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1 前言
电机设计的基本策略是转矩大和振动小。转矩脉动越小，电机的振动就越低。转矩脉动一般受定子齿的几何形状的影响。由于气隙附近磁通密度分布的复杂性，用磁等效电路表示详细的齿的几何形状是相当困难的。使用能够基于实际几何形状的有限元优化，可以有效地满足这些要求。优化结果可以以高度的自由度获得，因为拓扑优化还执行不依赖于初始几何形状的搜索。在本例中，使用On/Off方法以定子齿尖的整个区域为设计区域，搜索使平均转矩最大化和转矩脉动最小化的定子齿几何形状。2 分析目标
下面描述了本示例中的分析目标的初始条件、组成部件、材料、驱动条件和设计参数。2.1 初始条件
在本例中，分析目标是一个SPM电机。初始条件如下。2.2 组成部分
图2.1显示了目标的模型形状和组成部件的名称，表2.1显示了组成部件的详细参数。![]()
图2.1 分析目标
表2.1 几何规格
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2.3 材料
表2.2 零件材料
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图 2.2 磁化方向
2.4 绕组
表2.3 绕组规格
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图2.3 绕组图
2.5 驱动条件
表2.4 驱动条件
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2.6 优化条件
图2.4所示的红色边框是设计区域。拓扑既考虑了每个齿的周期性，也考虑了每个1/2齿的对称性。![]()
图2.4 设计区域
表2.5 目标函数
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3 分析结果
这显示了在第2节中显示的SPM电机的分析结果。有关如何检查这些结果的详情，请见附录B。3.1 优化结果
图3.1为扭矩平均值与扭矩脉动的相关关系图，图3.2为最大扭矩和最小扭矩纹波范围的放大视图。在图3.2中，A点为最大转矩平均值，为最佳案例，B点为最小转矩脉动的案例。最佳案例A和最佳案例B的拓扑优化几何形状分别如图3.3和图3.4所示。对于具有最大扭矩的最佳案例A，齿内的材料完全由电磁钢板组成。这里也可以观察到槽口部分的存在，而在最佳情况下B，扭矩脉动最小，为闭口槽。![]()
图3.1 转矩平均值与转矩脉动的相关曲线
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图3.2 转矩平均值与转矩脉动的相关曲线（放大图）
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图3.3 拓扑优化几何图形（最佳案例A）
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图3.4 拓扑优化几何图形（最佳案例B）
3.2 敏感性分析
为了确定齿的几何形状对扭矩特性的影响，对每个最佳案例进行了敏感性分析。考虑最佳案例A，它有最大的平均扭矩。分析模式如表3.1所示，分析结果从图3.5到图3.7所示。从最佳案例A模式1和A模式3之间的比较可以看出，槽的开口部分的存在或不存在对扭矩特性的影响很小。在模式2中，齿尖的端部很厚，可以认为扭矩波动由于与槽开口部分的突变的磁导率而增加。在模式4中，可以考虑由于磁转矩磁通短路而减小。考虑最佳案例B，它具有最小的扭矩脉动。并比较具有相似几何形状的最佳情况B和A模式3。表3.2显示了A模式3和最佳情况B的几何形状，分析结果从图3.8到图3.10中显示。由于A模式3由于槽开口空气区域更小，即齿尖的铁心面积更多，因此磁通更容易在铁心中流动，最大转矩更大。而扭矩脉动增加的原因是与旋转相反方向的力作用处的磁通更容易流动。表3.1 最佳案例A灵敏度分析模式
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图3.5 扭矩特性（最佳案例A的灵敏度分析）
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图3.6.转矩波形（最佳案例A灵敏度分析）
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图3.7 气隙附近的磁力线分布（最佳案例A灵敏度分析）
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图3.8 扭矩特性（最佳案例A模式3和最佳案例B）
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图3.9 转矩波形（A模式3和最佳案例B）
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图3.10 气隙附近的磁力线（A模式3和最佳案例B）
4 将真实现象转化为分析模型的方法
4.1 创建有限元模型的参数
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4.2 优化方法
4.2.1 按设计变量进行优化分类
优化有两种类型：参数优化采用尺寸值、输入电流、驱动速度等参数作为设计变量；拓扑优化采用设计区域几何作为设计变量。4.2.2 如何表示拓扑优化几何图形
JMAG拓扑优化方法是使用NGnet的On/Off法（以下简称NGnet方法）和密度法。利用NGnet方法，通过对设计空间进行全面的搜索，获得全局最优解。使用密度法进行局部搜索，以高速获得最优解。4.2.3 选择优化引擎
使用单目标遗传算法来搜索单个优化设计方案，并使用多目标遗传算法使多个目标函数相互竞争，并评估结果的权衡。该分析使用一个多目标遗传算法来处理多个目标函数相互竞争，并评估由此产生的设计平衡。4.2.4 多目标遗传算法参数
<Maximum number of generations>
当通过遗传算法更新代数达到最大代数时，优化计算完成。在使用NGnet进行拓扑优化时，从表达式（4.1）计算出的值n被认为是参考。最大代数的近似值是10倍n。但是，建议首先设置小的值，然后在观察收敛性的同时增加代数。如果最后一代的帕累托前沿和前一代之间的差异很小，那么就可以确定它们已经收敛。如果它们不收敛，则增加代数并重新启动。
