数学多元论与贝纳塞拉夫问题
数学多元论(Mathematical Pluralism)是近年来数学哲学中逐渐流行的哲学立场。数学多元论有不同的表述，主要可分为实在论和反实在论意义上的多元论，本文关注的主要是实在论意义上的多元论。根据这种实在论立场，任何一致的数学理论都刻画了本体论上具有相同地位的柏拉图世界，其最典型的形态是集合论中的多宇宙论(Set-theoretic Multiversism)。①与哥德尔(K.Gödel)和武丁(W.H.Woodin)等人所主张的单宇宙论(Universism)(参见Gödel；Woodin)不同，多宇宙论者认为存在多个甚至无穷个宇宙：V[,1]，V[,2]，……这些集合宇宙与传统的单宇宙V具有相同的本体论地位。它们的存在不仅可以解释许多数学结果(如独立性问题)，而且在哲学上可以解决传统的单宇宙论所面临的著名的认识论问题——贝纳塞拉夫问题。
初始一致性(primitive consistency，以下简称“一致性[,p]”)：对任何一个数学理论T，T的一致性是确定的。
需要再次强调的是，一致性[,R]和一致性[,p]分别是由一阶逻辑的完全性推导的：如果一个理论是真的，则存在满足这个理论的模型(我们需在元理论中给出这个模型的性质)；而如果存在满足这个理论的模型，则说明这个理论是一致的。在这里我们排除不一致的理论，我们规定一个不一致的数学理论是错误的、不可欲的(undesired)，譬如，素朴的集合论是错误的、不可欲的数学理论。另外，二阶逻辑的不完全性定理告诉我们，存在许多一致的数学理论，它们没有相应的模型。本文将不讨论这两种复杂的情况。
我们在下一节将论证一致性[,R]不能解决(菲尔德表述的)贝纳塞拉夫问题；在第五节论述相对多元论必然会坍塌到极端多元论，一致性[,p]必然会坍塌到一致性[,R]，因此相对多元论也无法解决(菲尔德表述的)贝纳塞拉夫问题④。
三
极端多元论与贝纳塞拉夫问题
根据第一节的分析，认识论上，极端的多元论者需要解释如下可靠性断定*：
可靠性断定*：如果数学家A一致[,R]地相信(或想象)命题p，那么p为真。
而根据上一节的论述，p命题的一致性[,R]需要借助某个理论T的一致性[,R]，后者则需另一个理论T*的一致性[,R]，如此以至无穷，因此这种一致性不是一个稳定的概念。换言之，诉诸一致性[,R]，我们至少需要知道T∪｛p｝是一致[,R]的，但要知道后者的一致性[,R]，或者需诉诸另一个更大的理论T*的一致性[,R]，或者需知道数学理论T是真的；前者会导致无穷后退，后者会使得一元论面临的贝纳塞拉夫问题重新出现。极端的多元论者可以选择在无穷序列T[,1]，……，T[,n]，……的某个点上停下来，但除非诉诸神秘的官能，这种解释并没有缓解“一致性[,R]”的不稳定性。
极端多元论的另一个问题是，p的一致性[,R]对理论T的一致性[,R]的依赖，会使信念p与事实p不能一一对应，因此我们并不能获知此命题所描述的抽象宇宙的任何信息。举例而言，假设张三从来没有去过新疆某个小村庄，也不可能通过其他间接的方式知道那里的一切，但是她宣称自己知道那里发生的一切。假设那个小村庄确实发生了张三所说的一切，这十分令人惊讶。按照菲尔德的表述，张三必须解释她的信念p与事实p是如何对应的，否则一切仅仅是机缘巧合。根据多元论者，只要张三能够一致地想象新疆的那个小山村发生的一切，那么她就会立即知道那里发生的一切，因为任何一致的理论或命题都对应着某个确定的世界。在这里，我们注意到，即使诉诸一致性[,R]，多元论者也必须坚持信念p与事实p总存在某种对应，或者至少固定信念p与事实p的关系，但事实并非如此。
根据极端多元论的主张，要一致[,R]地想象新疆小山村发生的一切，张三必须知道另一个事件的一致性[,R](比如美国国会在2021年3月14日发生的一切)，而要知道后者，她必须诉诸更多句子的一致性[,R]。因此仅仅通过想象新疆小山村发生的一切，张三固定不了这个想象对应的事实，或者至少有无穷个事实以析取的形式与此信念相对应。假设p命题为〈新疆某山村发生的一切〉，那么信念p实际对应的事实如下：p∨q∨r∨……因此，通过一致性[,R]概念，极端多元论并不能确定信念p与事实p发生一一对应。这表明，可靠性断定*很可能是错误的。
