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第一天

课程目标：初步了解神经网络，并能够使用Pytorch框架从头实现数据驱动的神经网络训练。

理论+实操内容(上午)

神经网络概述

介绍神经网络是什么，常见的神经网络的类型（前馈神经网络、卷积神经网络、循环神经网络等）。

神经网络应用

讲述神经网络作为一种强大的机器学习技术，在各个领域的广泛应用(图像识别、自然语言处理、金融科技、推荐系统、环境科学等)。

神经网络的构建模块

讲述神经网络的基本构建模块，包括神经元、层、激活函数等核心组成部分。

基础环境搭建

指导学员如何搭建深度学习开发环境，包括使用Conda创建Python虚拟环境、PyTorch等必要的工具和库的安装。

计算及Pytorch框架

讲述数据如何利用Numpy从文件读取存储，到数据类型、矩阵变换和tensor的常用计算。

理论+实操内容(下午) 

数据驱动材料Voigt体模量预测

讲解从头实现神经网络数据驱动回归Voigt体模量（数据处理，神经网络搭建，定义损失函数，模型训练及评估）。

数据驱动材料表面缺陷识别

讲解卷积神经网络实现数据驱动识别材料表面缺陷类别（数据处理，神经网络搭建，定义损失函数，模型训练及评估）。

第二天

课程目标：初步认识物理信息神经网络，能区分正问题、逆问题等概念，并初步掌握物理信息神经网络。

理论+项目实操(上午)

PINN内容概述

介绍物理信息神经网络（PINN）基本概念，以及作为神经网络新兴方法分支的独特之处。

PINN应用领域

重点介绍PINN几个具体应用领域，例如，材料载荷、裂纹扩展、热流动力学、流体力学等(主要围绕课程内容介绍即可)。

PINN方法原理 

重点讲解PINN解偏微分方程的方法原理，包括正问题和逆问题的具体概念和解决方法。

阻尼振荡器振子位移动态估计

讲解阻尼振荡器的背景知识（如阻尼振动的基本方程等）、建立物理模型并使用物理信息神经网络优化求解动态位移。

参数反演摩擦系数识别

讲解如何通过物理信息神经网络在观测数据存在噪声的情况下识别出阻尼振动方程中的摩擦系数 𝜇。

理论+项目实操(下午) 

线性弹性方形域周期性载荷

讲解利用物理信息神经网络解决方形域内周期性载荷作用下材料的线性弹性力学行为问题。

Physics-Informed Deep Learning and its Application in Computational Solid and Fluid Mechanics

线性单向扩散解析动力学

讲解物理信息神经网络求解分子扩散等过程中描述物质在一维空间内随时间扩散的经典偏微分方程。

Application of neural networks to improve the modelling of cleaning processes

多尺度各向同性扩散场

讲解利用物理信息神经网络高效地模拟工程应用中非常普遍的二维空间中的物质扩散问题。

Application of neural networks to improve the modelling of cleaning processes

第三天

课程目标：基本掌握物理信息神经网络能够从头思考并构建常见的多约束损失函数，掌握物理信息神经网络在热传中的应用。

理论+项目实操(上午) 

再见PINN之多约束损失架构

讲解在解决具有复杂约束的工程问题时如何构建一个能够同时满足真实数据条件、初值条件、偏微分方程结构以及边界条件的多约束损失函数。

对称破裂波动力学

讲述如何通过空间域扩展技术和加权损失函数解决冲击管案例中的由于初始条件不连续引起的物理信息神经网络数值振荡问题。

Physics-Informed Deep Learning and its Application in Computational Solid and Fluid Mechanics

逆向压力波演化探究

讲解空间域扩展技术和加权损失函数在逆冲击管问题中为不连续点提供平滑的过渡的案例。

Physics-Informed Deep Learning and its Application in Computational Solid and Fluid Mechanics

理论+项目实操(下午)

