业产业链的完整已被公认，技术上与国际先进水平的差距也在快速地不断缩小。相比之下，制约发展的其他短板开始突显。世界银行4月1日发布了最新经济预测报告［7］，其中提到改善人力资本势在必行，包括三个方面。
首先是奠定基本技能的基础，在此基础上建立更高级的技能。教师的知识内容和教学方法已被确定为关键问题。据估计，投资于教师培训所带来的终生收入折现收益是成本的十倍。
其次，个人必须具备使用新技术的技能以及创新能力。这需要重视对高等教育的投资，以培养工人的高级认知、技术和社会情感技能。为了弥补这些差距，学生需要尽早接触从工厂车间到研发部门的一系列任务。需要加强研究机构和企业之间的联系，包括通过激励研究机构与产业界的合作。
第三，提高现有管理人员的能力。管理质量的差异是造成各国生产率差异的重要因素。最近的研究表明，管理质量是可以提高的。例如，在哥伦比亚提供管理咨询的公司改善了管理实践并增加了就业。密集且昂贵的一对一咨询和小规模企业咨询都带来了类似幅度的管理实践（8~10个百分点）以及公司销售额、利润和劳动生产率的改进。这种有针对性的支持与促进竞争相结合尤其有效，从而激励管理者提升技能。
这些评价和意见对于目前中国经济转型是有启发的。我们可以这样理解，计算机、信息技术的快速进步和网络的普及， 催生了以大数据、人工智能为代表的大量“新事物”，极大地改变了人们的生活方式、工作方式和社会结构，也影响到了科学研究和技术创新的范式。经济发展、社会转型和产业升级，使得各行各业面临的新问题越来越多也越来越复杂，参与的人群越来越大，可用的工具越来越多，对高素质人才的需求愈发强烈也愈发迫切，高水平的管理和高素质的员工对经济社会发展的重要性已经不亚于工程技术创新。
与过去相比，高等教育已经从精英教育转变为大众教育，大学生数量不断增多，新形势下，择业和就业需要掌握的知识和技能呈现出非常不同的新特点。一般而言，与应用数学不同，数学建模最突出的特点是它要解决具体的实际问题，而不是证明抽象的定理。因此，在AI时代，数学建模面临巨大的机会和新挑战，需要开阔视野，解放思想，努力探索创新。
鄂维南院士在文中提出了几个超越专业的话题：
·应用数学的主要组成部分是什么?应用数学能否像纯数学那样，成为一个只有少数几个主要组成部分的统一学科?
·我们能否有一个合理的、统一的课程来培养应用数学家?
具体到数学建模，我们则需要更多地思考：
·数学建模、数学应用和应用数学有什么不同和相互联系？
·数学建模到底需要哪些数学？在需要学习的东西越来越多而时间有限的情况下，大学数学的教和学能否变革、 创新？如何变革、创新？
为了适应AI时代，人类需要更强的学习能力，因此也有必要思考一下关于学习的“第一性原理”。
2019年图灵奖得主、机器学习三巨头之一LeCun关于“大语言模型”（ChatGPT）的一段话［8］可以被看作某种 “第一性原理”:
-language carries a small portion of all human knowledge; -much of human knowledge & all of animal knowledge is non verbal (& nonsymbolic); -hence large language models cannot come close to human-level intelligence。
其他还有一些认识， 虽然谈不上是"第一性原理"， 但也是应当重视和思考的， 如：
1)人的大脑结构、思维模式是有差异的，因而认知过程也是不尽相同的；
2)没有内在动力是难以坚持的，尤其是学数学；
3)绝大多数知识不经过实践是难以学懂、难以真正掌握的；
4)学做任何事情都是先“学会”再“做好”，不可能 “跳过”。
时代的变化不可阻挡，不以人的意志为转移。面对未来，谁也不是“先知先觉”；面对新事物，谁也不能自称权威。数学建模的组织者和指导教师，需要引导学生但自己却有许多困惑，需要承担命题和评阅的责任而自己并没有完全把握。唯一可能有的“长处”是起步早一些，经验多一些， 学习能力稍微强一些。因此唯一的办法就是始终把学生和国家的未来放在心上，不断虚心学习、实践，提升自己，跟上时代。本文的思考或许对数学建模和数学教学有所裨益，希望能引起更多的讨论和 “争鸣”。
参考文献
［1］Nelson J. Strong math foundations are important for AI［Z/OL］. 2024-04-22］. https://www.mathmatters.ai.
［2］华罗庚. 大哉数学之为用［N］. 人民日报. 1959-5-28(7).
［3］David E E. Toward Renewing a Threatened Resource: Findings and Recommendations of the Ad Hoc Committee on Resources for the Mathematicel Sciences［J］. Notices of the Americal Mathematical Society, 1984, 31: 141-145.
［4］National Research Council, Board on Mathematical Sciences, Their Applications, et al. Everybody counts: A report to the nation on the future of mathematics education［M］. Washington D.C.: National Academies Press, 1989.
［5］鄂维南. 应用数学新时代的到来［J］. 数学译林, 2021, 40(4): 341-348.
［7］World Bank. World Bank East Asia and Pacific Economic Update, April 2024: Firm Foundations of Growth［R］. Washington D. C.: World Bank. doi: 10.1596/978-1-4648-2102-8.
作者简介
陈叔平，男，教授，博士生导师，研究领域涉及控制科学、数学金融学和应用数学。曾任全国大学生数学建模竞赛组织委员会主任兼专家组组长，现担任中国工业与应用数学学会（CSIAM）顾问、《数学建模及其应用》主编。
注：原文刊发于《数学建模及其应用》杂志2024年第2期。
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