同理，我们假设李四一致[,R]地相信某个背景理论T所刻画的宇宙V[,1]，根据极端多元论，只有V[,1]的一致性才能确定ZFC+A与ZFC+B所刻画的那些多宇宙，姑且称这些多宇宙为c[,0]。因此c[,0]的范围取决于V[,1]。但是依赖一阶公理化的表达方式，李四如果将自己限制在指称模型中，挑选出一个确定的宇宙V[,1]是不可能的。她必须诉诸另一个集合论所刻画的宇宙V[,2]，V[,2]决定了包含V[,1]在内的那些多宇宙c[,1]。c[,1]的范围取决于V[,2]。同理，c[,2]的范围取决于V[,3]，如此，李四不得不选择一个非良基(nonwell-founded)的依赖链。这个依赖链可以通过图1表示。
因此，极端多宇宙论面临着如下困境⑤：要表述诸如ZFC与连续统假设(Continuum Hypothesis，以下简称“CH”，即在自然数集与实数集之间不存在其他基数)的并集和其补集刻画的宇宙具有相同的本体论地位，即ZFC∪｛CH｝与ZFC∪｛¬CH｝所刻画的宇宙具有相同的本体论地位，极端多宇宙论必须诉诸背景理论T的一致性[,R]。但诉诸一致性[,R]，她不能确定信念p所对应的世界p，因此可靠性断定*是错误的。如果可靠性断定*错误，即使将可靠性断定转移到可靠性断定*是合法的，极端多宇宙论也并不能有效地解决贝纳塞拉夫问题。
图1
极端多元论非良基的依赖链
当然多元论者还存在另一个选择——相对多元论。这也是巴拉格尔的基本主张，在他看来，多元论者可以通过选择一致性[,p]而避免上述困境⑥：“没有什么东西可以阻止柏拉图主义者按照反柏拉图主义者那样理解一致性。所以，也没有什么东西可以阻止他们像反柏拉图主义者那样解释一致性的知识。”(Balaguer，1995，p.319)
巴拉格尔这里所说的反柏拉图主义者主要是菲尔德。根据菲尔德的唯名论主张，数学对象不存在，因此唯名论者不需要解释可靠性断定。但是在理论的意义上，这并没有成功解释数学知识是什么以及它是如何可能的。菲尔德将数学知识等同于经验知识+逻辑知识，而后者即是从某个数学系统的公理出发推导定理的知识，而要解释这种推理是如何可能的，菲尔德认为唯名论者只需要借助初始的模态概念，亦即初始一致性(一致性[,p])。巴拉格尔以上表述暗示了，如果唯名论者借助一致性。解释数学知识(即逻辑知识)是如何可能的，那么多元论者也可以借助一致性[,p]解释数学知识的可能性。因此，对相对多元论者而言，贝纳塞拉夫问题的解决依赖如下可靠性断定[.#]的解释：
可靠性断定[.#]：如果数学家A一致[,p]地相信(或想象)命题p，那么p为真。
现在的问题是，(1)依赖唯名论者的一致性概念“一致性[,p]”，相对多元论是否可以完全摆脱解释“一致性”概念的任务?换句话说，我们如何解释关于某个理论T的一致性[,p]信念本身的可靠性?(2)一致性[,p]是不是稳定的，以及由此可靠性断定[.#]是否正确。这两个问题都会影响对贝纳塞拉夫问题的解决。⑦在这里让我们假设我们关于某理论T的一致[,p]的信念的解释是可能的，本文的重点是回应问题(2)。接下来的论证将告诉我们，与一致性[,R]类似，一致性[,p]也不稳定，其主要原因是一致性[,p]会坍塌为或还原到一致性[,R]。
四
坍塌论证
也就是说，如果相对多元论正确，那么ZFC将会同时一致与不一致：ZFC一致，是由相对多元论的定义要求的，我们必须固定作为背景的集合论的一致性，否则无法表述多宇宙观；ZFC不一致，是由相对多元论和哥德尔定理共同导致的。因为哥德尔定理不容置疑，根据归谬原则，我们似乎只能得出相对多元论是错误的。为了避免这一致命性的挑战，在笔者看来，相对多元论者只能选择如下两种方案：(1)否认的一致性，根据双重否定规则，则
