如右图，六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系：

1）对角相乘乘积为1，即sinθ·cscθ=1；cosθ·secθ=1；tanθ·cotθ=1。

2）六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ...

3）阴影部分的三

六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，


三角函数

单位圆的方程是：对于圆上的任意点（x,y），x²+y²=1。

图像中给出了用弧度度量的一些常见的角:逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sinθ=y/1 和 cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。

对于大于 2π 或小于等于2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度θ和任何整数k。

周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。

在正切函数的图像中，在角kπ 附近变化缓慢，而在接近角 （k+ 1/2）π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = （k+ 1/2）π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 （k+ 1/2）π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 （k+ 1/2）π 的时候函数接近负无穷。


三角函数

另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别 是，对于这个圆的弦AB，这里的 θ 是对向角的一半，sinθ是AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cosθ是水平距离OC，versinθ=1-cosθ是CD。tanθ是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。cotθ是另一个切线段AF。secθ=OE和 cscθ=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE是 exsecθ= secθ-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。

依据单位圆定义，可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。如图所示，圆O是一个单位圆，P是α的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，A（1,0）是圆O与x轴正半轴的交点，过A点做过圆O的切线。

那么向量MP对应的就是α的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线（或反向延长线）与过A点的切线的交点为T，则向量AT对应的就是正切值。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。

角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值，如：



 ；



 ；



 。





变化规律
正弦值在



 随角度增大（减小）而增大（减小），在



 随角度增大（减小）而减小（增大）；



余弦值在



 随角度增大（减小）而增大（减小），在



 随角度增大（减小）而减小（增大）；



正切值在



 随角度增大（减小）而增大（减小）；



余切值在



 随角度增大（减小）而减小（增大）。



注：以上其他情况可类推，参考第五项：几何性质。

除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：

乎乎的小手上，他摇晃着身子，小手在黑白键上随意移动，脚掌在地上一起一落，谁都不知道他在弹些什么。他似乎很陶醉似的紧闭双眼，微抿小嘴，哼唱着一些毫不搭调的曲子，满脸的欢喜。



 他是我的表弟，一个对音乐一窍不通的小男孩，每每坐到我的琴前，都会表现出一副音乐家的姿态，在琴键上尽情挥洒他对于音乐的热爱。



 曾几何时，我也像他一样，秉承着一份热情，投入一项爱好，无法自拔。我会在一张画纸上，倾泻小小的情绪，尽管画工十分浅薄；我会在动听的乐曲里，不由自主地歌唱，尽管嗓音不那么嘹亮；我会用相机，用心记录下沿途所见的风景，尽管技术并不精湛……我想，人生在世，何必在意那些细枝末节，学会在平淡如水的生活中，用双手扬起朵朵浪花，寻找生活的情趣，抓住逝去的光阴里的每一个小空隙。会玩，才好。喜欢约上三两个好友，登上高高的山顶，在天宇下放声歌唱。在山顶上歌唱，脑袋是空空的，心是明朗的。当自己的歌声从那方的山传回时，心是飘飘的，飘出了躯壳，飘到了天上，与浮云做伴，与天宇相栖。唱到漫天繁星，唱到街灯通明，唱

春暖花正开，我们都是一群开始学会浅忆的孩子，总是喜欢自由的穿梭在季节的半度微凉里，行走着，也不断寻找着，那个温暖季节里不老的青春，那个春天中哭过笑过的日子。


 凉凉的风迅速钻进每个刚出教室的人的脖子里，吸走所有温暖之后扬长而去。一个个班级排着不太整齐的队形围着操场跑着，踩着还恋恋不舍离去的风，循环似地跑。在这个沙土满天飞的地方，这个用多少汗水浇灌过依然没有变样的地方，这个满天飞舞着梦想羽毛的地方。我，我们都在进行着一场不允许暂停的旅程。


 卸下了厚重的围脖、手套，每个人都显得清爽多了，这也许就是春天对我最大的馈赠吧。迫不及待换上单薄衣服的我也任岁月在我单薄的青春里放肆地游走，这个季节也记载着我们“时光不老，我们不散”的誓言。在初三仅剩的七十多天里，开始享受着汗水浸透衣服的酣畅，开始提笔将一件件往事定格在同学录上，尽管这些精致的纸掩盖不住每个人内心的伤。这些都是这个季节的附带品，我像是个提前拆开了包装的人，没理由拒绝。也许，还不是最感伤的六月，但我已经开始练习释然，预演着一颗不会流泪的心。事实证明是我无能，放不下这珍贵的三年光阴，走不出这个温暖到伤悲的春天。


