本文介绍主成分分析（PCA，Principal Component Analysis）算法背后的数学原理，并用Python和scikit-learn实现和可视化PCA算法。
在现代科技时代，数据的产生和收集量不断增加。然而，在机器学习中，过多的数据可能会带来负面影响。在某些情况下，更多的特征或维度会降低模型的准确性，因为需要对更多的数据进行泛化——这被称为维度灾难。
降维是一种减少模型复杂性并避免过拟合的方法。降维主要有两种类别：特征选择和特征提取。通过特征选择，我们选择原始特征的一个子集，而在特征提取中，我们从特征集中提取信息来构建新的特征子空间。
在本教程中，我们将探讨特征提取。在实践中，特征提取不仅用于提高存储空间或学习算法的计算效率，还可以通过减少维度灾难来提高预测性能——特别是当我们使用非正则化模型时。
具体来说，我们将讨论用于把数据集压缩到低维特征子空间的PCA算法，目的是保持大部分相关信息。我们将探索以下内容：
PCA算法的概念和数学原理 如何从头开始一步一步地用Python执行PCA 如何使用scikit-learn包执行PCA
让我们开始吧！
PCA算法概念
主成分分析是一种无监督的线性变换技术，广泛应用于各个领域，最主要用于特征提取和降维，其他常见应用包括探索性数据分析、股票市场交易中的信号去噪，以及在生物信息学领域中对基因组数据和基因表达水平的分析。
PCA旨在找到高维数据中最大方差的方向，并将其投影到一个维度等于或小于原始维度的新子空间上。
如下动图是寻找数据点映射的最大方差方向，静止的红色粗线就是我们要找的最大方差方向：
子空间的正交轴（主成分）可以解释为高维数据的最大方差方向，因为每个主成分是彼此正交的，确定了它们之间没有冗余信息。
上图中，x1 和 x2 是原始特征轴，而 是主成分。
如果我们使用PCA进行降维，我们构建一个维的变换矩阵，使我们能够将样本向量 映射到一个新的 k 维特征子空间，该子空间的维度比原始的 d 维特征空间要少。
d维特征空间的样本向量：
经过维度变换矩阵后得到新的样本向量：
其中向量是k维特征空间：
将原始的 d 维数据转换到这个新的 k 维子空间（通常 k ≪ d）后，第一个主成分将具有最大的方差，所有后续的主成分将在与其他主成分不相关（正交）的约束下具有最大的方差——即使输入特征是相关的，所得的主成分也将是彼此正交（不相关）的。
需要注意的是，PCA 的方向对数据的缩放非常敏感，如果特征的度量尺度不同，我们希望赋予所有特征相同的重要性，因此需要在进行 PCA 之前对特征进行标准化。
在更详细地了解PCA算法进行降维之前，让我们用几个简单的步骤总结一下这种方法：
1）标准化d维数据集。
2）构建协方差矩阵。
3）将协方差矩阵分解为其特征向量和特征值。
4）按照特征值的递减顺序对相应的特征向量进行排序。
5）选择与 k 个最大特征值对应的 k 个特征向量，其中 k 是新特征子空间的维度（k ≤ d）。
6）从“前” k 个特征向量中构建投影矩阵 。
7）使用投影矩阵 转换 d 维输入数据集 以获得新的 k 维特征子空间。
让我们一步步地用Python编码实现PCA，以学习算法背后的数学原理。然后我们将看到如何使用scikit-learn更方便地进行PCA。
PCA算法蕴含的数学原理
我们将在示例中使用来自UCI机器学习库的葡萄酒数据集。该数据集包含178个葡萄酒样本，每个样本有13个特征，描述其不同的化学属性。
加载数据集：
import pandas as pd
df_wine = pd.read_csv('https://archive.ics.uci.edu/ml/'
'machine-learning-databases/wine/wine.data',
header=None)
df_wine.head()
接下来，我们将把葡萄酒数据分成独立的训练集和测试集，使用7:3的比例，并将其标准化为单位方差：
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
# split into training and testing sets
X, y = df_wine.iloc[:, 1:].values, df_wine.iloc[:, 0].values
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
X, y, test_size=0.3,
stratify=y, random_state=0
)
# standardize the features
sc = StandardScaler()
X_train_std = sc.fit_transform(X_train)
X_test_std = sc.transform(X_test)
完成必要的预处理后，让我们进入第二步：构建协方差矩阵。这个对称的 维协方差矩阵，其中 是数据集中的维度数，存储了不同特征之间的成对协方差。例如，两个特征 和 在总体水平上的协方差可以通过以下公式计算：
其中n表示样本总数，是特征j和特征k所在样本的平均值。
请注意，如果我们对数据集进行了标准化，样本均值为零。两个特征之间的正协方差表明这些特征一起增加或减少，即正相关的关系；负协方差表明这些特征朝相反方向变化，即负相关的关系。
例如，三个特征的协方差矩阵可以写成如下形式（注意 Σ 代表希腊字母的大写 Sigma，不要与求和符号混淆）
协方差矩阵的特征向量代表主成分（最大方差的方向），而相应的特征值将定义它们的大小。在葡萄酒数据集的情况下，我们将从13 x 13维的协方差矩阵中获得13个特征向量和特征值。
现在，进入我们的第三步，让我们获得协方差矩阵的特征值和特征向量。特征向量 满足以下条件：
这里，是标量，也就是协方差矩阵的特征值。由于手动计算特征向量和特征值是一项相当繁琐且复杂的任务，我们将使用NumPy的linalg.eig函数获取葡萄酒数据集协方差的特征值和特征向量：