一致；(2)承认ZFC的一致性是不确定的。⑨
方案(1)的问题：第一，否定否定一致这种做法是任意的、无原则的；第二，因为只有在确保复杂度为∏[.0][,1]-的算术句子是可靠[,s]⑩的，我们才可以证明，如果ZFC一致，
是一致的。(参见Smith)但要确保∏[.0][,1]-算术句子(如“CON[,ZFC]”)的可靠性[,s]，多元论者只能从一阶逻辑上升到二阶逻辑。现在的问题是，如果多元论者可以通过二阶逻辑保证某个算术句子的可靠性[,s]，为什么不直接选择二阶逻辑来确保CH的确定性?根据准范畴性定理(Quasi-Categoricity Theorem，即对任何一个二阶理论T的两个模型M[,1]和M[,2]，或者M[,1]和M[,2]是同构的，或者一个同构于另一个的前段)，所有满足CH的模型都是同构的，所以CH的真值是确定的。但是这似乎直接论证了多宇宙论方案即使不是错误的，至少也是多余的，因为大多数独立性问题都会在二阶逻辑中得到解决。因此选择(1)的多元论者面临着如下两难困境：一方面，选择
一致这种做法是任意的；另一方面，要避免任意性，她似乎需要承诺二阶理论的(准)范畴性定理，但选择后者意味着对多宇宙论方案的抛弃。
方案(2)也存在两个问题。第一，承认ZFC的一致性不确定这种做法会违背哥德尔定理。第二，要挽救哥德尔定理，相对多元论者可能的辩护如下：“ZFC为真(或一致)”无非表达了所有的 ZFC定理是真的(或一致的)。而要保证全部ZFC的定理是真的，相当于说ZFC所有的公理是真的，且推理规则是保真的。让我们将ZFC与其反映原理(reflection principle，即句子“ZFC的所有定理是真的”)构成的理论称作ZFC[.RP]。上述反映原理中的真谓词既可以是经典逻辑中的，也可以是非经典逻辑中的。使用经典逻辑的真谓词，我们当然可以在ZFC[.RP]中证明CON[,ZFC]，但是ZFC[.RP]本身的一致性问题会重复出现，上述反驳依然适用。现在假设ZFC[.RP]的真谓词是非经典意义上的，根据对非经典真谓词的公理化，ZFC的不一致性是不确定的。(参见Kripke；Field，1994；Halbach)因为ZFC的一致性具有不确定性，要确保ZFC的一致性，多元论者可以诉诸另一个数学系统T[,1]的一致性。而要保证 T[,1]的一致性，她只需诉诸T[,2]的一致性，如此以至无穷。但是通过这种方法，相对多元论会走到极端多元论。
综上所述，通过走向极端多元论，相对多元论可以避免其立场的不一致性。但与此同时，一致性[,p]会坍塌到一致性[,R]。因此，如果我们上一节的论证正确，诉诸一致性[,R]会导致无穷后退，那么诉诸一致性[,p]也会陷入无穷后退。如果一致性[,p]也不稳定，那么贝纳塞拉夫问题依然没有得到有效的解决。
现在，相对主义者可能反驳说：“你应该区分单个命题的一致性[,p]和一个系统(如ZFC)的一致性[,p]，我承认我对ZFC的一致性[,p]概念会陷入一致性[,R]，但是这并不适用于单个命题，比如我可以一致[,p]地相信1+1=2，根据多元论，这足以保证1+1=2对应于一个客观事实。”在这个反驳中，我们注意到相对主义者使用了算子“根据多元论”。但是如果上述坍塌论证正确，诉诸这个算子无非是诉诸“根据相对多元论”，因此它等同于“根据极端多元论”。因此，这个反驳的成立预设了某个数学理论的一致性[,R]，根据第三节的论证，这个概念是不稳定的。
五
代数性多元论
在这一节，我们考察多元论者可能选择的另一条出路——代数性多元论(algebraic pluralism)。我们将论证代数性多元论虽然可以防止无穷后退，固定多元论的立场，但代价是牺牲了多元论相对于传统一元论在认识论上的优势。
