美团
12 月 28 日，美团宣布推出八项举措继续改善算法，计划在 2025 年底前逐步取消骑手超时扣款，推动从"负向处罚"向"正向激励"的转变。
这绝对是好事，不只是对外卖骑手而言，更是对整个社会而言。
这是少数的，平台愿意主动牵头，来推行"反内卷"，来解决"多端矛盾"。
对骑手的高要求，本质是「商家 - 平台 - 顾客 - 骑手」的多端矛盾的体现。
早在几年前，美团/百度/饿了么三足鼎立的时候，各个平台就为了争夺份额，大额补贴外卖配送费，甚至是免配送费，同时对骑手实时性要求很高。
到了后面，美团逐步领跑，但对骑手的要求并未因此放松，反而为了提高商户的利润空间，进一步提高对骑手的要求，也因此有了著名的《外卖骑手困在算法里》的说法。
2023 年下半年，还出现过「骑手和保安」的激烈冲突事件，引发了地区的骑手集体反抗。估计这也是改革的导火线之一，平台无尽的利用骑手的"供过于求"来提高对骑手的要求，来短暂掩盖核心矛盾并不长久。
不管最终美团做到什么程度，至少确定大方向是对骑手从"负向处罚"向"正向激励"的转变，就已经是一个值得点赞的行为 👍
对此，你怎么看？你平常点外卖多吗？是否会介意配送费问题？欢迎评论区交流。
...
回归主题。
来一道和「校招」相关的算法题。
题目描述
平台：LeetCode
题号：1976
你在一个城市里，城市由 n 个路口组成，路口编号为 到 ，某些路口之间有 双向 道路。输入保证你可以从任意路口出发到达其他任意路口，且任意两个路口之间最多有一条路。
给你一个整数 n 和二维整数数组 roads，其中 表示在路口 和 之间有一条需要花费 时间才能通过的道路。你想知道花费 最少时间 从路口 出发到达路口 的方案数。
请返回花费 最少时间 到达目的地的 路径数目 。由于答案可能很大，将结果对 取余 后返回。
示例 1：
输入：n = 7, roads = [[0,6,7],[0,1,2],[1,2,3],[1,3,3],[6,3,3],[3,5,1],[6,5,1],[2,5,1],[0,4,5],[4,6,2]]
输出：4
解释：从路口 0 出发到路口 6 花费的最少时间是 7 分钟。
四条花费 7 分钟的路径分别为：
- 0 ➝ 6
- 0 ➝ 4 ➝ 6
- 0 ➝ 1 ➝ 2 ➝ 5 ➝ 6
- 0 ➝ 1 ➝ 3 ➝ 5 ➝ 6
示例 2：
输入：n = 2, roads = [[1,0,10]]
输出：1
解释：只有一条从路口 0 到路口 1 的路，花费 10 分钟。
提示：
任意两个路口之间至多有一条路。 从任意路口出发，你能够到达其他任意路口。
Dijkstra + 拓扑排序 + DP
为了方便，我们记 roads 为 rs，令点数为 n，边数为 m。
边数与点数不在一个数量级上（），属于「稠密图」，我们可以使用「邻接矩阵」进行存图，同时使用朴素 Dijkstra 求解从 号点到其他点的最短路，记为 dist 数组， 代表以 号点为起点到到 点的最短路径为 。
当我们预处理出 点到其他点的最短距离后，考虑如何统计从 点到 点，且路径和为 的方案数。
一个容易想到的性质：在任意的合法方案中，途径的该路径中的每个点时，都是以最短路径的方式到达的。
使用「反证法」证明该性质的正确性：假设其中一条合法路径为 a -> ... -> k -> ... -> z（其中 a 为 号点，z 为 号点），其为合法路径，意味着从 a 到 z 的路径和为 。若我们在经过某个途经点，假设为 k 时，所途径的路径总和 不是 的话，意味着我们可以调整从 a 到 k 的路径，使其变为 ，而后续路径不变（从 k 到 z 的路径不变）来得到一条路径和比 要小的从 a 到 z 的路径，这与 为从 a 到 z 的最短路冲突。
至此，我们证明了「在任意的合法方案中，途径的该路径中的每个点时，都是以最短路径的方式到达的」这一性质。
利用该性质，我们可以对图进行「重建」，对于原图中点 与点 权重为 的无向边，我们根据 、 和 三者关系建立有向边，并统计入度：
若有 ，在新图上增加从 到 的权重为 的有向边，同时 入度加一; 若有 ，在新图上增加从 到 的权重为 的有向边，同时 入度加一。
构建新图的目的是能够在跑「拓扑排序」过程中进行 DP，统计方案数。
定义 为从 到达 点的方案数， 为答案，同时我们有显而易见的初始化条件 。
不失一般性考虑 如何计算，若我们存在一条从 到 的出边，并且 已确定更新完成（通过判断 的入度是为 得知，入度为 意味着已经没有其他状态可以更新 ），我们可以用 来更新 ，即有 ，含义将到达 的路径数累加到到达 的路径数中，同时更新 的入度。
Java 代码：
class Solution {
int N = 210, MOD = (int)1e9+7;
long INF = (long)1e12;
int[][] g = new int[N][N];
int[] in = new int[N];
long[] dist = new long[N];
boolean[] vis = new boolean[N];
int n;
public int countPaths(int _n, int[][] rs) {
n = _n;
for (int[] info : rs) {
int a = info[0], b = info[1], c = info[2];
g[a][b] = g[b][a] = c;
}
// 朴素 Dijkstra 求解从 0 点到其他点的最短路
dijkstra();
// 利用最短路重新建图，并统计入度
for (int[] info : rs) {
