本文转自@全国大学生数学竞赛
东南大学数学学院李菲特同学参加了2024年全国大学生数学竞赛夏令营活动，下文是他的夏令营心得。
图 1
图1：杨家忠老师的数分课。非常喜欢杨老师的讲课风格，并且这种天马行空的讲课方式也非常有北大的味道，这场课主要讨论的是，所谓数学无非就是集合+结构，即研究是什么——集合上有哪些常见的结构，为什么——研究这些结构的动机是什么，以及怎么做——如何在集合上构建这些结构。
这一观点与Bourbaki学派颇有相似，我们研究的各种空间，无非就是三种基础结构——序结构，代数结构与拓扑结构，以及它们的组合；而这三种基础结构也分别引出了三个数学的主要分支：分析，代数与几何。
图 2
图 2：席南华院士的Langlands纲领讲座。本人对于代数与数论方面颇有兴趣，将来也希望从事相关方向的研究。同时久闻席院士大名与Langlands纲领大名，今日的讲座也是收获了双倍的快乐。
图 3
图 4
图 5
图3-5：Langlands纲领的一个动机是将互反律推广到一般的数域上，Artin提出了Artin互反律（图4-5），解决了有理数域上的Abel扩张情况，而著名的Gauss互反律（图3）不过是图4和图5中K/E为二次扩张时的情况。（显然二阶群是Abel群）
图 6
图 7
图 8
图6-8：在Artin解决Abel扩张上的互反律后，Langlands试图将互反律推广到非Abel扩张的情况上，并提出了Langlands猜想。这个猜想将数域的绝对Galois群与复数域上的矩阵群联系在一起，并将各个数论定理进一步推广，比如它是Artin互反律的推广，同时如果在图6中取n=2，这就是著名的谷山—志村猜想（图7-8），因而又与Fermat大定理紧密相关，因此将它称之为“数学中的大一统理论”。
图 9
图 10
图9-10：提问环节我问了席南华院士关于有理数域的绝对Galois群的问题，这个问题我曾经也在mse网站上问过（图10），有人将之称为现代数论的珠穆朗玛，席院士也指出，现代数论的问题都可以归结于对绝对Galois群的研究。图9为席南华院士的签名，话说Atiyah的《交换代数》不愧是一本经典教程，就连席院士看到也称赞这是一本好书。
图 11
图 12
图 13
图11-13：楼红卫老师和李平老师的数分课。楼红卫老师不愧是数分战神，选择的题目都是又新又综合，同时在反例的选择上也是很有创造性，要把图12中的问题全部回答上来恐怕不是那么容易。
图 14
图14：王怀民院士的讲座，主要讲述了计算机与人工智能方面的确定性问题。计算科学方面，这个可以最早可以追溯到图灵机，可以证明，绝大多数命题的判断，都可以归结于一个图灵机停机问题。
然而图灵机的停机问题是一个“不可计算”的问题，即无法用一个图灵机来判断另一个图灵机是否会停机。（因此尽管有人已经构造出来了用于证明黎曼假设的图灵机，然而与它所需要运行的步数相比，葛立恒数都只能是一个极小的数字。）
图 15
图15：尽管哥德尔不完备定理证明了不存在所谓“完美”的形式系统，但数学家仍可以构造不同的公理系统，身处不同的宇宙。（这也是当代集合论的一个前沿研究方向。）然而对于现在的机器学习来说，仍处于维特根斯坦所说的“语言所涉及的范畴内”，或者从数学上来说，仍只是“可构造”范围内。如何让机器应用相互矛盾的数据进行学习，从而使机器像人类一样理解冲突世界，是当下机器学习的一个热门研究方向。
图 16
图16：北大王家军老师的射影几何课。尽管这部分我在高中部分已经学过，但有些观点还是十分有意思的。所谓几何，即是研究空间中的对象在变换群下的不变性，不同的几何无非是空间与变换群不同，譬如初高中的几何，便是在研究欧氏空间中的保距变换。
-----------------------------------
点击下方关注公众号，在后台回复
回复 “群”，b站课件、数模资料在群文件
回复“课程”，查看入门级数学建模精品课程（常用模型的原理讲解+例题+matlab编程，附带课件与代码）
“从零开始学数学建模”系列课程当前课表：
课程详细情况，在公众号后台回复“课程”查看。