按照夏皮罗(S.Shapiro)的区分，当代的数学基本上可以区分为代数性数学(algebraic mathematics)和非代数性数学(non-algebraic mathematics)。(参见Shapiro)代数性数学(如群、环、域和拓扑)的主要特征是：一旦一个数学结构被某个公理刻画，就不存在这个结构是否标准，或是否为数学家意向的事实。正如“没有人会担心乘法交换公理独立于群公理。这是因为根据所有的说法，群理论并不是关于同构意义下唯一的(unique up to isomorphism)某个单一的结构的理论；相反，群是关于一类结构的理论”(同上，pp.40-41)，同理，代数性数学研究的不是同构意义下唯一的某个单一结构的理论，而是任意一个由某个公理系统规定的结构。和代数性数学不同，非代数性数学研究的主要对象是某个具体的数学结构(或者那些同构的类型)，典型的非代数性数学包括算术、集合论和实分析等数学分支。在这些数学分支中，我们经常听到数学家描述他们意向中的数学对象是如何的，它们是通过哪些同构的模型得到刻画的。在这部分数学中，“自然数或者集合是什么”是十分重要的问题。
现在假设这个区分成立，多元论者可以使用代数性数学说明ZFC+CH和ZFC+¬CH之间的差异，这样他们就不需要诉诸模型论或者一致性概念，上述无穷倒退的反驳也将不复存在。有趣的是，认为ZFC+CH和ZFC+¬CH之间的差异类似于代数性数学之间的差异，似乎也能在汉米肯斯和巴拉格尔那里找到依据。
比如汉米肯斯认为，集合论研究与群、环、域等抽象代数的研究一样(11)，它们都研究某些由公理刻画的结构：
集合论研究的基础对象已经变成了集合论的模型，集合论学家敏捷地从一个模型转移到另一个模型。正如群论学家研究的是群，环论学家研究的是环，拓扑学家研究拓扑空间，集合论学家研究的是集合论的模型。(Hamkins，p.418)
同样，巴拉格尔认为多元论者可以选择公理-系统-差异的情况(the-different-axiom-systems situation)来说明ZF+CH和ZF+¬CH的差异：
两位数学家M1和M2，正在“做着关于集合论某些公理系统的游戏”。M1研究的是系统ZF+ CH，她显然不想尝试研究“唯一的集合论宇宙”，或者尝试理解我们关于集合的直观概念，她只希望探索被ZF+CH所刻画的分层结构(hierarchies)。同样，M2研究的系统是ZF+¬CH，他显然不想研究“唯一的集合论宇宙”，或者尝试理解我们关于集合的直观概念，他只希望探索被 ZF+¬CH所刻画的分层结构。所以对M1而言，她意向中的结构是那些被ZF+CH所刻画的结构；对M2而言，他意向中的结构是那些被ZF+¬CH刻画的结构。所以在M1口中，ZF+CH是真的；在M2口中，ZF+¬CH是真的。我们得到数学多元论，是因为我们有两个人在做着关于不同公理系统的游戏。(Balaguer，2016，p.392)
科尔纳在考察汉米肯斯的上述主张时指出，使用代数性数学表述多元论的一个主要问题是与当今数学实践中大家默认的观点(default view)不相符。根据默认的观点，在集合论实践中，数学家“在研究集合”，因此“仅仅存在模型论不足以削弱大家默认的观点”。(参见Koellner，2013，p.13)同理，使用公理-系统-差异这种模型，可能与数学家默认的观点不相符。但是让我们暂时撇开这个社会学问题，也许集合论和算术原则上都可以还原为代数性数学，这样就可能存在一种代数解释下的数学多元论。根据这种多元论，数学家研究的仅仅是那些为特殊公理所刻画的数学结构，而非意向中的数学对象。我们将这种多元论表述如下：
代数性多元论：对任意的结构S[,1]与S[,2]，它们分别由公理A与B所刻画。如果A与B都一致，那么S[,1]与S[,2]都是合法的数学结构。
根据代数性多元论，集合论不再是对集合本体(ontic)的研究，即不再是对数学对象指称问题的研究，因为本体和指称对于代数性数学是陌生的概念。因此追问一个集合是否存在是没有意义的，“指称的问题由此消解了：我们甚至不能作出合适的断定用来评价指称”(Barton，p.28)。但如果数学研究的不再是指称问题，且一元论者或单宇宙论者也选择这种数学基础，那么在何种意义上贝纳塞拉夫问题对他们构成挑战呢?