int a = info[0], b = info[1], c = info[2];
g[a][b] = g[b][a] = 0;
if (dist[a] + c == dist[b]) {
g[a][b] = c; in[b]++;
} else if (dist[b] + c == dist[a]) {
g[b][a] = c; in[a]++;
}
}
// 跑拓扑排序统计方案数
Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (in[i] == 0) d.addLast(i);
}
int[] f = new int[n];
f[0] = 1;
while (!d.isEmpty()) {
int x = d.pollFirst();
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (g[x][i] == 0) continue;
f[i] += f[x];
f[i] %= MOD;
if (--in[i] == 0) d.addLast(i);
}
}
return f[n - 1];
}
void dijkstra() {
Arrays.fill(dist, INF);
dist[0] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int t = -1;
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (!vis[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])) t = j;
}
vis[t] = true;
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (g[t][j] == 0) continue;
dist[j] = Math.min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
}
}
}
}
C++ 代码：
const int N = 210;
const int MOD = 1e9 + 7;
const long INF = 1e12;
class Solution {
public:
vector<vector<int>> g;
vector<int> in;
vector<long> dist;
vector<bool> vis;
int n;
Solution() : g(N, vector<int>(N, 0)), in(N, 0), dist(N, INF), vis(N, false) {}
int countPaths(int _n, vector<vector<int>>& rs) {
n = _n;
for (auto& info : rs) {
int a = info[0], b = info[1], c = info[2];
g[a][b] = g[b][a] = c;
}
dijkstra();
for (auto& info : rs) {
int a = info[0], b = info[1], c = info[2];
g[a][b] = g[b][a] = 0;
if (dist[a] + c == dist[b]) {
g[a][b] = c; in[b]++;
} else if (dist[b] + c == dist[a]) {
g[b][a] = c; in[a]++;
}
}
queue<int> d;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (in[i] == 0) d.push(i);
}
vector<int> f(n, 0);
f[0] = 1;
while (!d.empty()) {
int x = d.front(); d.pop();
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (g[x][i] == 0) continue;
f[i] = (f[i] + f[x]) % MOD;
if (--in[i] == 0) d.push(i);
}
}
return f[n - 1];
}
void dijkstra() {
fill(dist.begin(), dist.end(), INF);
dist[0] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int t = -1;
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (!vis[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])) t = j;
}
vis[t] = true;
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (g[t][j] == 0) continue;
dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
}
}
}
};
时间复杂度：首次建图复杂度为 ；Dijkstra 求最短路复杂度为 ；再次建图复杂度为 ，跑拓扑排序统计方案数复杂度为 。整体复杂度为 空间复杂度：
最后
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