 2019年的春天，我们说好一起走下去，就当做我三年初中生活的最终结局，就当我们关于这个季节的约定。


 阳光将雾气暖开了，化作一滩水花落在地上，无声无息中视界清晰了，空气中充斥着这个季节本来的清新。远山轮廓分明，学校里新栽的玉兰花含苞待放，一切都在盼望着。复习、订正习题成了每天的生活，和每个初三学生一样，习惯性地在练习本上凌乱地写着运算步骤，将算出的答案无比认真的写在试卷上，用醒目红笔圈改着，看着练习册上那从未谋面的题目。偶尔抬头仰望几下我眼中总有云飘过的天空。这个春天，我们一直在成长，仿佛镌刻着生命中一段独一无二的时光。


 每天都是打在走廊里的几米阳光，老师们总不时地向我们脑中灌输着“努力学习，再拼上两个月”的信息。在这样的日子里，看个电视剧成为了每个学生最大的奢侈。看书、复习成了我一直坐在书桌前的动力。如果说夏天是每个毕业生都抱成一团哭的季节，那么春天就是每个毕业生拼搏努力的季节。所以，阳光正明媚，路上花正开，我们正行走着。


 放任心飞行，原来春天一直都在，不想把季节的更替禁锢在日历上。我想那应该是一种无休止的奔跑。蓝天白云绿草地，任由心情行走在自然的馥郁里，我向往着，这淡然的时光，这偶尔会盼望着的早春时节。我想春天就是这样一种意境吧，像天空中的云一样，自己飘出一个世界，无论生活给予的是悲伤还是快乐，这惬意的春一直都在。繁忙之中，仍有季节陪我走。

到耐不住山风的

三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

料峭时，我们才舍得离去。



 喜欢背上吉他，去到远方的原野，与轻风流水应和。弹自己最爱的曲子，想自己最想念的朋友：她在那边还好吗，她是否过得快乐呢？喜欢周杰伦的《枫》中的“缓缓飘落的枫叶像思念，我点燃烛光温暖岁末的秋天”，然而我的思念就像那绵绵不断的轻风，像那缓缓而过的流水。我多想用自己仅会的几首曲子，来温暖自己心灵的秋天。



 喜欢到小城的美食街上，去寻找不一样的风味。油泼辣子淌在软糯白嫩的面条上“滋滋”作响，一清二白三红四绿的拉面也别具风味。当晶莹剔透的凉皮弹入双唇时，酷爽的炎夏又多了一分韵味。尝的是油盐酱醋茶，品的是生活的酸甜苦辣咸。喜欢在夕阳的余晖里，捧上一本最爱的书，缅怀又一天的逝去。感谢东坡先生教会我，要一直保持“仰天大笑出门去”的乐观旷达；感谢青莲居士教会我，要在平淡无奇的生活中追寻浪漫；感谢易安居士教会我，要在逆境中学会抗争……还喜欢《简·爱》中女主人公的人格独立，喜欢《红楼梦》中林妹妹的“腹有诗书气自华”，喜欢《追风筝的人》中哈桑的虔诚善良……



 这些感人的书，这些不平凡的人物，伴我走过美好的青葱岁月。感谢，感恩。



 会玩，才好。在生活中会玩，在玩中学会生活。在繁忙的生活中学会自我排解，用一颗向上的心去感知生活的美好，才能够活得舒服，活得有意义。那么，玩起来如果能够把疾病也全数消灭，那么这份苦难又将由(比如说)像貌丑陋的人去承担了。就算我们连丑陋，连愚昧和卑鄙和一切我们所不喜欢的事物和行为，也都可以统统消灭掉，所有的人都一样健康，漂亮，聪慧，高尚，结果会怎样呢?怕是人间的剧目就全要收场了，一个失去差别的世界将是一条死水，是一块没有感觉没有肥力的沙漠。
4、浩倡。《九歌·东皇太一》：“陈竽瑟兮浩倡”。“浩倡”又作“浩唱”，和上句“安歌”相对应。取名时可改为“浩昌”。下文《九歌·少司命》中还有“浩歌”。令诸校屯豫章梅领待命。