让我们首先从贝纳塞拉夫原初的表述开始，根据这个表述，柏拉图主义者需要解释我们关于数学对象的知识是如何可能的。这个表述预设了指称概念。现在让我们假设单宇宙论者也选择代数性数学，将集合论处理为一种代数，因为指称问题由此被取消，对他们而言，贝纳塞拉夫问题也将会自行消失。
其次，让我们考察代数性的一元论者如何面对菲尔德表述的贝纳塞拉夫问题。根据第一节的论述，一元论者需要解释如下可靠性断定：
可靠性断定：如果数学家A相信p，那么p是真的。
现在假设一元论者也采取代数性数学，命题p不指称任何具体的(柏拉图)世界，它的真仅仅由某些公理所刻画。正如数学家只要知道群的公理，就知道群代表什么。对代数性一元论者而言，他们只需要知道这些公理，就知道这些数学句子的真，因此可靠性断定的解释对一元论者来说是平凡的(trivial)。值得注意的是，菲尔德也承认，如果一元论者可以解释如下可靠性断定[.＠]，那么他们就成功地回应了贝纳塞拉夫的挑战。
可靠性断定[.＠]：如果数学家A相信公理p，那么p是真的。
因此贝纳塞拉夫问题(无论是贝纳塞拉夫原初的表述还是菲尔德改善的表述)对所有柏拉图主义者都将不再构成挑战，他们可以平凡地解释任何数学信念的可靠性。但是这种平凡性也取消了多元论之于一元论，或多宇宙论之于单宇宙论的任何优势，它们不仅不能在认识论上优于后者，而且很可能在数学结论上也会导致相同的结果。当然，要论证代数性一元论和代数性多元论在数学结论上没有差异，是个复杂的问题，我们不在本文考察这个问题。
这里需要注意的是，在可靠性断定[.＠]中的公理很可能是无穷的，而有些含有无穷公理的系统(比如皮亚诺算数系统)原则上如果不上升到二阶逻辑，就很难还原为有穷的公理系统。而在认知上有穷的我们很可能无法知道无穷多的公理。在这种意义上，虽然代数性的多元论者和一元论者不再面临贝纳塞拉夫问题，他们可能面临新的认识论挑战。当然，如果大家都选择有穷公理化的路径，这个方法很可能对多元论是不利的。比如像我们前一节论述的，在二阶的ZFC系统中，很多独立性问题会得到解决，而这对多元论是不利的。但要详细考察这个问题需要讨论更多的问题，限于篇幅，我们将停在这里。(参见Burgess and Rosen；Linnebo)
结语
本文考察了两种数学多元论对贝纳塞拉夫问题的解决。我们观察到极端多元论是个不稳定的立场，其一致性[,R]概念不能确定地使数学信念p与内容p相对应，因此可靠性断定*是错误的。相对多元论诉诸一致性[,p]，虽然表面上可以防止一致性[,R]概念无穷后退的情况，但是最终会滑落到一致性[,R]。多元论者可以选择代数性多元论，放弃传统集合论关于数学本体的研究，但是这个选择也相应地放弃了她在认识论上的优势，因为一元论者也可以选择代数性数学来避免贝纳塞拉夫问题。如果撇开将代数性数学扩展到算术、集合论这一有争议且数学上复杂的情况，我们的结论是，多元论的实在论不像其主张者所认为的那样可以解决贝纳塞拉夫问题。贝纳塞拉夫问题依然是所有数学实在论者无法逾越的难题。
就这一结论，我们有必要简单比较一下本文的论证和克拉克-多恩最近在认识论上对数学多元论的攻讦。(参见Clarke-Doane，2020b)正如我们在第一节的脚注中强调过的，克拉克-多恩认为我们需要细化贝纳塞拉夫问题的表述：虽然贝纳塞拉夫原初的表述和其依赖的因果知识观是错误的，但这并不自然地说明菲尔德的表述是完善的；相反，在他看来，在上述各种可靠性断定中的可靠性本身需要细化。鉴于此，克拉克-多恩提出了如下分析可靠性的指导原则：
