2020年希望联盟第三次考试的第三个题目为：
1、已知：锐角△ABC中，以BC为直径的圆M交线段AB、AC于Q、P，
T为圆M上一点，过T作圆M的切线交AB、AC于E、F。
求证：以EF为直径的圆与△APQ的外接圆相切。
思路分析：
本题初看还是很"恐怖"的，两圆相切一般不易证明。
不过如果熟悉前面说到的证明两圆相切基本套路，先试试看再说吧，
两圆相切问题公切点一定很重要，设为J,
对于点J已经有两个圆过它了，根据经验，很有可能还有其他的圆也过J，因此J往往和密克点有关。
即J可能和图中的某些点共圆，
通过一段时间的尝试和探索，可以发现ETJQ共圆，对称的有FPJT共圆。
即J为QPT对△ABC的密克点。则AQJP共圆，这基本就差不多了。
下面只要说明此密克点J在以EF为直径的圆上，
这应该可以通过倒角完成，
∠EJF=∠EJT+∠FJT
=∠EQT+∠FPT=∠EQT+∠CQT=90°。
最后再过J做小圆的切线，
证明其为另一个大圆的切线即可，
这应该也不难通过倒角完成。
具体证明过程如下：
证明：
设EF与以BC为直径的圆的切点为T，圆APQ和圆EQT交于Q,J,
则∠JPF=∠AQJ=∠JTE,
∴PJTF共圆。
∴∠EJF=∠EJT+∠FJT
=∠EQT+∠FPT=∠EQT+∠CQT=90°,
故J在以EF为直径的圆上。
设过J的圆APQ的切线为OJ，
则∠OJF=∠QJE-∠QJO
=∠QTE-∠QPJ=∠QPT-∠QPJ=∠JPT=∠JFT,
∴OJ为以EF为直径的圆的切线。
故以EF为直径的圆和三角形APQ的外接圆相切。
注：本题虽然看起来来者不善，但是只要沉着应战，按照相切的常见套路，设出切点J，寻找含有J的共圆。一旦发现J为密克点，本题基本就能迎刃而解了。
无独有偶，2020韩国数学冬令营第一天的第5题也是一个类似的证明两圆相切的问题。题目为：
2、已知：四边形ABCD中，∠A=2∠C<90°.
过△ABD的内心I作AI的垂线与射线CB，CD
分别交于E，F。设O为△CEF的外心。过E作OE的垂线交OF于点Q，过F作OF的垂线交OE于点P。
求证：以PQ为直径的圆与△BCD的外接圆相切。
(2020韩国数学冬令营1-5)
思路分析：
此题图形比较复杂，大有乱花渐欲迷人眼之势。
似乎不好对付，但我们还是按部就班、按图索骥。
首先根据题意画出准确图形，并尽可能的把已知条件垂直等标上。
然后挖掘图形的基本性质，
∠EOFD=2∠C=∠BAD,
∠BIE=∠BIA-90°=0.5∠BDA=∠BDI等等。
关键还是要从结果入手，
要证两圆相切，切点至关重要，故设切点为X。
下面希望找到过X的其他圆，最好X为密克点。
一番探索发现X为BID对△CEF的密克点。
下面设出X的一个圆的切线，再证明其为另一个圆的切线，
这些都可以通过倒角完成。
具体证明如下：
证明：
设BID对△ECF密克点为X，
则BEXI,DFIX,DXBC共圆。
则∠BIE=∠BIA-90°=0.5∠BDA，
对称的∠DIF=0.5∠DBA，
∠EXF=360°-∠BXD-∠BXE-∠FXD
=180°+∠C-0.5∠BDA-0.5∠DBA
=180°+∠C-0.5(180°-2∠C)
=90°+∠O=180°-∠EPF,
∴XEPF共圆。
设过X的圆BCD切线为XK，
则∠EXK=∠EXB-∠BXK=∠BIE-∠BDX
=∠BDI-∠BDX=∠XDI=∠XFI,
∴XK为圆J切线。
从而以PQ为直径的圆与△BCD的外接圆相切。
注：
不难发现，本题虽然看起来一团乱麻，但是其实和上一题异曲同工，具体证明也是经典的套路。
其实这种套路并不罕见，下面再看一个著名的定理——曼海姆manheim定理，此定理在本公众号前面的文章中(金磊讲几何构型：鸡爪定理专题讲义02，金磊讲几何构型：切割线定理及其应用之三)反复提到过。
也提供了用圆幂及切割线定理的方法证明。
这里给出其逆命题的一个等价叙述，其实在《再说鸡爪定理》说到了，只是没有详细叙述，也没有给出证明，下面利用两圆相切的套路再给出一种证明方法。
3、点A在定圆O外，AJ，AK
为圆O切线，J,K为切点。过圆O上动点D的切线交AJ,AK于B,C。
求证：△ABC外接圆与某个定圆相切。
思路分析：
先猜出相切的圆的圆心和半径，
由对称性知圆心在AO上，
估计此圆还和点O有关，
猜测此圆还和AJ、AK相切，
且切点连线过O。
下面考虑如何证明两圆相切，
切点至关重要，设为G。
估计G还是密克点，
经过尝试发现G为OBC对△AHI
的密克点，不难倒角证明，
最后老一套，过G做一个圆的切线，
证明其是另一个圆的切线即可。
具体证明过程如下：
证明：
过O做HI⊥AO，过H做AB
垂线，交AO于E，不难得到本定理等价于证明ABC外接圆与圆E相切。
设圆BHO交CIO于点G，则∠HBG=∠IOG
=180°-ACG,故ABGC共圆。
又∠HGO=∠HBO=0.5∠B,
同理∠HGI=0.5∠C
故∠HGI=0.5(∠B+∠C)
=90°-0.5∠A=0.5∠HEI
故G在圆E上；
设MG为圆E的切线，
则∠CGM=∠IGM-∠IGC
=∠IHG-∠IGC=
∠OBG-∠IOC=∠OBG-∠OBC=∠CBG=∠CAG
故GM也为ABC外接圆的切线，
即△ABC外接圆与定圆E相切。
本文讲了三个证明两圆相切的题目，难度算是中等偏上一点。但是只要掌握了此类问题的经典讨论，发现切点为密克点，从而得到多圆都经过切点，后面再利用判定方法（3）：过切点做一个圆的切线证明是另一个圆的切线，几乎此类问题都可以按图索骥完成证明。需要说明的是没有什么方法是万能的，不是每个两圆相切的问题中切点必然为密克点，切忌邯郸学步、生搬硬套。
