曼彻斯特大学Statistics MSc -统计学硕士专业课程资料全解析！
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Statistical Inference - 统计推断 - MATH68001
教学安排
授课方式和时间表
统计推断课程在第一学期提供，课程编号为MATH68001，由曼彻斯特大学数学系提供。授课形式为混合模式，包括33小时的面授讲座以及11小时的辅导课。此外，学生还需进行106小时的自主学习。该课程不可选修。
每周课程安排
1. 第1-2周：课程简介，介绍点估计（point estimation）的基础概念以及无偏估计（unbiasedness）和均方误差（mean squared error）。
2. 第3-4周：学习一致性（consistency）和记分函数（score function），以及Fisher信息量（Fisher information）。
3. 第5-6周：深入探讨Cramer-Rao不等式（Cramer-Rao lower bound）和效率（efficiency），以及最有效估计量（most efficient estimators）。
4. 第7-8周：讨论充分性（sufficiency）和Rao Blackwell定理，及其在改进估计中的应用。
5. 第9-10周：最大似然估计（maximum likelihood estimators）及其渐近性质（asymptotic properties）。
6. 第11-12周：讨论置信区间（confidence intervals），包括有限样本和大样本情况下的置信区间构造方法。
7. 第13-14周：学习假设检验（hypothesis testing），包括Wald检验、广义似然比检验（generalised likelihood ratio test）及多项检验（multinomial test）。
8. 第15周：介绍贝叶斯推断（Bayesian inference），包括先验（priors）和后验（posteriors），以及贝叶斯估计（Bayesian estimation）和预测分布（predictive distributions）。
课程重点
核心主题
估计理论（Estimation Theory）：包括点估计、无偏性、效率和充分性等概念。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）：MLE的渐近性质以及置信区间构造方法。
假设检验（Hypothesis Testing）：涉及Wald检验、广义似然比检验等检验方法。
贝叶斯推断（Bayesian Inference）：包括先验、后验、贝叶斯估计、预测分布及置信区间。
专业学习中的地位及重要性
统计推断是数据分析的核心，它为数据解释和预测模型提供了理论基础。有效的估计和假设检验方法在各种领域（如经济学、工程学、生物医学等）中广泛应用。
潜在难点
Fisher 信息量和Cramer-Rao下界
理解Fisher信息量的计算及其在估计性能中的作用是相当复杂的。Cramer-Rao不等式提供了无偏估计量方差的下界，其证明和应用要求扎实的数学基础及对泛函分析的理解。
最大似然估计的优化和渐近性质
最大似然估计的优化过程涉及求解复杂的非线性方程，通常需要使用数值优化方法。此外，MLE的渐近性质（如渐近正态性和渐近无偏性）要求学生深入理解大样本理论及渐近分析。
广义似然比检验和Pearson卡方统计量
广义似然比检验中的极大似然比统计量的分布推导，以及Pearson卡方统计量在高维数据下的表现分析，需要对理论统计学进行深入的研究，这里涉及到复杂的概率论和随机过程知识。
贝叶斯推断中的先验选择和后验分布计算
贝叶斯推断要求学生对贝叶斯统计的基础概念有深刻理解，特别是先验的选择以及后验分布的解析计算。这些计算通常需要深入的积分变换及数值分析技能。
考核方式
考核方法和比重
课程作业（20%）：包括每周的小测试和课后作业，重点检验学生对学习内容的掌握和应用。
期末考试（80%）：旨在全面评估学生对整个课程内容的理解和掌握。
课程作业：作业要求理论推导和实践应用相结合，评估学生在理解基础理论时的准确性和在实际问题中应用统计方法的能力。
期末考试：考试主要形式为闭卷笔试，问题涵盖整个课程的核心内容。考试评分标准包括问题的准确性、推理过程的严谨性及解题步骤的完整性。
具体要求及评估标准
通过对统计推断课程的深入学习和考核，学生将具备在实际数据分析中应用统计方法的能力，并能够有效地进行估计与假设检验，为今后的研究工作奠定坚实的理论基础。
Linear Models with Nonparametric Regression - 线性模型与非参数回归 - MATH68011
教学安排
授课方式与时间表
该课程采用混合授课模式，主要包括线上讲座和面授研讨会。课程安排如下：
学期：第一学期
每周安排：每周两次讲座，每次1.5小时，共33小时。此外，每周一次1小时的研讨会，共11小时。
特殊教学活动：包括数据分析实验室实践和针对具体问题的专题讨论。
总体计划
1. 前半学期：重点讲授线性模型，包括多元回归、方差分析和协方差分析。
2. 后半学期：介绍非参数回归，重点讲授局部多项式核回归和样条回归。
课程重点
主要主题