线性热传导解析

讲解如何利用物理信息神经网络给热传导方程提供高效、连续的解决方案。

Deep Learning for Approximating Solutions to Partial Differential Equations

多维空间热流动力学

探讨如何使用物理信息神经网络解决二维空间中的热扩散问题描述了热量在物体内部的传递。

Deep Learning for Approximating Solutions to Partial Differential Equations

时空耦合动态热扩散过程

介绍物理信息神经网络解决具有时间依赖性的二维空间热扩散问题，描述热量在物体内部随时间和空间分布的演变。

Deep Learning for Approximating Solutions to Partial Differential Equations

第四天

课程目标：打破物理信息神经网络“求解偏微分方程”思维定视，掌握屈曲荷载问题的解决方案。

理论+项目实操(上午) 

风轮轴承载荷疲劳行为智能诊断

讲解构建基于递归神经网络的PINN模型，通过模拟 SN曲线来预测风力发电机轴承在循环载荷下的累积损伤。

Estimating model inadequacy in ordinary differential equations with physics-informed neural networks

机翼裂纹扩展智能演化与分析

讲授如何基于物理信息递归神经网络应用Paris定律，来模拟和预测实际工程问题中材料在反复载荷作用下的裂纹扩展和演化情况。

Estimating model inadequacy in ordinary differential equations with physics-informed neural networks

理论+项目实操(下午) 

非线性载荷下的弹性板响应

讲解如何应用物理信息神经网络解决实际工程中受到不均匀拉伸力时经典板壳理论问题。

A physics-guided neural network framework for elastic plates Comparison of governing equations-based and energy-based approaches

几何缺陷诱导的应力集中效应

讲解如何使用物理信息神经网络来模拟材料力学中常见的设计承受载荷结构时开孔导致的应力集中现象。

A physics-guided neural network framework for elastic plates Comparison of governing equations-based and energy-based approaches

板结构屈曲与后屈曲行为

讲解物理信息神经网络处理外压力作用下的挠度载荷时涉及平面内和平面外变形的复杂多维结构问题。

A physics-guided neural network framework for elastic plates Comparison of governing equations-based and energy-based approaches

临界屈曲载荷稳定性分析

讲解物理信息神经网络在偏微分方程损失不适用时处理平面内压缩下的屈曲荷载问题的解决方案。

A physics-guided neural network framework for elastic plates Comparison of governing equations-based and energy-based approaches

第五天

课程目标：学会应用物理信息神经网络解决振动问题，开阔视野利用物理信息神经网络结合迁移学习从低保真数据获取高保真解并加速网络收敛。

理论+项目实操(上午) 

含时纵向振动波动力学与结构响应

讲解物理信息神经网络解决固体力学中两端固定梁初始时刻施加正弦纵向振动的典型波动问题。

APPLIED MATHEMATICS AND MECHANICS (ENGLISH EDITION)

纵向振动参数动态反演与位移场重构

讲解物理信息神经网络通过梁纵向振动的动态响应反推关键参数。

APPLIED MATHEMATICS AND MECHANICS (ENGLISH EDITION)

含时横向振动特性及欧拉-伯努利梁动态行为

讲解物理信息神经网络求解涉及空间和时间导数的经典的结构动力学横向振动欧拉-伯努利梁方程。

APPLIED MATHEMATICS AND MECHANICS (ENGLISH EDITION)

横向振动响应序列预测与系统参数估计

讲解物理信息神经网络如何解决横向振动逆问题，从已知的结构响应数据中识别出材料的关键力学参数。

APPLIED MATHEMATICS AND MECHANICS (ENGLISH EDITION)

理论+项目实操(下午) 

顶盖驱动空腔问题

讲解物理信息神经网络在求解顶盖驱动空腔二维稳态Navier-Stokes方程时通过迁移学习提高准确性并加速收敛。

Predicting high-fidelity multiphysics data from low-fidelity fluid flow and transport solvers using physics-informed neural networks

鳍片热流体耦合效应

讲解物理信息神经网络应用迁移学习技巧解决涉及流体动力学与热传递的耦合问题。

Predicting high-fidelity multiphysics data from low-fidelity fluid flow and transport solvers using physics-informed neural networks

异质旋转介质中的流体路径优化

讲解利用物理信息神经网络模拟非均质性情况旋转效应会导致由科里奥利力引起的二次流现象。

Predicting high-fidelity multiphysics data from low-fidelity fluid flow and transport solvers using physics-informed neural networks

