对于数学领域而言，2024年是令人兴奋的一年。我们不仅见证了几何和数论方面的里程碑式成果，人工智能的发展也正在开始改变数学学科的未来。
几何朗兰兹猜想的证明解决了一个巨大的开放问题，而且有望影响未来数十年的研究，因为它可能建立深刻的、意想不到的联系。
更令人兴奋的是，这并不是2024年唯一的重大进展。事实上，仅在几何领域就有几个里程碑式的证明，黎曼假说和abc猜想等数论中的著名棘手问题也出现了突破。
通常，当数学家找到方法将看似不相关的想法联起来，打破不同研究领域之间的障碍时，就会产生最好的结果。几何朗兰兹猜想的证明就是这样的结果。
但这样的突破通常不会凭空出现，而是数学家们经过数十年的努力、通过渐进步骤的积累才最终达成的。散落在各个角落的新想法被不断地结合、审视、重组，，直到曾经似乎完全不可能的事情变得不那么不可能，这就是数学得以进步的方式。
几何朗兰兹猜想的证明
可以说，2024年的最大成果就来自朗兰兹纲领（Langlands program），这是一个有着50年历史的雄心勃勃的愿景，它的目标本质上是重新绘制数学地图——将各个板块整合成一个统一的盘古大陆，连接数学研究中的各个不同领域。
但可想而知，证明朗兰兹纲领实际上极其困难，其中的陈述本身就非常复杂且硬核，更不用说证明它们所需的技术了。
20世纪80年代，一位数学家提出了这个纲领关键部分之一的几何版本——「几何朗兰兹猜想」，但几十年来都没有人能够解决，直到今年5月。
这个证明对于朗兰兹纲领的其余部分而言是一个巨大的福音，而且将在未来产生深远的影响，带动了数学家们继续挖掘相关成果。正如一位数学家所说，「它将渗透各领域之间的所有障碍。」
AI走向主舞台
还记得ChatGPT初版本的数学能力吗？当时它虽然对各种自然语言任务手到擒来，但数学能力充其量只能给表情包提供素材。
在2024年之前，各路LLM都无法正确计算简单的加减乘除，更不用说解决应用题了，至于为数学问题给出成熟的证明，那更是无从提起。
但今年开始，情况变得不一样了。
一月份，谷歌DeepMind发布了能够证明几何问题的新模型AlphaGeometry，随后在今年7月，它的升级版AlphaGeometry 2和AlphaProof在国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中达到了相当于银牌的水平，甚至距离金牌只有1分之差。
AlphaProof是一项巨大的成就，它展示了人工智能快速增长的数学能力。陶哲轩在一次采访和多次演讲对谈中都表示，对AI在数学领域的前景非常看好，人工智能有望作为「副驾驶」（copilot）参与到未来的原创研究中。
我认为，三年后，AI将对数学家有用，它将成为一个出色的co-pilot（副驾驶员）。 你试图证明一个定理，有一步你认为是正确的，但你不太明白它是如何正确的，你可以说，「人工智能，你能帮我做这个吗？」 它可能会说 「我想我能证明这一点」。 有了AI，我们可以一次证明数百或数千条定理，人类数学家将指导AI做各种事情。因此，我认为研究数学的方式将会改变，而且实际使用人工智能会变得越来越容易管理。
「球堆积」纪录被打破
与几何朗兰兹猜想不同，「球堆积」问题的表述非常直观：在给定的n维空间中要塞进一堆半径相同的球，如何排列才能使得密度最大，也就是塞进的球最多？
在三维空间中，可以将球体排列成金字塔形，类似于香槟塔，但如果是更高维度呢？
2016年，乌克兰数学家Maryna Viazovska证明了，如果要在8维和24维空间中填充球体，有一种特定的晶格结构是最佳方式，但对于其他的高维空间，答案依旧未知。
数学家们希望找到一个通用的解决方案——一个公式，提供一种在任意高维度上密集堆积球体的方法，即使无法给出最优解。
今年4月，我们见证了75年以来通用版本球堆积问题的首次重大进展。数学家们没有采用Viazovska那样整齐有组织的方式排布球体，而是另辟蹊径地利用图论，给出了一个非常无序的堆积方案。
50年前米尔诺猜想的反例
证明古老的猜想很重要，但反驳它们也很重要。在数学和各种科学中，我们都必须始终保持怀疑，即使是对于直觉上很可能成立的事情。
正是这种怀疑和批判的态度带来了今年另一个重要的几何证明：三位数学家发现了发现了米尔诺猜想（Milnor conjecture）的反例。
米尔诺猜想是一个有50年历史的问题，被称为「拓扑学的圣杯」，涉及流形的曲率与形状之间的关系。
1968年，当时普林斯顿大学的著名数学家John Milnor推测，如果一个完整形状有较为平均的曲率，就足以告诉我们它不可能有无限多个孔。
举出反例的这三位数学家曾经花费了很多的时间和精力试图证明米尔诺猜想，但最终都宣告失败，但柳暗花明又一村，他们从反面想到——或许这个猜想就是错的？或许可以有构建反例的空间？
从这时开始，他们的进展几乎前所未有的顺利。短短几个月内，三人就弄清楚了如何构造一个奇怪的七维流形。他们通过以微妙而复杂的方式将无限多个七维碎片粘合在一起，一点一点组装他们需要的整个流形，同时确保里奇曲率始终为非负值。
最终，他们得到了一个所谓的「平滑分形雪花」——一种无限而精致的自相似结构。它在每个点上都有非负的里奇曲率，但有无数个洞，从而反驳了米尔诺猜想。
这项工作涉及一种新型结构的开发，揭示了宇宙的可能形状也许比数学家想象的还要奇怪，尽管以我们现在所知，宇宙的形状的确非常奇怪。
数论的重要进展
解决上述这些主要的几何问题就像在数学的平原上竖立高耸的纪念碑。但为未来的纪念碑奠定更好的基础也至关重要，这正是2024年数论领域所发生的情况。
对于该领域的一些顶级问题，数学家们在问题理解上取得了至关重要的进展，尽管是渐进的。
例如，MIT数学教授Larry Guth和牛津大学菲尔兹奖得主James Maynard，在黎曼假说方面取得了重大突破，直接打破了80多年的纪录。
虽然距离证明黎曼假说还有很长的一段距离，但包括陶哲轩在内但多位数学家都表示，这是一个「历史性的时刻」，是1940年之后取得的唯一实质性突破，两位作者的工作取得了「轰动性的结果」。
此外，组合数学领域最大的未解问题之一——完全无序的数学不可能性，被UCLA华人研究生和两位MIT研究生取得了突破，他们在论文中探讨了数学中的无序如何不可避免地产生秩序，标志着Szemeredi问题数十年来的首次进展。
不可否认，所有这些数论问题距离解决还有很长的路要走，但通过一步步接近，数学家们开发出了强大的新工具包并阐明了新的观点。加上人工智能领域日新月异的进展，谁能预测2025年及以后会发生什么？
编辑：乔杨 转载自新智元公众号
参考资料：
https://www.quantamagazine.org/the-year-in-math-20241216/
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