1. 线性模型 (Linear Models)：包括一般线性模型的最小二乘估计、回归残差（Residuals）、杠杆值（Leverages）以及残差平方和的分布。
2. 一般线性假设 (General Linear Hypothesis)：涵盖额外平方和、序列平方和、部分平方和及其检验统计量和分布。
3. 非参数回归 (Nonparametric Regression)：重点探讨局部加权回归、选择平滑参数的方法和样条回归。
专业术语
最小二乘估计 (Least Squares Estimation, LSE)
局部多项式核回归 (Local Polynomial Kernel Regression)
样条回归 (Spline Regression)
方差分析 (Analysis of Variance, ANOVA)
协方差分析 (Analysis of Covariance, ANCOVA)
潜在难点
解析复杂性和潜在挑战点
1. 估计参数的不确定性：
在应用最小二乘估计方法时，模型参数的不确定性（Uncertainty）和方差-协方差矩阵（Variance-Covariance Matrix）计算复杂。
高级议题涉及泰勒级数（Taylor Series Expansion）的使用，以及在进一步分析预测间隔（Prediction Intervals）时，如何考虑模型的误差传播问题（Error Propagation）。
2. 核密度估计及其平滑参数选择：
在应用局部多项式核回归时，选择平滑参数（Smoothing Parameter）的步骤至关重要。交叉验证（Cross-Validation）及其多重模型选择标准（Model Selection Criteria，如AIC/BIC）可能导致计算上的复杂度。
此外，不同核函数（Kernel Functions，如Gaussian Kernel, Epanechnikov Kernel）的选择及其影响对回归估计结果的稳定性和收敛性（Convergence）也会带来挑战。
3. 高维数据下的回归问题：
当处理高维数据时，多变量回归分析（Multivariate Regression Analysis）会涉及多共线性（Multicollinearity）的问题。对齐共线性检测和调整（如VIF: Variance Inflation Factor的使用）是一个重大难点。
数据维度（Dimensionality）的增加也会影响计算量和模型复杂性，必须使用PCA（Principal Component Analysis）或LASSO回归（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）等高效算法进行特征选择。
4. 非参数回归的统计性质推导：
在推导非参数回归估计器的统计性质时，需要运用随机过程理论（Stochastic Process Theory），如强一致性（Strong Consistency）和渐近均方误差（Asymptotic Mean Squared Error）的分析。
理解这些估计器在不同条件下的渐近行为（Asymptotic Behavior）和有效性（Effectivity）也是一大关键。
考核方式
综合评估
1. 课程作业（20%）：包括一次期中笔试及数据分析项目，要求学生应用R语言对实际问题进行建模和分析。
2. 期末考试（80%）：闭卷考试，问题涵盖从理论推导到实际应用的各个方面，评估学生对课程内容的全面理解和掌握。
具体要求
平时作业：需提交关于线性模型和非参数回归各一个小型项目报告，重点在于建模过程和结果解释。
期末考试：要求学生在有限时间内完成多个综合问题，涉及理论推导、公式推导及实际数据分析。
质性评估：通过课程作业中期反馈，了解学生对关键概念的理解情况。
量化评估：通过平时作业和期末考试成绩，综合评定学生对理论和应用的掌握程度。
学习成效评估
这门课程不仅强调理论知识的传授，更注重实际操作和应用能力的培养。学生在学习过程中将面临诸多挑战，但通过深入的理论解析和丰富的实践训练，可以大大提升其在统计建模和数据分析方面的综合能力。
Generalised Linear Models and Survival Analysis - 广义线性模型与生存分析 - MATH68052
教学安排
课程概述
广义线性模型与生存分析课程（MATH68052）是曼彻斯特大学数学系开设的硕士课程，学分为15，属于FHEQ第7级。本课程将在第二学期提供，且不开放为自由选择单元。
授课方式
本课程采用混合授课模式，包含面授讲座和线上资源。每周安排如下：
讲座：每周32小时
辅导课：每周6小时
自主学习：每周112小时
特殊教学活动
本课程包括具体的应用，例如使用R语言进行模型拟合的示例。此外，还将安排各类工作坊和讨论会，以帮助学生深入理解课程内容。
课程重点
核心主题
1. 广义线性模型 (GLMs)：
扩展传统线性模型至非线性及非正态分布。
适用于分析离散数据（如二项分布和泊松分布）。
涉及R语言中的模型拟合及残差分析与图表绘制。
2. 生存分析 (Survival Analysis)：
涉及估计生存函数、风险函数及累积分布函数。
包括对带有协变量的回归问题，如比例风险模型和加速失效时间模型。
*线性预测器*（linear predictor）
*连接函数*（link function）
*指数族分布*（exponential family of distributions）