n = 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 of 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠i𝑎𝑛 ∗ ⌈𝑙𝑜g2(𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 of materials)⌉ (4.1)Number of Gaussian : 高斯函数的数量Number of materials : 在设计区域中材料的数量⌈ ⌉ : 天花板函数（大于或等于实数的最小整数）在这个分析中，高斯函数的数为24，材料的数为2。因此，n是24。最大代数为100代，大约是n的4倍。<Population size>
较大的种群规模可以在搜索范围内看到更小的偏差，因此搜索可以在指定的设计空间内没有偏差地执行。对于总体大小值，建议使用为表达式（4.1）计算的值n的5到10倍。在这个分析中，种群规模为240，大约是n的10倍。<Number of children>
指定每一代要替换的个体数。对于子代数量，建议从表达式（4.1）计算的值n的2到3倍。4.3 分析模型
基于第2节中所示的分析目标创建了一个分析模型。在本文中，运行磁场分析来评估扭矩特性。所使用的区域模型如图4.3所示，主要建模规范见表4.2。![]()
图4.1 1/4局部模型
表4.2 建模要点
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4.4 扭矩分析研究
4.4.1 运动建模
分析是通过使转子不断旋转并改变定子和转子之间的相对位置来进行的。4.4.2 线圈建模
使用JMAG中的 [Winding Setting]功能来设置每个线圈的有限元线圈条件，并将其与电路中的有限元线圈组件相关联。正弦驱动时的电路图如图4.2所示，该电路由一个三相电流源、一个三相线圈和一个接地电路组成。图4.2 电路图（左：整个电路，右：绕组三相线圈内部）时间间隔是根据槽谐波确定的，槽谐波是磁场变化的主要原因。建议一个槽距的划分数(DivPSlot)为4 ~ 32。在此例中，DivPSlot为32。一个电角周期的槽数、一个电角周期的分段数、时间间隔分别用式(4.2)~式(4.4)表示。一个电角周期的槽数PElec=总槽数/（极/2） (4.2)一个电角周期的分割数DivPElec=PElec*DivPSlot (4.3)时间间隔dt（秒）=1/BaseFreq/DivPElec (4.4)在这个例子中，SlotsPElec是6，DivPElec是192，Dt是2.6e-4秒。由于在此分析中计算了平均转矩和转矩脉动，因此设置了步数，以获得稳态下一个转矩波形周期的结果。一个转矩波形周期为1/6个电角周期。因为假设是一个理想的稳态，而不包含一个瞬态，所以可以通过表达式（4.5）预先估计所需的步数。步骤数步骤数= DivPElec/6+1 (4.5)<Design region element types>NGnet方法通过在一个设计区域内切换每个高斯函数的材料来表示零件的几何形状。通过生成规则网格，可以轻松地计算出所得到的几何形状。本分析中的设计区域元素类型为四边形。<Circumferential divisions>为了准确地捕捉气隙部分内的磁通流，最好是气隙部分网格保持不变形。如果每步的位移是元素大小的整数倍，那么这将允许减少由于元素扭曲而产生的误差。周向划分数Circ_div按表达式（4.6）表示。周向分隔数Circ_div=Slots/Poles*DivPSlot (4.6)槽之间的划分数（DivPSlot）的推荐值为4到32。在本例中，DivPSlot为32。因此，Circ_div为96。由方程式定义的变量见表A.1。
表A.2和图A.1显示为每个磁场分析条件指定的设定目标（sets）。
在第3节中，检查分析结果的方法如下。
对于与图3.1和图3.2相同的图，在[Project]>[Study]>[Response Graph]下右键单击 [Graphs]，然后选择 [Generate]来设置响应图。
表B.1显示了在此期间使用的设置。
<Sensitivity analysis>
要进行敏感性分析，创建元素组并运行计算，更改每组的材料。有关此过程的详细信息，请参阅下面的功能教程。JMAG功能教程[JFT100]每个元素的材料分配https://www.jmag-international.com/jp/tutorial/jft100_changematerialperelement/<Torque characteristics>
通过响应值检查平均扭矩和扭矩脉动。图3.5和图3.8使用Excel显示。通过计算转矩波形的整个时间段的积分平均值计算平均转矩，通过计算转矩波形的整个时间段的转矩波动率计算转矩脉动。若要转换为百分比，请将从响应值计算出的脉动乘以100。<Torque waveform>
通过随时间变化的图检查扭矩波形。图3.6和图3.9显示了多个重叠情况下的结果。<Magnetic flux lines>
创建磁力线设置以显示磁力线。在图3.7和图3.10中，结果类型为磁通密度，显示磁力线数量为50。5 小结
随着电机设计要求小型化、低成本、高功率密度等，其要求越来越高，因此电机电磁设计工程师总是不断的在挖掘电机内在的潜质，比如通过结构设计，增强电机磁阻转矩，从而提高它的功率密度，但是有时候这方面的设计需要极高的结构设计经验或者通过设置复杂的约束来进行尺寸优化分析，然而JMAG自带的拓扑优化功能无需设置约束，轻松方便的设计出复杂的结构，比如本案例的隔磁孔的形状，再比如电机的定子齿冠的形状等。电机结构拓扑优化获得的结构形状虽然不能直接制造，但是它为我们提供了最优或者较优的拓扑结构，这种结构是人为很难通过手动设计出来的，因此它将大大降低电机设计师的工作量和专业水平，电机电磁设计工程师只需要根据软件获得并筛选后的方案进行简单修改，就能够得到可制造的结构，后续我们也将为读者带来这方面的分析思路和操作步骤。读者可以通过西莫论坛或发邮件至em-support@atic-cn.cn获取案例模型。作者介绍
陈天赠，高级电磁技术经理、专家。12年以上电机设计经验，熟悉空调压缩机电机设计和新能源汽车电机设计；曾就职于某知名新能源汽车公司从事电机设计工作，负责多目标优化平台开发。现为JMAG高级电磁技术经理、专家，著有《JMAG电机电磁仿真分析与实例解析》一书。
技术支持邮箱：em-support@atic-cn.cn
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