选自《可视化微分几何和形式：一部五幕数学正剧》
如果你把数学理论仅仅看成人类的心智所创造的，是岌岌可危的高耸的建筑物，这就是一桩严重的罪行。追求严格性就好比绞尽脑汁来维持这幢建筑物的稳定，以防整个建筑物在你身旁轰然倒塌。
引领整个数学领域可视化潮流的《复分析》作者特里斯坦·尼达姆认为数学理论只不过是试图获取一个柏拉图式世界的某些侧面，难免会缺少严格性，但只要读者能更直接、愉快地畅游数学世界，严格性缺失的小小代价也无伤大雅。
因此他又写成了一本有“几何味”的“微分几何”，用香蕉、榴莲、西瓜等设计了很多读者可以自己动手的数学实验，被“贝里相位”开创者迈克尔·贝里爵士评论：“我真希望当我还是学生的时候就有尼达姆的这本书。”
作者：特里斯坦·尼达姆
译者：刘伟安
摘自《可视化微分几何和形式》
01
高斯史诗般的探索
1827 年，高斯宣布了 Theorema Egregium（拉丁语，意为“绝妙定理”）．虽然这一年见证了贝多芬的去世，但是这个定理的出现意味着这一年也见证了现代微分几何的诞生．
这个结果在数学和物理学两方面都引发了一些根本性的进展，我们已经谈到了其中的一部分，另一部分则必须等到以后的章节再讨论．1868 年，贝尔特拉米利用这个结果解释了双曲几何就是具有常负高斯曲率的鞍形曲面的内蕴几何，这个解释是关键的一步，为双曲几何被普遍接受铺平了道路．黎曼将高斯的内蕴曲率推广到高维流形．1915 年，爱因斯坦利用黎曼的这个杰作给出了准确表达广义相对论的数学形式．这个表达极其精准、极其优美，其中，引力被理解为物质和能量压在时空中，形成时空内蕴几何里的曲率．
但是，为了正确地理解这个绝妙定理本身，我们将首先讨论它的起源．东布罗夫斯基（Dombrowski, 1979）在这方面做了精彩和深刻的工作，他通过查阅高斯的私人笔记本、给朋友的信和正式出版物，小心地拼凑了一个年表，反映了高斯对微分几何一般见解的发展，特别是对这个定理见解的发展．正如东布罗夫斯基所解释的那样，高斯史诗般的探索始于 1816 年，当时他对曲面的曲率有了一个非局部的发现，既意义深远，也出乎意料．
02
高斯的漂亮定理（1816 年）
高斯是一个不喜欢张扬的人．尽管他在赞扬别人方面很吝啬，但至少他不是个伪君子．直到他死后，他的一系列重大发现都隐藏在他的私人笔记本里，因为他认为这些结果还不够完善，尚不值得公开发表．事实上，他的拉丁文座右铭是 pauca,sed matura，意为“少，但成熟”．1816年的这个非局部的结果就是这些未发表的发现之一．
令人头痛的是，即使在他的私人笔记本里，高斯也没有留下任何线索来告诉人们，他是怎么猜到这个结果的，以及他是怎么证明的，但他激动得异乎寻常地说出了这个名字：
高斯在此所谓的“球面像”指的是曲面经球面映射到S2上的像．图 13-1 用香蕉皮说明了这个定理的意义．我们强烈鼓励你自己试试这个（或类似的）实验．首先，我们从香蕉正曲率的一侧削开一条口，将香蕉从皮里面取出来，保留完整的香蕉皮．在负曲率的一侧画一个逆时针走向的方框，并在这个方框上垂直于香蕉皮插上牙签表示竖起的法向量．
在球面映射下，这个方框被映射为 S2上围出面积为 Af的窄四边形，其边界走向与原像的相反，如图 13-1a 所示．一定要用你的眼睛跟着香蕉皮上方框的走向，确认法向量尖端的走向确实与 S2上像的走向相反．
现在将香蕉的两端向内推，则香蕉皮经历了一个等距变换，我们先前画出的方框就会变形，生成在 S2上更接近正方形的像．根据漂亮定理，这个新的球面像的面积与变形前相同．