import numpy as np
cov_mat = np.cov(X_train_std.T)
eigen_vals, eigen_vecs = np.linalg.eig(cov_mat)
如上代码，我们使用numpy.cov函数计算了标准化训练数据集的协方差矩阵。使用numpy.linalg.eig函数对数据集进行特征分解，得到了一个包含13个特征值的向量（eigen_vals）和对应矩阵列的对应特征向量（eigen_vecs）。
总方差和解释方差
我们希望通过将数据集压缩到一个新的特征子空间来减少其维度，因此只选择包含大部分信息（方差）的特征向量（主成分）子集。特征值定义了特征向量的大小，因此我们必须按特征值的大小递减排序，我们感兴趣的是基于其对应特征值的值的前k个特征向量。
但是在收集这k个信息量最多的特征向量之前，让我们绘制特征值的解释方差比。
特征值的解释方差比是特征值与特征值总和的比值:
使用NumPy的cumsum函数计算解释方差的特征累计和，然后通过matplotlib的step函数进行绘制：
import matplotlib.pyplot as plt
# 累加解释方差（特征值）之和
tot = sum(eigen_vals)
var_exp = [(i / tot) for i in sorted(eigen_vals, reverse=True)]
cum_var_exp = np.cumsum(var_exp)
# 绘制解释方差
plt.bar(range(1,14), var_exp, alpha=0.5,
align='center', label='individual explained variance')
plt.step(range(1,14), cum_var_exp, where='mid',
label='cumulative explained variance')
plt.ylabel('Explained variance ratio')
plt.xlabel('Principal component index')
plt.legend(loc='best')
plt.show()
如上生成的图表显示，仅第一个主成分就占了大约40%的方差。此外，我们可以看到，前两个主成分合起来解释了数据集中将近60%的方差。
特征转换
将协方差矩阵分解为特征值和特征向量之后，让我们继续进行PCA的最后三个步骤，将葡萄酒数据集转换到新的主成分轴上。
我们将按特征值和特征向量按照特征值的降序排列，从选定的特征向量中构建投影矩阵，并使用投影矩阵将数据转换到低维子空间。
我们从按特征值的降序排列特征值和特征向量开始。
# 生成(特征值, 特征向量)的特征对，tuple类型
eigen_pairs = [(np.abs(eigen_vals[i]), eigen_vecs[:, i]) for i in range(len(eigen_vals))]
# 特征对按特征值降序排序
eigen_pairs.sort(key=lambda k: k[0], reverse=True)
接下来，我们收集对应于两个最大特征值的两个特征向量，以捕捉该数据集中约60%的方差。
请注意，我们只选择了两个特征向量是为了说明目的，因为我们将在本小节稍后通过二维散点图绘制数据。在实践中，主成分的数量需要在计算效率和分类器性能之间进行权衡来确定。
w = np.hstack((eigen_pairs[0][1][:, np.newaxis], eigen_pairs[1][1][:, np.newaxis]))
print('Matrix W:\n', w)
上述代码获取了包含了前两个特征值的特征向量，行拼接为投影矩阵。
投影矩阵：
[Out:]
Matrix W:
[[-0.13724218 0.50303478]
[ 0.24724326 0.16487119]
[-0.02545159 0.24456476]
[ 0.20694508 -0.11352904]
[-0.15436582 0.28974518]
[-0.39376952 0.05080104]
[-0.41735106 -0.02287338]
[ 0.30572896 0.09048885]
[-0.30668347 0.00835233]
[ 0.07554066 0.54977581]
[-0.32613263 -0.20716433]
[-0.36861022 -0.24902536]
[-0.29669651 0.38022942]]
通过执行前面的代码，我们从前两个特征向量创建了一个13 x 2维的投影矩阵。
使用这个投影矩阵，我们现在可以将样本（表示为1 x 13维的行向量）转换到PCA子空间（主成分一和主成分二），得到由两个新特征组成的二维样本向量。
投影公式：
代码表示投影公式：
X_train_std[0].dot(w)
同样地，我们可以通过计算矩阵点积将整个124 x 13维的训练数据集转换到两个主成分上：
X_train_pca = X_train_std.dot(w)
最后，让我们在二维散点图中可视化转换后的葡萄酒训练集，该数据集现在是124 x 2维的矩阵：
colors = ['r', 'b', 'g']
markers = ['s', 'x', 'o']
for l, c, m in zip(np.unique(y_train), colors, markers):
plt.scatter(X_train_pca[y_train==l, 0],
X_train_pca[y_train==l, 1],
c=c, label=l, marker=m)
plt.xlabel('PC 1')
plt.ylabel('PC 2')
plt.legend(loc='lower left')
plt.show()
