数学科普：自然常数e究竟为什么自然？

文化 2024-11-18 22:25 广东

摘要：本文将从常微分方程求解的视角，来分析自然常数

e

在其中发挥的重要作用。一个值介于2和3之间的常数

e

，为何能称为自然常数？由于它在一定意义上刻画了自然界中普遍存在的变化规律，我们要到常微分方程中揭开它的神秘面纱。

一、自然界中无处不在的 $e$

只要我们一搜罗，就不难发现在自然界的很多现象中都能看到自然常数

e

的影子。似乎只要涉及生长、繁衍、演化等连续的运动与发展，自然数就会出现。

生物的繁殖，种群的增长

放射性原子的衰变

大自然中无处不在的等角螺线

飞蛾扑火的轨迹、向日葵籽的排列

鹦鹉螺的外壳切面

热带低气压的外观

漩涡星系的旋臂

……

具体以鹦鹉螺的外壳切面是一个等角螺线为例。在极坐标系下，等角螺线的方程是

r=ae^{k\theta}

，其对应的微分方程是

\frac{dr}{d\theta}=kr

。也就是说，螺线的半径随着角度的增大而增大，且增长率是与半径成正比例的。事实上，正如大自然中的很多生物一样，鹦鹉螺的体积越大，新增体积也就越大，所以需要按照等角螺线设计的外壳来容下它们的躯体。

类似地，理想环境下的种群数量变化也是如此，种群数量越大，种群的增长速度也就越快，种群数量的变化率是和当前种群数量

y

相关的，可以简述为

\frac{dy}{dt}=\lambda y

。

二、为什么 $e$ 这么“自然”

既然自然界中有很多的现象都符合上述微分方程所表示的变化规律，即某一个量的变化速度与它本身的值成比例。那么面对这样很简单的变量关系所对应的常微分方程，我们能否求解？假设此时我们并不知道

\frac{dy}{dx}=y

的解，从初等函数中的指数函数

y=a^x

出发，希望能找到满足微分方程

\frac{dy}{dx}=y

的函数

a^x

。根据导数的定义我们可以进行如下计算：

(a^{\Delta x})"=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}

要使得

(a^x)"=a^x

则需要

\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1

反推出希望

a=\lim_{\Delta x\rightarrow0}(1+\Delta x)^{\frac{1}{\Delta x}}

而这就是我们现在关于自然常数

e

的定义。所以自然常数

e

就是这个天选之子，以它为底的指数函数

e^x

巧妙地满足“导函数等于其本身”的性质。对应到现实世界中，就刻画了某个量的变化率与自身成比例的变化规律。

三、历史上关于 $e$ 的由来

最后，我们聊聊

e

在历史上是怎么被发现的。据说在1683年，瑞士数学家雅各布·伯努利（1654-1705年）在研究复利时发现了一个有趣的现象。如果我们在银行存入1万元，年利率是100%，如果每半年结算一次，半年利率是50%。由此可得，第一种投资方法下获得本息2万元，而第二种投资方法下获得本息2.25万元。以此类推，如果利息结算周期越短，似乎收益就会越高。以每月结算一次，利率是

1/12

为例，则收益将近2.61304万元。接着我们考虑极端情况，当结算周期无限缩短时，复利收益会是多少呢？用数学公式来看，就是下面这个极限式的值。（其中

n

代表计息周期的次数，

1/n

是每个计息周期的利率）

\lim_{n\rightarrow0}(1+\frac{1}{n})^n

当时伯努利并没有计算出这个数的精确值，只知道它介于2和3之间。

而在1690年，莱布尼茨在给惠更斯的信中，首次提到了自然常数，不过他没有用

e

表示，而是用

b

表示的。1727年欧拉（1707-1783年）开始用

e

来表示这个常数，而

e

第一次在出版物中用到，是1736年欧拉的著作《力学》中。所以很多人猜测，字母“

e

”代表欧拉的名字“

Euler

”的首字母。

更有趣的是，在1743年欧拉已经用指数代换

y=e^{qx}

给出了关于

n

阶常系数线性齐次方程的完整解法。想必这时他已经发现了以自然常数

e

为底数的指数函数在求解微分方程中的作用了。而

e

第一次被用到微分方程中，应该是要更早了。如果没有伯努利关于复利问题的研究这个故事，我们甚至大胆猜测，当年的数学家们为了找到可以满足“导数是其本身”这一性质的函数，人为地以极限来定义了这样一个数

e

呢？

文中出现两处笔误，统一在此说明：1.第二部分的第一个求导公式中，应为（a^x）'，而非（a^Δx）' 2.第三部分的计算复利公式中，应为n趋于∞，而非n趋于0

自然常数「e」，它到底「自然」在哪儿？

END

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来源：妙解之慧

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