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娜姐，见字如面。

大数据给我推送了你的文章，连看了你几十篇文章后，发现你有固定来信栏目，决定给你写信。

我出生时被遗弃，养父母从福利院把我抱回家，后他们又生了妹妹和弟弟。

县城周边农村家庭，养父母是老实巴交的菜农，一辈子多有争吵，我童年没有美好回忆。

大专毕业后，不愿回县城，我执意留在二线城市，上班前5年挣的钱，全拿去供养弟弟妹妹。

8年前，到现在就职的公司做财务，目前是财务主管，也当了老板K先生7年情人。

我没有结婚，没有孩子，和K在一起流产2次（我不想生下来，K也不愿我生），后国家出台单亲妈妈也可养娃的政策后，我查出多次流产导致的输卵管双侧上举畸形，很难再自然受孕。

我和K的关系，他妻子和公司少部分老员工，都知内情。

K妻不管K和我的事，是家庭主妇，和K父母一起，养育两儿一女3个小孩。

刚开始在一起时，K曾承诺过给我一个家，后来如你所料，剧情烂尾，誓言作废。

K最开始说3个孩子小，后又说他父母年迈不同意他离婚，接着说他老婆更年期抑郁要自杀，现在直接说他年龄已大（49岁），将来要指望孩子们养老，无法众叛亲离。

我已看透他，对爱情和男性失望透顶。

也有过温情，K送我过各种值钱或不值钱的礼物，一年至少陪我一次出国旅行，在我养父生病时托关系找医院，给我买了一辆车。

但，相比我7年没日没夜为他和公司加班加点、掏心掏肺的付出，冒着各种风险为他擦的屁股，以及像对待丈夫一样对他献祭的肉体和灵魂，他的付出不值一提。

今年年初开始，伴随订单减少、效益变差，公司缩减和裁员导致的各种纠纷，K也面临巨大压力。

他对我各种逃避，但忌惮于我掌握了他很多财务秘密，又不敢和我彻底分手。

我理解他左右互搏的心理，但想到7年付出，终究不甘。

近来，K开始鼓动我去相亲，约会别的男人，甚至把合作伙伴的朋友介绍给我。

说不想耽误我的前途，还说愿意给我赔偿，一开始说80万，现在又说50万。

我知道公司撑不了太久，更知道和K这样耗下去没有结果，但看到他把我往外推的各种算计，又心生愤恨。

前天我们一起开车去邻市办事，回来路上他说他有个发小离婚了，开理发店的，要不要介绍给我，我感到被羞辱，和他吵起来，突然丧失理智，拽着车子方向盘要和他一起冲下高速。

当时只有一个念头“一起死了算了”。

他大惊失色，求我松手，我瞬间清醒，内心溃败。

这两天，他已不再见我，财务问题都交付他人处理。

我没有和他道歉，只是想到当初心心相印，今日形同陌路，悲凉又绝望。

娜姐，我想离开K，生个小孩，但身体已糟蹋成这样，对自己好失望，看到琼瑶自杀，也想了断自己。

从出生到现在的35年里，我已受了太多苦，不想再受苦。

娜姐，帮帮我，盼回信。

感谢你的信赖。

谢谢你在高速路上，没有死死拽住方向盘，和K一起冲下去。

否则，在社交平台的头条上，我们将看到这样的新闻——《某公司男老板和女财务遭遇车祸，不幸身亡》。

如是，你和你这一世所有的期待，都将消逝于滚滚红尘，K年迈父母和年少孩子，也将痛不欲生。

你选择松开方向盘，是因为你的理智和善良。

这“理智”就是，和渣男一起殉情，不值得。

这“善良”就是，可以不爱，但不能作恶。

你这样第三者的故事，我听过见过太多。

很多诸如此类的雷同来信，我已不再回复。

但我今天愿诚诚恳恳给你回封信，是我洞见了你内在的苦难与温良。

一个苦难温良的女子，值得珍重以待。

哪怕，她当过7年第三者——

寄生·伤害

我对你心存疼惜。

你从出生到现在，都处于被寄生的命运。

你一小知道自己是弃婴，肯定也为此承受过很多乡邻的审判和嘲讽；

养父母待你不薄，供养你读大学，但他们的认知和能力，决定了他们不可能对“捡来的”和“亲生的”的孩子一视同仁，所以盘剥你为弟弟妹妹无条件付出多年；