这样的实验让我们真实地看到定理 (13.1) 这个潜在的数学真理，着实令人兴奋，但它们说明不了什么．在第四幕，我们将引入平行移动的概念．借助平行移动，能够为漂亮定理提供一个概念性的解释．现在我们只能先承认它，以便推导出后续结果——绝妙定理．
03
高斯的绝妙定理（1827 年）
在发现漂亮定理之后的 10 年里，高斯确实从未就此发表过任何信息．但是，在私下里，他曾多次回顾微分几何和他的漂亮定理，特别是在 1822 年和 1825 年，他写下完整的手稿，然后又突然放弃．最后，在 1827 年，他终于满意了，发表了以这个结果为核心内容的《关于曲面的一般研究》，压抑已久的兴奋得到释放．之前，他曾私下称其为“漂亮定理”，现在，他向全世界宣布“绝妙定理”．
但是，到了这个时候，高斯几乎完全掩盖了他在 1816 年发现非局部结果的痕迹，向世界展示的这个结果的形式纯粹是局部的．只需把漂亮定理中的图形简单地缩小到点 p，就能弄懂他如何得到了这个结果新的局部解释．
设曲面 S 上围绕在点 p 周围的一片面积为，它在 S2上的像是围绕在点 n(p) 周围的一片球面，面积为
．顺理成章地，δA 在 S 的等距变换下是不变的．根据漂亮定理 (13.1)，
也是不变的．因此，立即得到以下绝妙定理：
图 13-2 用另一个香蕉皮说明了这个定理，我们再次强烈建议你自己试试这个实验．将香蕉的两端向里推，看看香蕉皮在点 p 处会发生什么变化：曲率半径 ρ1缩小了（因为这个主方向和香蕉的方向相同），横截痕的曲率半径 ρ2 变大了．按照定理(13.2)，乘积 ρ1ρ2 在香蕉皮弯曲的过程中始终保持为同一个常数．
要验证这个结论，取两段较硬（容易定型）的金属丝，在香蕉上选取一个特定的点，将金属丝弯曲到在特定点的两个主方向上自然地紧贴在香蕉（暂时不要将香蕉从香蕉皮里取出来）表面，得到这个点两个主曲率圆的一段弧．再将这两段弧平放在桌面上，量出它们的半径 ρ1 和 ρ2，得到乘积 ρ1ρ2．然后，请一位朋友将香蕉弯曲，并稳住．你如前面一样，在同一点上让金属丝再次自然地紧贴在香蕉新的弯曲表面上的两个新主方向①上．最后，在实验的误差范围内，验证新的乘积 ρ1ρ2 和前面一样．
这里的“弯曲”意为连续变形，但这不是定理的实际要求：确实存在一些等距变换，不能用平缓、连续的等距变形来实现．根据定理，这样的等距变换仍然保持曲率不变．
我们通过亚历山德罗夫著作（Aleksandrov, 1969, 第 101 页）中的一个例子来说明这一点．图 13-3 是亚历山德罗夫的手绘原图．图 13-3a 描绘了一个环形槽，想象它被放在一个平面上，与平面接触的是圆周C．将环形槽沿圆周 C 剪成两部分，再将外半圈翻过来与内半圈粘到一起，得到图 13-3b．显然，新曲面与原曲面是等距的，但是直观上明显可知（而且可以证明），如果原曲面是刚性的，就不可能在没有拉伸的情况下弯曲成新曲面．注意，如果是一个直槽（半圆柱面），就可以在没有拉伸的连续变形下得到新曲面．
当谈到弯曲时，“曲面”一词在物理学和数学中是不同的．一个物理的曲面，无论多么薄，实际上都不可能在没有拉伸的情况下弯曲．例如，取一张矩形的纸，把它卷起来，再将卷到一起的两条边用胶带粘起来，得到一个圆柱面．纸原来的边长是相等的，但是圆柱面的外周长要比内周长稍微长一点儿，所以外侧一定受到拉伸，在材料内就产生了张力．正是出于这个原因，当我们将胶带取下时，纸张会自己弹回原来的平面状态．只有在数学中，曲面是没有厚度的，可以在没有拉伸的情况下弯曲．
高斯的结果 (13.2) 已经是绝妙的了，但还有进一步的发展．绝妙定理说实际上是曲率的内蕴度量，自然要问：它与第 19 页式 (2.1) 高斯曲率