旋转多孔介质中的对流热传递高级仿真

讲解如何使用物理信息神经网络实现涉及到流体力学、热传递以及多孔介质物理的复杂耦合问题的高级仿真。

Predicting high-fidelity multiphysics data from low-fidelity fluid flow and transport solvers using physics-informed neural networks

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Day1 机器学习在结构仿真中的应用概述

1. 机器学习基础

    1. 机器学习的定义、分类和发展历程。

    2. 机器学习的基本概念，如数据、模型、训练、预测等。

    3 .常见的机器学习算法，如神经网络、决策树、支持向量机等。

2. 机器学习在结构仿真中的应用概述

    1. 机器学习在结构仿真中的应用背景和意义。

    2. 应用领域介绍，包括结构设计优化、结构健康监测、材料性能预测等。

    3. 机器学习在结构仿真中应用的挑战和解决方案。

3. 机器学习在结构设计优化中的应用

    1. 基于机器学习的拓扑优化方法。

    2. 机器学习在尺寸优化和形状优化中的应用。

    3. 案例分析：展示机器学习在结构设计优化中的实际应用。

4. 机器学习在材料性能预测中的应用

    1. 材料性能预测的重要性和挑战。

    2. 机器学习在材料本构模型建立中的应用。

    3. 机器学习在材料微观结构与性能关系研究中的应用。

    4. 案例分析：通过具体材料性能预测的例子，说明机器学习的应用效果。

5. 深度学习在结构仿真中的应用

  1. 深度学习的基本概念和常见架构，如卷积神经网络、循环神经网络等。

  2. 深度学习在结构仿真中的具体应用，如结构响应预测、复杂物理现象模拟等。

  3. 案例分析：介绍深度学习在结构仿真中的成功应用案例。

6.课程总结与展望

   1. 总结机器学习在结构仿真中的应用现状和发展趋势。

  2. 讨论机器学习在结构仿真中应用的未来方向和潜在挑战。

  3. 对学生的学习成果进行总结和评价。

Day2 NN-EUCLID: 无应力数据的深度学习超弹性材料本构建模 ( 文献讲解与案例实操)

培训背景：

传统基于数据驱动的材料本构模型依赖大量的应力 - 应变数据，且大多基于监督学习，忽略了物理规律，导致模型的泛化性和可解释性有限。本文提出了一种基于无监督学习的神经网络（NN - EUCLID），仅使用位移、应变和外部作用力等易于测量的数据进行训练，能够在不知道应力的情况下学习超弹性材料的本构行为。

培训内容：

1. 框架结构：提出了基于平衡卷积神经网络（ECNN）的本构建模框架，包括用于生成多轴应力 - 应变曲线数据集的 XFEM 模型、描述系统的图网络表示、计算最近邻集的公式以及空间消息传递过程。

2.  数据集生成：使用 XFEM 模型生成二维断裂力学模拟的数据集，包括不同数量微裂纹（5 至 19 条）的随机位置和取向的模拟，共 960 次模拟，其中 90% 用于训练集，10% 用于验证集。

3. GNN 结构：包括四个 GNN- GNN 和 - GNN 分别预测 Mode - I 和 Mode - II 应力强度因子，Class - GNN 预测微裂纹的传播与非传播，CProp - GNN 预测裂纹尖端的未来位置。

5. 训练和验证：对 GNN 进行交叉验证，调整学习率、消息传递步骤和影响半径等参数，以优化模型性能。

6. 预测能力：NN - EUCLID 能够准确预测局部应力、微裂纹传播、合并以及相应的应力分布，对不同初始微裂纹数量（5 至 19 条）的情况都有较好的预测能力。

