傅里叶变换和傅里叶级数是有史以来最深奥的数学发现之一。它们帮助我们将函数分解为其基本成分。它们揭示了任何数学函数的基本模块，使我们能够利用这些模块来更好地理解和操纵它们。但是，傅里叶级数和傅里叶变换背后的思想究竟是什么，这些 “基本成分 ”又是什么？
基本思想
傅里叶级数和傅里叶变换背后的直觉是相同的：
任何函数都可以写成正弦函数之和。
这个想法如此简单，却又极其深刻。
我们在高中都学过什么是余弦和正弦。它们将直角三角形的角度与两条边长之比联系起来。另一种理解方式是，余弦和正弦分别是绕单位圆移动的点的 x 坐标和 y 坐标。它们是人们能想到的最简单的周期函数之一。
正弦和余弦函数图
余弦和正弦作为绕单位圆运动的点的坐标
由这两个函数组成的和可以表示任何数学函数，这一事实至少让人瞠目结舌。
但是，傅里叶级数和傅里叶变换有什么区别？
傅立叶级数和傅立叶变换的区别在于，前者用于将周期函数分解为正弦和余弦之和，而后者则用于非周期函数。
现在让我们来看看这两种方法分别是如何实现这一目的的。
傅立叶级数
正如我们所说，傅里叶级数用于周期函数。作为快速提示，如果以下条件成立，则称函数 为周期函数，基本周期为 T：
简单地说，这意味着函数以长度为 的固定间隔重复其值。
周期函数举例
最后，我们将周期函数的基频定义为 ，即基频周期的倒数。如果周期告诉我们函数重复的频率，那么频率则告诉我们每单位时间（或函数所依赖的任何其他单位）有多少次重复。
现在我们已经掌握了定义傅立叶级数所需的一切。
傅里叶级数是正弦函数的无限加权和，每个正弦函数的频率都是原始周期函数基频的整数倍（）。
傅立叶级数的公式如下：
周期函数 g(t) 的傅里叶级数展开
初看起来有点复杂，让我们来分解一下。
细分
我们从基本周期为 T 的周期函数 开始。一个是余弦和，另一个是正弦和。这两个和都是加权的，简单地说，就是它们所包含的每个余弦和正弦都有一个系数。在我们的例子中，这些系数分别用符号 和 表示。下标字母 和 是和的计数变量。因此，当 变为 1、2、3 等时，每个余弦的系数就会从 变为 ，依此类推。
最后，在三角函数（余弦和正弦的另一个名称）的内部，我们发现了自变量 （也是初始函数 的自变量）、常数 （由于与对称性有关的原因而存在，但对本文并不重要）以及分母中的基本周期 。您可能已经注意到，我们可以用基频 代替上式中的比率 ，以避免使用分数。
我们在三角函数中遇到的最后一个符号是每个和的计数变量，余弦为 ，正弦为 。它的作用是使无限和中的每个余弦和正弦具有不同的频率。不过，这些频率并非任意频率。它们是初始函数 频率的多个整数，即 。频率以这种方式相关的正弦被称为谐波相关。
计算系数 和 的公式如下。由于它们对于我们的理解没有什么帮助，我们就不多说了。
傅立叶级数三角函数形式的系数
我们完成了！你现在知道如何将任何周期函数展开为余弦和正弦之和了。
傅立叶级数的替代形式（可选）
在开始学习傅里叶变换之前，我想向大家介绍另一种表示傅里叶级数的方法，但却是等价的。具体如下：
傅立叶级数的指数形式
虽然初看起来与我们上面讨论的三角函数形式有很大不同，但实际上是等价的。我们所做的就是利用欧拉公式（它将余弦和正弦与复指数联系起来），以更简洁的形式重写傅里叶级数。现在，我们只有一个和，而不是两个和。
欧拉公式
傅立叶变换
如果您已经理解了有关傅里叶级数的所有内容，那么傅里叶变换就会变得非常简单。这次我们关注的是非周期函数。傅立叶变换的公式如下：
傅立叶变换
傅立叶变换的重要性
傅立叶变换的结果是频率的函数。请记住，希腊字母欧米茄 “ω”用来表示角频率，它是乘积 的别称。当初始函数 是一个时间函数时，傅里叶变换给出了该函数的频率内容。摘自维基百科的一句话：
时间函数的傅里叶变换是频率的复值函数，其幅值（绝对值）代表原始函数中该频率的量，其参数是该频率中基本正弦波的相位偏移。傅里叶变换并不局限于时间函数，但原始函数的域通常被称为时域。
我们可以利用反傅里叶变换找回初始函数：
傅里叶变换和傅里叶反变换
细分
让我们比较一下反傅里叶变换和傅里叶级数。
首先，我们使用复指数来表示正弦函数，而不是使用余弦函数和正弦函数（这会导致两个积分），这样会更加简洁。积分前的系数 1/2π 是为了对称的目的。
我们马上会注意到的另一件重要事情是，我们现在有了一个积分，而不是离散的 “西格玛 ”和。请记住，积分本身也是和，唯一不同的是，在积分下求和的量是连续的，而不是离散的。由于初始函数 现在是非周期的，我们需要所有可能的频率（从负无穷到正无穷）来表示它。在傅里叶级数的情况下，我们只使用 T 的整数倍。由于我们现在没有基本周期 T，我们不得不使用所有的 T。
至于复指数的系数，我们可以得到该函数在每个可能频率 ω 下的傅里叶变换值。正如您所看到的，从傅里叶级数的概念到反傅里叶变换的概念之间存在着明显的一一对应关系。
结束语
正如泰勒级数将函数分解为单项式的无限加权和一样，傅里叶级数和傅里叶变换帮助我们将周期函数表示为正弦波的加权和。正弦波是美妙的函数，在数学意义上很容易操作。如果我们知道一个系统（可以是带弹簧的经典系统，也可以是处理信号的系统或其他任何系统）对正弦波输入的响应，那么我们就可以利用上述思想将任何其他输入表示为正弦波之和。这样，分析的很大一部分就已经完成了，数学也变得简单多了。因此，傅里叶级数和傅里叶变换在电子工程、物理学和生物学等所有科学领域都有大量应用。