的最初内蕴定义有什么关系？当时是用单位面积的角盈来定义的，也就是
高斯的答案更加绝妙：
根据这个结果，我们能够忽略曲率这两种定义方式的差异，可以直接称其为曲面的曲率 ，以下就这样做了．
至于漂亮定理，这个精彩结果最简单、最一般的证明还要等到第四幕引入平行移动之后再介绍．然而，在下一章中，我们将能够通过一个涉及多面体的有限论证来使这个结果更具可信性．
下面，我们要来验证结论 (13.3) 对一些特殊曲面的有效性．对于这些曲面，我们已经通过计算知道了它们的外在主曲率和内蕴高斯曲率．
在历史上和数学中，这 5 种曲面都非常重要，所以我们将它们逐个单独叙述，但事实上，所有这 5 种曲面都服从结论 (13.3) 的事实可以一并表述如下．
《可视化微分几何和形式：一部五幕数学正剧》
作者：[美]特里斯坦·尼达姆（Tristan Needham）
译者：刘伟安
1.旧金山大学数学系教授，理学院副院长，牛津大学博士，与霍金齐名的诺奖得主罗杰·彭罗斯弟子特里斯坦·尼达姆经典巨作！
2.200多幅手绘示意图，将“微分几何”回归为“几何”，运用牛顿的几何方法对经典结果做出了几何解释。
3.原著豆瓣高达9.9分！被认为是“小说一般流畅的数学教材！”
4.译者为国内著名偏微分方程专家，武汉大学原校长齐民友老师弟子、武汉大学数学教授刘伟安老师。
《复分析：可视化方法》
作者：[美]特里斯坦·尼达姆
译者：齐民友
本书用一种真正不同寻常的、独具创造性的视角和可以看得见的论证方式解释初等复分析的理论，公开挑战当前占统治地位的纯符号逻辑推理。
本书是在复分析领域产生了广泛影响的一本著作。作者独辟蹊径，用丰富的图例展示各种概念、定理和证明思路，十分便于读者理解，充分揭示了复分析的数学美。
张景中院士作序
《思考的乐趣》《浴缸里的惊叹》作者Matrix67强力推荐
了解数学悖论与三次数学危机，感知数学的趣味与变迁，知其然知其所以然
《唤醒心中的数学家：帮你爱上数学的生活手账》
作者：[美] 苏珊·达戈斯蒂诺（Susan D'Agostino）
译者：何婧誉
01
趣味小说+物理科普！
让你爱上物理的有趣的话题：跷跷板的原理是什么？为什么“大漠孤烟直”不总是对的？为什么太阳会变成弯弯的？时间是什么？为什么杯口的水是弧形的？为什么瓶底的番茄酱不好倒？为什么空调必须安装在高处？为什么说宇宙是“一锅热汤”？
理论物理学博士、百万粉丝（@弦论世界）科普达人周思益的物理启蒙书，带你发现隐藏在生活中的物理之美。
李 淼 王 一 袁岚峰 严伯钧 李永乐 朱一明 妈咪说MommyTalk 联袂推荐
02
《费曼传：天才的人生与思想世界》
作者：[美] 詹姆斯·格雷克 译者：高爽 赵晓蕊
他是天才，更是众人难以企及的“魔法师”，总有新点子来解决难题；
他凭着一股“超能力”，在游戏的精神和探索的智慧之间自如穿梭；
令人目眩的人生经历、率真的态度、永不枯竭的热情，他是科学家们的偶像；……
这就是费曼——好奇的大男孩、多情的爱人、诺贝尔奖得主、原子弹制造者、“挑战者号”事故调查委员、邦戈鼓手、开锁大师……他为20世纪的物理学开辟了一条非凡的道路。从顶级科学家到满怀好奇的大众，在他参与的每一件事和接触过的每一个人身上，费曼都留下了非凡的印记。
03
《物理是什么》
作者：朝永振一郎 译者：周自恒
诺贝尔物理学奖得主、知名物理学家朝永振一郎科普作品，日本物理学启蒙名作。
本书为著名日本著名物理学家、诺贝尔物理学奖得主朝永振一郎先生的物理启蒙科普作品，书中以思索“物理是什么”为线索，以宏阔视野、精深笔触，通俗讲述了从早期哲学思辨到炼金术、占星术，再到近代科学的物理体系的发展，并重点讲解了物理发展过程中的核心原理。