7. 误差分析：在预测微裂纹长度增长、最终裂纹路径和有效应力强度因子方面，NN - EUCLID 的误差较小，且明显优于其他基线模型。

8. 计算效率：与 XFEM 相比，NN - EUCLID 在计算速度上有显著优势，可达到 6 - 25 倍的加速。

通过本天培训可以掌握：

1. 掌握超弹性本构模型的基本概念，包括应变能密度、第一 Piola - Kirchhoff 应力和切线模量的定义及推导。

2. 理解物理和热力学约束在超弹性本构模型中的重要性，如材料的客观性、稳定性和无应力参考构型等。

3. 学习输入凸神经网络（ICNN）的结构和原理，以及它在保证材料稳定性和凸性方面的作用。

4. 了解无监督深度学习超弹性本构定律的方法，包括如何从点数据近似位移场、构建基于 ICNN 的本构模型以及进行无监督学习。

5. 学习如何生成用于训练的合成数据，包括模拟实验、添加噪声和数据处理的方法。

6. 通过数值基准实验，学习如何评估 ICNN 基构模型的准确性、泛化能力和在有限元模拟中的部署效果。

Day3：基于平衡的卷积神经网络用于超弹性材料本构建模（文献讲解与案例实操）

培训背景和目的：

1. 传统基于数据驱动的材料本构模型依赖大量的应力 - 应变曲线数据进行训练和验证，但获取这些数据通常很困难，因为应力难以直接测量，且大多数方法基于监督学习，忽略了物理规律，导致模型的泛化性和可解释性有限。

2. 近年来，人工神经网络（ANNs）在力学问题中有广泛应用，卷积神经网络（CNNs）在图像识别和力学领域也有应用。一些研究使用 ANNs 建立材料的应力 - 应变本构关系，但存在泛化性和可解释性的问题。此外，在机器学习的本构模型中，需要大量的多轴应力 - 应变曲线数据，但实验获取这些数据成本高昂，数值测试也有局限性。

培训内容：

1. 提出 ECNN 框架：用于超弹性材料的本构建模，包括生成多轴应力 - 应变曲线数据集的方案和通过训练神经网络来识别本构模型的方法。该框架仅使用易于测量的位移、应变和外部作用力作为输入数据，将难以测量的应力视为内部变量，并将平衡方程作为约束嵌入到 ECNN 的架构中，使 ECNN 能够从非均匀变形的单个试样中生成大量训练数据，并通过训练得到应力与应变的关系，从而作为本构模型使用。

2. 构建 ECNN 结构：平衡约束和损失函数，内部变量应满足平衡方程，通过输出节点力并基于平衡条件和损失函数的最小化来确定层的权重，从而使内部变量具有应力分量的物理意义。损失函数由两部分组成，分别表示内部节点力的平衡和位移边界上外部力的平衡。

3. 数据生成：使用二维有限元（FE）模型对双轴加载的带中心孔的正方形板进行模拟，生成应变场数据，模拟采用多项式形式的应变能势，通过 ABAQUS 软件进行有限元模拟，仅使用节点位移（或等效应变）和外部作用力来训练 ECNN，FEM 计算的应力用于评估 ECNN 的预测结果。

4. 训练 ECNN：应力作为满足平衡方程约束的内部变量，训练基于应变和外部作用力进行，ECNN 是无监督的，不需要将数据分为训练集和验证集。通过研究映射和分组卷积参数对训练误差的影响，确定合适的参数组合，并进行多次重复训练以消除随机初始化的影响。

5. 验证 ECNN：通过替换圆形孔为倾斜椭圆形孔，验证 ECNN 对不同结构的应力预测能力；通过模拟单元素的三种基本变形（单轴加载、等双轴加载和简单剪切），验证 ECNN 的泛化能力；通过使用替代的 Mooney - Rivlin 材料，验证 ECNN 对特定超弹性材料的不局限性。

6. 噪声鲁棒性测试：向训练数据中添加满足正态分布的不同水平的人工噪声，以测试 ECNN 对噪声的鲁棒性。

7. 实验验证：制造两个超弹性软橡胶材料的试样，进行位移控制的单轴压缩试验，通过数字图像相关（DIC）方法获取变形信息，并将其用于 ECNN，验证 ECNN 在实际实验中的可靠性。 