你和K的7年情感，有K的欺骗，也有你自己的匮乏，但最残忍的真相是：

一直被抛弃被寄养的穷女孩，想要有个自己的家。

可悲可叹的是，因为你生而被遗弃、少而被嫌弃，你爱上的男人还是个养父母般的寄养者——他有老婆有孩子有家庭，你在他那里仍是被审判被嘲讽的“外人”。

多么可怕的潜意识！

你在亲密关系里重复的模版，始终是你在原生家庭里孤独的命运。

你闻着熟悉的味道，沉浸在反复受伤的成瘾里，还把痛苦当成爱。

这是所有不被善待的女孩子，在情爱中最大的魔障——认为伤害是被爱的同义词。

一想到这一点，我就想攥着你的手，问你：

“为什么要去死？

为什么掏心掏肺给K当7年情人却不离开？

为什么在公司岌岌可危、K拔腿要走时，还不赶紧给自己找后路？

你要的从来不是K这个人，而是一个属于自己的家啊。

K给不了你这样的家，这样的家要你自己亲手去搬砖盖瓦，粉刷装修。”

亲爱的，我要看着你的眼睛，一字一句地告诉你：

现在，不是死的时候，而是醒过来的时候。

而你，只需把自己的思路，从“我是受害的第三者”，转化成“我是要重生的主动者”——

如果，你把和K这7年的情感，当作是一场婚姻，一切就会豁然开朗。

7年里，你为K从肉体到精神的付出，就像那些结婚后为家庭牺牲的妻子一样，是伤害与毁灭，也是伤疤与清醒；

7年来，K对你欺骗和伤害、温情和庇护，就像很多家庭里不完美也作恶的丈夫一样，是情感的驱使，也是人性的抉择；

如今，你们的情感走到末路，他愿意你离开，愿意你和他人另组家庭，并愿意给你一笔补偿，就像那些作过恶也不太坏的伴侣那样，愿意一别两宽，各生欢喜……

你不要犹豫，不必和他同归于尽，更不要沉浸于算计7年付出的沉没成本——止损的最好时机是7年前，其次是现在。

你现在最该做的是，找个靠谱的律师，帮你拟定一份协议，提前规避风险，合法合理合情地拿到K那份补偿。

而不是像陈昱霖或沫沫那样，拿到钱后又被渣男和发妻一起送进监狱。

拿到补偿后，你马上从公司辞职，和K彻底断联，不要想着以手里的财务证据，搞臭他——

这对你今后的职业生涯非常不利，没有人愿意雇佣一个害惨前老板的财务主管。

更不要幻想，K还会离开老婆，和你破镜重圆——

你现在是他的负资产，老婆孩子才是他的正资产，他早就挣够了养老钱，现在只想和妻儿安享晚年。

你要像所有离开糟糕丈夫的离婚女人那样，果断离开，绝不回头，懂得博弈，学会蛰伏，休养生息，调理身体，放松精神。

而后，再赴职场，重建自我。

死，是一件不必着急也终将到来的事情。

在老天收走我们的性命之前，我们要像琼瑶阿姨那样潇潇洒洒、轰轰烈烈地活着。

最后——

收到你的来信后，我咨询了妇科专家的女朋友，她说输卵管上举，可通过吃药或手术的方式治疗，治愈后，自然受孕几率很大。

你看：

很多事情没有我们想象的那么可怕，前提是我们愿意活在实相里，寻找路径和方法。

如果可以，我愿你生养一个小孩。

那些有着深切童年创伤的人，会在养育小孩中，把自己重养一遍。

当你像我这样，把一个襁褓中的婴儿，养成杨树般挺拔的少年，你会在劳累、奔波、烦恼、陪伴、喜悦、收获中，建立一段长久坚韧的亲密关系，修出强壮清明的自己。

当然，如果你没有时间和信心养育孩子，也没关系。

只要从今后，你走在自爱且清醒的路上，你就是你自己伴侣、孩子和家庭。

准确地说，每个成年且成熟的人，都是一个行走的家。

你洞见了自己内在的渴求，和自己成为了亲密的朋友，会在自持庄重中，遇见良人，得到福报。

亲爱的，不管前路如何，我都愿你记得：

35年前，那个裹在被褥里，被亲生父母遗弃的小女婴，哇哇大哭着呼救，不过是渴望有个家。

她想有个家，一个不需要多大的地方，在她孤独悲伤的时候，为她撑起万家灯火中那唯一属于她的光亮。

给她一个家，好好去爱她。

周五安好。

感谢你读到最后。