从上述图可以看到，数据在x轴（即第一个主成分）上的分布比在y轴（第二个主成分）上更为广泛，这与我们之前创建的解释方差比的图一致。从上个图我们也可以直观地看到，一个线性分类器能够很好地分离这些类别。
尽管我们在前面的散点图中为了说明目的编码了类别标签信息，但我们必须记住，PCA是一种无监督技术，它不使用任何类别标签信息。
scikit-learn实现PCA
尽管上一节中的详细方法帮助我们了解了PCA的内部工作原理，但现在将讨论如何使用scikit-learn中PCA类。
PCA类是scikit-learn的变换器类之一，我们首先使用训练数据拟合模型，然后使用相同的模型参数对训练数据和测试数据集进行变换。
我们在葡萄酒训练数据集上使用PCA类，并通过逻辑回归对转换后的样本进行分类。
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.decomposition import PCA
# 初始化pca和逻辑回归模型
pca = PCA(n_components=2)
lr = LogisticRegression(multi_class='auto', solver='liblinear')
# 13维数据投影为二维数据
X_train_pca = pca.fit_transform(X_train_std)
X_test_pca = pca.transform(X_test_std)
lr.fit(X_train_pca, y_train)
现在，使用自定义的 plot_decision_regions 函数可视化决策区域：
from matplotlib.colors import ListedColormap
def plot_decision_regions(X, y, classifier, resolution=0.02):
# 设置标签和对应的颜色
markers = ('s', 'x', 'o', '^', 'v')
colors = ('red', 'blue', 'lightgreen', 'gray', 'cyan')
cmap = ListedColormap(colors[:len(np.unique(y))])
# plot the decision surface
x1_min, x1_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
x2_min, x2_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx1, xx2 = np.meshgrid(np.arange(x1_min, x1_max, resolution),
np.arange(x2_min, x2_max, resolution))
Z = classifier.predict(np.array([xx1.ravel(), xx2.ravel()]).T)
Z = Z.reshape(xx1.shape)
plt.contourf(xx1, xx2, Z, alpha=0.4, cmap=cmap)
plt.xlim(xx1.min(), xx1.max())
plt.ylim(xx2.min(), xx2.max())
# plot class samples
for idx, cl in enumerate(np.unique(y)):
plt.scatter(x=X[y == cl, 0],
y=X[y == cl, 1],
alpha=0.6,
c=[cmap(idx)],
edgecolor='black',
marker=markers[idx],
label=cl)# plot decision regions for training set
plot_decision_regions(X_train_pca, y_train, classifier=lr)
plt.xlabel('PC 1')
plt.ylabel('PC 2')
plt.legend(loc='lower left')
plt.show()
通过执行前面的代码，我们看到了训练数据在两个主成分轴上的决策区域。
为了完整起见，让我们也绘制转换后的测试数据集上的逻辑回归决策区域，以查看它是否能够很好地分离类别：
# 绘制测试边界的决策边界
plot_decision_regions(X_test_pca, y_test, classifier=lr)
plt.xlabel('PC1')
plt.ylabel('PC2')
plt.legend(loc='lower left')
plt.show()
上述代码绘制了测试集的决策区域后，我们可以看到逻辑回归在这个小的二维特征子空间上表现得相当好，仅在测试数据集中错误分类了很少的样本。
如果我们对不同主成分的解释方差比感兴趣，可以简单地将PCA类初始化时的 n_components 参数设置为 None，这样就会保留所有主成分，然后可以通过 explained_variance_ratio_ 属性访问解释方差比：
pca = PCA(n_components=None)
X_train_pca = pca.fit_transform(X_train_std)
# 打印所有特征的解释方差比
pca.explained_variance_ratio_
请注意，我们在初始化PCA类时将 n_components 设置为 None，这样它将返回所有主成分，并按顺序排列，而不是执行降维。
结束语
希望你喜欢这篇主成分分析（PCA）降维的教程，本文涵盖了PCA算法背后的数学原理、如何用Python一步步执行PCA，以及如何使用scikit-learn实现PCA。
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