04
《科学的画廊：图片里的科学史》
作者：约翰•D. 巴罗 译者：唐静 李盼
欣赏包罗万象的艺术珍宝，见证科学发展史中一座座里程碑，领略科学的美感和力量。讲述人类如何通过视觉艺术展现自己的思维火花，再现自然的壮美，见证科学发展史中一座座里程，再现人类思想的高光时刻。
本汇集了200余幅科学史上的图片，这些图片代表着科学发展史中一个又一个里程碑。从简单的图表到第一张世界地图，从手绘图、照片到计算机成像，本书回顾了天文学、数学、物理学、化学、生物学等领域的历史转折点，以图片讲解知识，展现人类科学思想发展史中的高光时刻。
01
《数学的雨伞下》
作者：[法] 米卡埃尔•洛奈（Mickaël Launay）
译者：欧瑜
===============
科学，人类引以为傲的智慧结晶。而改变时代、推动历史进程的大科学家们，如同智慧之光，照亮万古长夜。
而数学家高斯说：“数学是科学的女王。”物理学家爱因斯坦说：“数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有数学，它们无法达到这样的可靠程度。”
数学是宇宙的语言，从厨房的水龙头到使电视机正常播放的家庭卫生，甚至在路边买菜，数学无处不在。今天，信息技术已经被广泛应用到生活每一个角落，而这些成果的幕后英雄，正是数学！
因此，伟大的数学家，被载入史册，永远被后人铭记。今天推荐的20本数学家相关著作，不仅仅展现他们在伟大时刻的思考，也同时贯彻着他们一生的思维方式，这将成为所有人的宝藏。学好数学的前提，是学会数学的思维。
01
《改变世界的17个方程》
作者：[英] 伊恩•斯图尔特
译者：劳佳
•英国数学科普名家伊恩•斯图尔特经典名作，译为多国语言
•李永乐推荐科普名作，“欧拉图书奖”获奖作品
•美国数学学会（AMS）&美国数学协会（MMA）联袂推荐
了解世界运转的深层道理，看懂科学发展的规律
方程是一首首数学的诗，言简意赅，却充满意义。阐释自然与社会现象，连接数学与物理现实，是方程的力量与美之所在。
02
《数学那些事：伟大的问题与非凡的人》
作者：威廉·邓纳姆
译者：冯速
无需动用纸笔，纵览数学世界不可不谈的伟大定理、难题和争论；好奇心大满足，纵览数学的核心知识和历史八卦。
本书是一部短文集，文章以各自英文标题的首字母按照A到Z的顺序排列，每一篇短文都讲述了一个特定的数学主题，介绍了数学世界不可不谈的伟大定理、难题、争论和不解之谜。
03
《微积分溯源：伟大思想的历程》
作者：戴维·M. 布雷苏
译者：陈见柯 林开亮 叶卢庆
从古希腊、古埃及、古印度、中国和欧洲等地的微积分思想，到牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、黎曼等伟大数学家的辉煌成就，看一看微积分这座“数学宝藏”是如何被塑造成今天的模样的。
04
《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》
作者：邓纳姆
译者：李伯民 汪军 张怀勇
本书荣获“第七届文津图书奖推荐书目”。
这不是一本数学家的传记，而是一座展示微积分宏伟画卷的陈列室。书中的每一个结果，从牛顿的正弦函数的推导，到伽玛函数的表示，再到贝尔的分类定理，无一不处于各个时代的研究前沿，至今还闪烁着耀眼夺目的光芒。
05
《不可能的几何挑战：数学求索两千年》
作者：大卫•S. 里奇森
译者：姜喆
数学历史新角度，作者旁征博引，发掘了之前数学书未曾留意的历史细节。