通过本天培训可以掌握：

1. 了解机器学习在材料本构模型中的应用现状，包括数据驱动计算方法、知识信息算法等。

2. 认识到人工神经网络（ANNs）在非线性拟合和预测方面的强大能力，以及卷积神经网络（CNNs）在图像识别和力学领域的应用。

3. 明确传统机器学习本构模型中数据获取的困难，以及现有模型在泛化和可解释性方面的问题。

4. 掌握基于平衡的卷积神经网络（ECNN）的基本框架，用于超弹性材料的本构建模。

5. 理解 ECNN 中应变和外力作为输入，应力作为内部变量的处理方式，以及平衡方程作为约束的嵌入方式。

6. 学习 ECNN 的结构，包括卷积神经网络部分和全连接层，以及组卷积的作用。

Day4脆性材料裂纹合并和扩展的图神经网络（文献讲解与案例实操）

培训背景：

1. 预测工程材料中裂纹的起始、传播、合并和最终材料失效对于评估材料性能至关重要，但高保真模拟技术成本高昂且计算资源密集，尤其是在模拟多个微裂纹相互作用时。

2. 减少阶建模技术为解决这一问题提供了一种有前途的方法，机器学习（ML）技术可用于开发此类模型，但预测具有不同初始微裂纹数量的动态裂纹传播和应力演化的相关研究尚未充分开展。

培训内容：

1. XFEM 模型：使用开源的 XFEM 模型来生成训练和验证数据集，该模型能够模拟脆性材料中多个裂纹的任意取向传播，并能应用各种裂纹生长准则。

2. 图网络表示：将系统描述为⟨V, E⟩，其中 V 表示所有裂纹尖端的顶点，E 表示图中的所有边。定义了裂纹尖端顶点在先前时间步的表示、边的表示以及最近邻集的计算方法。通过空间消息传递过程来学习顶点、边和最近邻之间的潜在空间关系。

3. Microcrack - GNN 框架：由四个 GNN 组成，分别为 - GNN、 - GNN、Class - GNN 和 CProp - GNN。- GNN 和 - GNN 分别预测 Mode - I 和 Mode - II 应力强度因子，Class - GNN 预测微裂纹的传播与非传播，CProp - GNN 预测裂纹尖端的未来位置。

4. 训练和验证：进行交叉验证，调整学习率、消息传递步骤和影响半径等参数，以优化模型性能。通过与 XFEM 模拟结果对比，评估 Microcrack - GNN 预测微裂纹传播、合并、微裂纹长度增长、最终裂纹路径、有效应力强度因子的能力，并与两个基线网络进行性能比较。

1. 理论方法：

• XFEM - based model：介绍用于生成数据集的 XFEM 模型，包括其功能、适用范围及计算应力强度因子的方法。

• Graph network representation：描述 GNN 模型中系统的图网络表示，包括顶点、边的定义，最近邻集的生成以及空间消息传递过程。

• Simulations set - up：说明训练集、验证集和测试集的生成过程，包括问题设定、材料参数、加载条件等，以及处理不同数量微裂纹的方法。

2. Microcrack - GNN 框架：

• K₁ - GNN：用于预测 Mode - I 应力强度因子，介绍其输入图表示、计算方法以及如何根据预测结果计算 LEFM 应力分布。

• K₁₁ - GNN：与 K₁ - GNN 类似，用于预测 Mode - II 应力强度因子。

• Classifier - GNN：根据预测的 Mode - I 和 Mode - II 应力强度因子，预测裂纹尖端的传播或非传播状态。

• Propagator - GNN：预测所有裂纹尖端的未来位置，结合了前三个 GNN 的预测结果和初始信息。

3. 交叉验证：对 GNN 的学习率、消息传递步骤和影响半径进行交叉验证，以优化模型性能。

• 预测微裂纹传播和合并：Microcrack - GNN 能够准确预测不同数量微裂纹（5 - 19 条）情况下的裂纹传播和合并，与 XFEM 模拟结果接近。

• 微裂纹长度增长：在预测微裂纹长度增长方面，与 XFEM 相比，Microcrack - GNN 的误差较小，但可能会预测出稍快的裂纹生长速度。

•最终裂纹路径误差：Microcrack - GNN 预测的最终裂纹路径误差较低，具有较高的准确性。

• 有效应力强度因子误差：预测应力强度因子的误差与初始裂纹的取向和位置有关，而与裂纹数量的复杂性关系较小。

通过本天培训可以掌握

1. 了解计算断裂力学在预测材料裂纹行为方面的重要性，以及高保真建模技术的发展和应用。

2. 认识到传统高保真模拟技术在计算资源和时间方面的局限性，以及机器学习方法在解决这些问题上的潜力。

3. 学习图神经网络（GNN）在模拟流体、可变形材料和多晶材料等方面的应用进展。

4. 掌握基于扩展有限元法（XFEM）的断裂力学模型，包括其模拟多裂纹扩展和聚结的能力，以及计算应力强度因子的方法。

5. 理解 GNN 的基本概念，包括图的表示（顶点和边）、最近邻集的确定以及空间消息传递过程。

6. 学习 Microcrack - GNN 框架中各个 GNN 的实现细节， Class - GNN 预测传播和非传播微裂纹的方法，以及 CProp - GNN 预测未来裂纹尖端位置的方法。