*最大似然估计*（maximum likelihood estimation）
*卡普兰-迈耶估计*（Kaplan-Meier estimate）
*比例风险模型*（Proportional Hazards Models）
*加速失效时间模型*（Accelerated Failure Time Models）
重要概念
这些概念是现代统计建模的重要组成部分，广泛应用于生物医学和工业领域的数据分析中。
潜在难点
广义线性模型
1. 指数族分布的理解及应用：
对于非正态分布的掌握，包括推导其均值和方差。这需要学生具有扎实的统计学基础。
推导连接函数（canonical link）和求解似然方程，其中涉及复杂的数学运算。
2. 迭代加权最小二乘算法 (Iterative Reweighted Least Squares Algorithm)：
理解该算法的收敛性及其在不同场景下的应用。
尤其是Fisher信息 (Fisher Information)的计算，它在模型参数的估计中至关重要。
生存分析
1. 生存函数及风险函数的估计：
需要学生熟练掌握非参数统计方法，如Kaplan-Meier估计，及其置信区间的构建。
对于带有协变量的回归模型（如比例风险模型），需要掌握部分似然估计（partial likelihood）和验证模型假设的方法。
2. 加速失效时间模型 (Accelerated Failure Time Models)：
理解并应用Weibull分布等非正态分布进行生存数据的回归分析。
涉及复杂的最大似然估计与算法实现。
考核方式
考核方法和比重
1. 课程作业：占20%，包括为期两周的家庭作业。这将评估学生对理论知识和实际应用的掌握情况。
2. 笔试：占80%，期末考试将评估学生从整体上对广义线性模型和生存分析的理解和应用能力。
评估标准
模型拟合与评估：学生需能够撰写出拟合模型、评估拟合优度、测试参数的显著性并计算各种感兴趣的量。
推导与证明：学生需能够推导广义线性模型和生存模型的相关公式，包括分布的均值、方差和连接函数。
应用示例：考试和作业中将包括实际数据分析，以评估学生在实际场景中使用R语言进行统计建模的能力。
本课程通过多种考核方式，评估学生对复杂统计模型的理论理解和实际应用能力，确保学生在完成课程后能够独立进行高级统计分析。
Multivariate Statistics - 多变量统计 - MATH68061
教学安排
该课程的教学安排非常紧凑，主要在第一个学期进行。具体的教学活动安排如下：
授课方式：该课程采用混合模式进行授课，包括面对面的讲座（lectures）和线上资源（online resources）。
每周课程安排：
每周有三节讲座，总共33小时。
每周有一节辅导课，总共11小时。
特殊教学活动：
辅导课（tutorials）是专门为学生提供反馈和解答疑问的时间。
使用R统计软件进行数据分析的实用技能教学。
课程重点
该课程重点关注几种多变量统计方法，这些方法广泛应用于科学、社会科学和医学领域。以下是几个重要的主题：
1. 随机向量与矩阵（Random Vectors and Matrices）：学习如何处理随机向量和矩阵，并能够推导与多变量统计推理相关的结果。
2. 主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）：理解和应用PCA进行数据降维，并能解释几何性质和实际例子。
3. 多变量正态分布（Multivariate Normal Distribution, MVN）：学习MVN的定义和性质，以及条件分布和采样分布等内容，特别是威氏分布（Wishart Distribution）和霍特林T-平方分布（Hotelling T-squared Distribution）。
4. 假设检验与置信区间（Hypothesis Testing and Confidence Intervals）：学习单样本和双样本的程序，包括广义似然比检验（Generalized Likelihood Ratio Test）和置信区间的计算。
5. 离散多变量数据分析方法（Techniques for Discrete Multivariate Data）：介绍离散多变量向量、二维列联表、条件独立性和对数线性模型（Log-linear Models）等内容。
这些主题在统计学专业学习中占据核心地位，特别是在数据分析和科学研究领域中具有重要作用。
潜在难点
作为该学科的高级教授，我将深入分析几个可能遇到的学习难题：
1. 高维数据的可视化和理解：
挑战：高维数据（High-dimensional Data）的可视化和理解是多变量统计中的一大难题。传统的二维或三维图形无法有效展示高维数据的结构。
专业术语：需要学生掌握数据降维技术，如主成分分析（PCA）和多维标度法（Multidimensional Scaling, MDS），以便能够简化和解释复杂数据。
2. 多变量正态分布的复杂推导：
挑战：多变量正态分布的性质复杂，包括其条件分布、边缘分布和联合分布的推导，尤其是涉及到威氏分布和霍特林T-平方分布时。
专业术语：推导这些分布的性质需要学生对线性代数、矩阵分析（Matrix Analysis）和多变量微积分（Multivariate Calculus）有深入理解。
3. 假设检验的多样性和复杂性：
挑战：多变量假设检验（Multivariate Hypothesis Testing）比单变量假设检验复杂得多，涉及到广义似然比检验、温克勒检验（Wilks' Lambda）等多种方法。