模态安全性(modal security)：对任何信念可靠性的质疑是对其敏感性(sensitivity)和安全性(safety)的质疑。(12)
对应于“模态安全性”，贝纳塞拉夫问题可以表述如下：
敏感性断定：固定形成信念的各种方法，对于任何数学命题p，如果命题p是假的，那么A的信念p是假的。
安全性断定：固定形成信念的各种方法，对于任何数学命题p，A对p的信念很容易会是假的。
据此，克拉克-多恩进一步论证道，数学多元论只能够完整地解释“安全性断定”，但不能解释“敏感性断定”。原因如下：对多元论而言，一致性概念是个(元)逻辑概念，或者至少很容易转变为一个初始的逻辑或模态概念。(参见Field，1989)p相对于某一理论T的(逻辑)一致性信念是安全的——我们的逻辑信念至少不容易发生错误，虽然这个假设本身需要进一步的经验证据。但根据数学多元论，数学命题不是必然的，信念p的变化很可能对应不到命题p的变化，因此信念p很可能不是敏感的。
克拉克-多恩的结论和本文的结论存在明显的冲突：克拉克-多恩认为，一致性信念是安全的，如果数学正如多元论者强调的那样不是必然的，那么多元论可以成功地避免(各种表述的)贝纳塞拉夫问题。而本文的论证表明，即使一致性信念确实如克拉克-多恩论证的那样是安全的，多元论视角下的一致性概念本身是不稳定的。换言之，克拉克-多恩的论证预设了数学多元论立场是稳定的，我们获知逻辑一致性概念的途径也是毋庸置疑的。本文对这两个预设提出了挑战，认为数学多元论并不是一个稳定的立场：因为多元论解决贝纳塞拉夫问题的一致性概念严重地依赖这个不稳定的立场，所以多元论实际上没有解决贝纳塞拉夫问题。暂时撇开这一结论的冲突，本文在两方面推进了克拉克-多恩等人的研究：(1)本文讨论了克拉克-多恩等人未经讨论就信以为然的假设，将数学多元论或集合论多宇宙论及其一致性概念的复杂性展示出来；(2)本文的讨论避免了上述“模态安全性”这一有争议的认识论假设，让论证更具可信度。
注释：
①实在论意义上的集合论多宇宙论者主要有巴拉格尔(M.Balaguer)和汉米肯斯(J.D.Hamkins)。虽然二人关注的问题不同，巴拉格尔更加关注传统的认识论问题，主张多宇宙说可以消解数学真的神秘性，而汉米肯斯认为多宇宙论可以有效地解释集合论学家的数学实践、经验和结果。但他们都认为存在多个数学世界，它们具有相同的本体论地位。
根据纯正的柏拉图主义者(Full-blooded Platonism，简称“FBP”)，不存在一个集合宇宙。存在很多宇宙。但一个集合论句子是真的，当且仅当，它对现实的集合是真的。FBP强调的是，存在如此多不同种类的集合，每一个一致的集合论对现实的集合宇宙而言都是真的。(Balaguer，1995，p.315)
多宇宙论主张存在多个不同的集合概念，每个概念都在不同的集合论宇宙中得到例示，它们展示了不同的集合论的真。正如主张单宇宙的人认为他们的宇宙在柏拉图的意义上是独立存在的，每个这样的宇宙也在相同的意义上是独立存在的。(Hamkins，pp.416-417)
需要注意的是，并非所有的集合论多宇宙论者都是实在论者，比如斯蒂尔(J.Steel)主张方法论意义上的多宇宙论(参见Steel)。我们不讨论这种复杂的情况，详细请参考安托斯(C.Antos)等人的区分。(参见Antos，et.al.)