本书以数学史上四大著名的“古典问题”——化圆为方、倍立方、作正多边形、三等分角为基础，展现了两千多年来，数学家们为解决这些问题而留下的令人拍案叫绝的思想与成就。
06
《贝叶斯的博弈：数学、思维与人工智能》
作者：黄黎原
译者：方弦
法国数学类科普书、大学数学参考及教材类图书畅销书目，在机器学习、人工智能、逻辑学和哲学等众多领域中，探索贝叶斯定理蕴藏的智慧与哲理。
贝叶斯定理一旦与算法相结合，就不再是一套枯燥的数学理论或认识论，而变成了应用广泛的知识宝库，催生了众多现代数学定理，以及令人称道的实践成果。
07
《代数的历史：人类对未知量的不舍追踪（修订版）》
作者：约翰·德比希尔
译者：张浩
更严谨、更翔实、更好读，全面展现代数自诞生至今的面貌。
这是一部恢宏的数学史和人类思想史，一本阐明代数基本知识的“数学入门书”，一册数学家的趣味故事集。
08
《最后的数学问题》
作者：马里奥·利维奥
译者：黄征
畅销世界的数学哲学史经典著作，科学和哲学巨匠们充满智慧的传奇故事，数学、物理、天文学和哲学的恢弘历史画卷。
本书讲述了数学概念的演化过程，引经据典地从哲学、历史、文化角度全方位地探讨了数学的本质，揭示了数学与物质世界、与人类思维之间的微妙关系，讨论了困惑几代思想家的重大问题，讲述了数学、哲学和物理学巨匠们的生活经历与思想。
09
《悠扬的素数：二百年数学绝唱黎曼假设》
作者：马库斯•杜•索托伊
译者：柏华元
牛津大学数学教授，英国皇家学会研究员马库斯•杜•索托伊科普力作，带你一同探索黎曼假设，讲述数学家求知路上的苦与乐。
黎曼假设，即素数的未解谜题，被视为数学研究的“珠峰”，吸引了一代代数学家投身于数论研究中，其中不乏数学史上大名鼎鼎的人物。而破解这一谜题过程中的发现，已经给电子商务、量子力学和计算机科学等领域带来了举足轻重的影响。
10
《世界是概率的：伊藤清的数学思想与方法》
作者：[日]伊藤清
译者：刘婷婷
伊藤清是如何学习和思考数学的？
数学家如何看待“纯粹数学与应用数学”“直观与逻辑”？
现代概率论是如何一步步发展起来的？
沃尔夫奖、高斯奖得主，现代随机分析之父日本数学大家伊藤清
讲述数学思想与方法 激发关于概率与世界的深层呈现日本数学发展的另类线索
11
《数学与创造：广中平祐自传》
作者：广中平祐
译者：逸宁
菲尔兹奖、日本学士院奖、日本文化勋章得主日本数学大家广中平祐亲笔自传
作者以解决“奇点解消问题”的故事为线索，讲述了自己如何学习数学、走上数学研究道路的历程，分享了在挑战数学难题过程中的思考方法与感悟，并就“数学与创造”“创造与情绪”“分析与大局观”等话题做了深入阐述。
12
《春夜十话：数学与情绪》
作者：冈洁
译者：林明月
天才数学家的极意文集、影响几代人的不朽名作。
本书从“情绪与心智”的角度，论述了认知发展、义务教育中的深层问题，同时阐述了对人性的细微考察与独到理解，是一本影响了日本几代人的经典名作。
13
《一个定理的诞生：我与菲尔茨奖的一千个日夜》
作者：塞德里克•维拉尼
译者：马跃 杨苑艺
畅销世界的当代数学家传记，知名数学家塞德里克·维拉尼荣膺菲尔茨奖的精彩历程，真切感受数学研究生涯的艰辛与乐趣，了解数学家的日常工作与思维方式。
14
《牛顿传：科学天才的浮生一梦》
作者：詹姆斯•格雷克
译者：欧瑜
文津奖获得者、科普作家、百万级畅销书作者詹姆斯·格雷克所著传记，故事、历史与科学的结合，展现牛顿辉煌的科学成就，剖析其鲜为人知的内心世界。