Day5金属合金多尺度损伤建模的约束递归神经网络（文献讲解与案例实操）

培训背景：

1. 异质材料在许多工程应用中越来越多地被使用，对其行为的分析通常依赖于多尺度模拟，如 FE2 方法，但这种模拟成本高昂且内存密集，尤其是在模拟损伤和断裂时。

2. 减少阶建模技术（ROMs）可加速计算塑性和损伤力学，但运行时间仍较高，且缺乏数据可转移性。

3. 机器学习为构建可转移且快速的材料模型提供了可行途径，RNN 被用于学习弹塑性变形的路径依赖本构律，但现有 RNN 替代品大多是黑箱或纯数据驱动模型，准确性依赖于大量训练数据集。

培训内容：

1. 提出物理约束的数据驱动替代模型：

    基于损伤力学推导了两个约束，并将其集成到 RNN 中，以减少数据依赖并提高预测精度。具体包括探索变形空间、收集响应和物理信息、构建 RNN 等三个模块。

2.  基于均质化的多尺度建模：介绍一阶均质化计算的假设和平衡方程，以及宏观和微观尺度的应力和应变表示。

3.  连续介质损伤建模：简述了连续介质损伤建模的基本概念和方法。

4.  讨论本构混合积分方案：讨论了一种用于解决软化引起的数值不稳定性的混合积分方案。

5.  构建 Vanilla 数据驱动替代模型：介绍 RNN 的工作原理，包括 FFNN 和 GRU 等结构，以及训练 RNN 的数据生成过程和损失函数。

6.  构建物理约束的替代模型：提出基于热力学的软约束和损伤参数的硬约束，改进 RNN 的架构和损失函数，以提高模型的准确性和泛化能力。

7. Teacher Forcing：介绍了 Teacher Forcing 技术，即在训练时将前一步的输出或真实值反馈到当前步的输入中，但在多尺度模拟中效果不佳。

8.  与多尺度求解器集成：阐述了将训练好的 RNN 集成到多尺度模拟中的方法，包括修改输入序列和隐式重置 RNN 的隐藏变量等。

数值实验：

1. 替代微观尺度损伤建模：使用提出的替代模型加速金属合金的损伤分析，包括数据库生成、物理约束的影响以及 Teacher Forcing 的影响等实验。

2. 替代多尺度损伤建模：将 RNN 作为多尺度模拟中昂贵的微观结构分析的忠实替代，比较 Von - Mises 应力分布、损伤变量分布等。

3. 多尺度损伤替代的网格独立性研究：通过改变网格大小评估 RNN 模型在预测损伤行为时的鲁棒性，避免断裂带局限于单元素宽层。

通过本天培训可以掌握

1. 了解多尺度模拟在分析异质材料行为中的重要性，以及 FE2 方法在模拟分层材料时的局限性，包括计算成本高和内存需求大等问题。

2. 认识到断裂力学在研究材料损伤和断裂中的作用，以及离散和连续两种模拟断裂的方法。

3. 学习到 mechanistic reduced - order models（ROMs）在加速计算塑性和损伤力学方面的作用，以及其在减少未知变量和平衡准确性与效率方面的优势。

4. 了解到神经网络（NNs）在构建数据驱动的材料模型中的应用，以及循环神经网络（RNNs）在学习弹塑性变形的路径依赖本构定律方面的作用。

5. 理解 RNN 中两个物理约束的推导和实现，即基于热力学一致性的软约束和基于损伤参数不可逆性的硬约束，以及它们在 RNN 中的作用。

6. 学习教师强制（teacher forcing）技术在 RNN 训练中的作用，以及它在单尺度和多尺度模拟中的不同影响。

7. 了解 RNN 与多尺度求解器的集成方法，以及如何通过修改输入序列和隐式重置 RNN 的隐藏变量来实现集成。

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