②这里需要说明三点。第一，虽然菲尔德的表述是目前学界公认的最具挑战性的表述，但这不排除其他可能的修改。最近有些哲学家如克拉克-多恩和瓦伦等人将对可靠性断定的解释区分为对信念敏感性(sensitivity)和安全性(safety)的解释。(参见Clarke-Done，2020b；Warren，2017)这些区分可以澄清信念可靠性的所指，丰富可靠性断定的内涵，但并不影响菲尔德表述对传统柏拉图主义数学知识的挑战。第二，柏拉图主义者如路易斯(D.Lewis)也许可以通过数学必然性平凡地(trivially)解释数学信念的可靠性，但“数学是必然的”这一主张是有争议的。(参见Lewis；Field，1989；Berry)本文不想进入这一争论，我们将预设通过数学必然性不能避免贝纳塞拉夫问题。需要注意的是，这一预设也是多宇宙论者解决贝纳塞拉夫问题的出发点，他们也不承认数学是必然的，因此不影响下文的讨论。第三，多宇宙论者(如巴拉格尔以及林斯基与扎尔塔)意向中的贝纳塞拉夫问题是菲尔德表述的贝纳塞拉夫问题。因此即使菲尔德的表述不是大家公认的最好的表述，我们的论证也没有偏离正道。换言之，如果我们得到多宇宙论者不能解决菲尔德表述的贝纳塞拉夫问题，这至少说明多元论者并不像他们宣称的那样，解决了其意向中的贝纳塞拉夫问题。
③需要注意的是，对大多数支持多元论的柏拉图主义者而言，他们似乎同时主张极端多元论和相对多元论。比如，巴拉格尔在有些地方论述道，数学句子的真是相对于模型而言的：一个句子简单为真(true simpliciter)是指它相对于标准模型是真的，而一个模型是标准的仅仅是指它是某个说话者意向中的模型，因此他似乎主张极端多元论。(参见Balaguer，2016，p.389)但在另一些地方，巴拉格尔又认为对生活在地球上的我们而言，自然数概念和部分的集合论概念是确定的。(参见同上，pp.387-388)其确定性是由我们对某个数学分支中对象的全部观念(full conception)所决定的。比如我们关于自然数的全部观念决定了“1+1=2”是确定的；同理，我们关于集合的全部观念至少包含ZFC，ZFC刻画了我们的集合概念。仅就地球人而言，ZFC是确定的或一致的，能够作为其他集合概念的背景。以上这些论述显示他支持相对多元论。同样，对汉米肯斯来说，在有些地方他认为现行的集合论都存在真值不确定的情况，他甚至认为自然数有可能是不确定的(参见Hamkins，pp.427-428)；而在另一些地方，他认为力迫法只能在ZFC的模型上进行，因此他似乎也预设ZFC的确定性或一致性是初始的、不需要解释(参见同上，pp.421-424)。为了论证需要，我们(同意科尔纳)认为区分二者是十分关键的。本文的论证也依据了这两种划分。
④在非特别强调的情况下，下文所说的贝纳塞拉夫问题都是指菲尔德表述的贝纳塞拉夫问题。
⑤汉米肯斯已经注意到了极端多元论的这一困境，他指出，“多宇宙观是一种高阶的实在论，即关于宇宙的高阶的柏拉图主义”(Hamkins，p.417)。具体而言，“存在多个集合概念是一个元数学断定，而非一个数学断定。我们不期望在一个宇宙内从事内部的构造时，就知道多宇宙的性质。也就是说，我们不期望从某个宇宙出发一览全部的多宇宙”(同上，p.417)。虽然这种表述可能固定极端多元论的立场，但不能固定一致性[,R]本身，因此并不能有效解决贝纳塞拉夫问题。
⑥对林斯基与扎尔塔主张的多元论而言，他们不需要一致性[,p]，因为他们认为数学对象是由任何一致或不一致的概括性原则(comprehension principle)所刻画的。因为他们允许不一致的对象(比如圆的方)存在。在第二节，我们设定不一致的理论是不可欲的。因此下文的讨论中我们不再考虑林斯基与扎尔塔的多元论。
⑦笔者在其他地方回应了问题(1)，指出了逻辑信念的可靠性(即关于理论T的一致性[,p]信念的可靠性)并不比数学信念的可靠性更容易解释，唯名论者也面临着类似的贝纳塞拉夫问题。关于数学唯名论特别是虚构主义，罗广龙有相关介绍。(参见罗广龙)
⑧许多哲学家已经注意到类似的问题，比如科尔纳以此论证相对多元论和极端多元论同样都是不稳定的立场；克拉克-多恩则认为相对多元论者必须选择∏[.0][,1]-算术理论的确定性，否则它就是个不稳定的立场。(参见 Koellner，2013；Clarke-Doane，2020b；Berry)