在这本传记中，格雷克借助牛顿的重要信件和未出版的笔记，记述了这位科学界最伟大人物之一的生活经历、与他有关联的人物，以及对他产生影响的重要事件，并勾勒出他所处的历史时期的全貌。
15
《我只会算术：小平邦彦自传》
作者：[日]小平邦彦
译者：尤斌斌
小平邦彦“抄书学数学”的传闻是真的吗？宽松的教育，是否会影响思考能力，又该如何改善？日本的现代数学研究是如何传承和发展的？
菲尔兹奖、沃尔夫奖、日本文化勋章得主日本数学大家——小平邦彦， 亲笔自传
澄清“抄书学数学”之传言，评判日本“宽松教育”的利弊得失
还原“懒惰凡人”到“菲尔兹奖得主”的真实样貌
讲述小平邦彦的数学学习心得与感悟，展现日本数学与科学发展的隐性脉络
16
《一个数学家的辩白（双语版）》
作者：戈弗雷·哈罗德·哈代
译者：何生
英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代的经典名篇，被称为是“用优雅的语言对数学真谛进行了完美的揭示”。
本书是哈代于1940年写成的心得之作，展现了数学之美、数学的持久性和数学的重要性三大主题。
17
《一个应用数学家的辩白》
作者：[美]劳埃德•尼克•特雷费森（Lloyd Nick Trefethen）
译者：何生
1940年，哈代出版了《一个数学家的辩白》，这是一位领先的纯数学家对数学的沉思。82年后，《一个应用数学家的辩白》是一位具有哲学倾向的数值分析师的沉思，也是他的个人回忆录。作者在数值分析的工作中找到了极大的乐趣，但对它与其他数学领域的关系感到困惑。本书更准确的书名应该是《一个数值分析师的自白》，它包含更多的传记材料和更多的数学内容，尤其是在后半部分。但两本书的目的是相同的，都是从作者自己的角度对数学进行严肃的沉思。
物理学
18
《费曼传：天才的人生与思想世界》
作者：[美] 詹姆斯·格雷克
译者：高爽 赵晓蕊
中国文津图书奖得主、美国国家图书奖得主詹姆斯•格雷克新作《费曼传：天才的人生与思想世界》，有趣的灵魂，天才的魔术师，科学家们的偶像，盛名之下理查德·费曼的真实人生。
他是天才，更是众人难以企及的“魔法师”，总有新点子来解决难题；
他凭着一股“超能力”，在游戏的精神和探索的智慧之间自如穿梭；
令人目眩的人生经历、率真的态度、永不枯竭的热情，他是科学家们的偶像；
……
这就是费曼——好奇的大男孩、多情的爱人、诺贝尔奖得主、原子弹制造者、“挑战者号”事故调查委员、邦戈鼓手、开锁大师……他为20世纪的物理学开辟了一条非凡的道路。从顶级科学家到满怀好奇的大众，在他参与的每一件事和接触过的每一个人身上，费曼都留下了非凡的印记。
教材
19
《复分析：可视化方法》
作者：[美]特里斯坦·尼达姆
译者：齐民友
本书用一种真正不同寻常的、独具创造性的视角和可以看得见的论证方式解释初等复分析的理论，公开挑战当前占统治地位的纯符号逻辑推理。
本书是在复分析领域产生了广泛影响的一本著作。作者独辟蹊径，用丰富的图例展示各种概念、定理和证明思路，十分便于读者理解，充分揭示了复分析的数学美。
20
《可视化微分几何和形式：一部五幕数学正剧》
作者：[美]特里斯坦·尼达姆（Tristan Needham）
译者：刘伟安
尼达姆新作上市！
1.旧金山大学数学系教授，理学院副院长，牛津大学博士，与霍金齐名的诺奖得主罗杰·彭罗斯弟子特里斯坦·尼达姆经典巨作！
2.200多幅手绘示意图，将“微分几何”回归为“几何”，运用牛顿的几何方法对经典结果做出了几何解释。
3.原著豆瓣高达9.9分！被认为是“小说一般流畅的数学教材！”
4.译者为国内著名偏微分方程专家，武汉大学原校长齐民友老师弟子、武汉大学数学教授刘伟安老师。