专业术语：学生需要掌握矩阵求导（Matrix Differentiation）和广义特征值分解（Generalized Eigenvalue Decomposition）等高级数学工具。
4. 离散多变量数据的分析模型：
挑战：离散数据分析时，涉及到复杂的模型如对数线性模型（Log-linear Models）和马尔科夫链模型（Markov Chain Models）等，这些模型的参数估计和模型选择较为困难。
专业术语：熟悉最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）和贝叶斯方法（Bayesian Methods）在这些模型中的应用是关键。
考核方式
该课程的考核包括课堂表现、项目作业和期末考试，具体分配如下：
项目作业（Coursework）：20%
包括一些指定的编程任务和数据分析报告。
要求学生能够使用R统计软件完成多变量数据分析，并撰写详细的报告解释结果。
期末考试（Final Examination）：80%
为闭卷考试，覆盖整个课程内容。
考试题目包括理论推导、实际应用和数据分析，要求学生能够综合运用所学知识。
通过这种综合考核方式，可以全面评估学生对课程内容的掌握情况，包括理论知识和实践技能。
以上总结体现了对“多变量统计”课程的深入了解，详细描述了教学安排、课程重点、潜在难点和考核方式，特别是分析了学习中的潜在难点，使用了高级且专业的语言，展现了对课程内容的深刻理解和专业掌握。
Design and Analysis of Experiments - 设计与试验分析 - MATH68082
教学安排
课程计划和时间表
本课程将在曼彻斯特大学的第二学期教授，包含33个小时的讲座和11个小时的辅导课程。此外，学生需要进行约106小时的自主学习。课程内容将通过以下几种方式进行授课：
授课方式：课程采用面授模式进行，辅以线上资料供学生复习和参考。
每周课程安排：每周3-4小时的讲座和1小时的辅导课，详细时间表将在开课前发布。
特殊教学活动：对于某些复杂内容，将安排专题研讨会，并提供实验室实践机会，以帮助学生深入理解和应用相关理论。
课程重点
主要主题和概念
本课程涵盖了多个实验设计和分析的核心主题，以下是其中一些特别强调的内容：
基本概念：定义、处理（Treatment）、因素（Factors）、实验单位（Plots）、区组（Blocks）、精度（Precision）、效率（Efficiency）、复制（Replication）、随机化（Randomisation）和设计（Design）。
完全随机化设计（Completely Randomised Design）：固定效应和随机效应，对比（Contrasts），方差分析表（ANOVA table）。
析因设计（Factorial Designs）：一般析因实验，固定效应和随机效应，交互作用（Interactions）。
嵌套设计（Nested Designs）。
区组设计（Blocking）：正交设计（Orthogonal Designs）和非正交设计（Non-Orthogonal Designs）。
两水平析因实验（2 Level Factorial Experiments）：混淆（Confounding）、分数复制（Fractional Replication）、别名关系（Aliasing）。
响应面设计（Response Surface Designs）。
设计最优性准则（Criteria for Design Optimality）。
一般等价定理（General Equivalence Theorem）及其应用；D-最优实验设计的构造。
非线性模型设计（Designs for Nonlinear Models）。
这些主题在统计学和实验设计中占有重要地位，是深入研究和应用统计理论的基础。
潜在难点
高级专业分析
作为高级教授，下面是几个学生在学习本课程时可能遇到的难点，这些都会涉及复杂专业术语和发表级别的表述：
1. D-和G-最优性准则（D- and G-Optimality Criteria）：
复杂性：理解和应用这些优化准则需要掌握大量的数学和统计基础。特别是在高维情况下，计算这些准则可能涉及求解复杂的矩阵方程，这是非常具有挑战性的。
数学背景：学生需要有扎实的线性代数和矩阵分析能力，尤其是特征值和特征向量的知识。
2. 一般等价定理（General Equivalence Theorem）：
抽象性：一般等价定理对于多数学生来说可能过于抽象，理解其中的数学证明和在不同设计中的应用需要高度的数学抽象能力。
实用性：如何将该定理应用于构造具体的D-最优设计是一项需要反复实践和深度理解的工作。
3. 非线性模型的设计与构造（Designs for Nonlinear Models）：
算法复杂度：对非线性模型进行设计需要掌握多种算法，如局部和伪贝叶斯准则（Local and Pseudo-Bayesian Criteria）的使用，这对数学和编程能力要求极高。
参数不确定性：处理参数不确定性和模型不完备性，需要对贝叶斯方法和最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）有深入理解。
4. 复杂实验中的混淆与分数复制（Confounding and Fractional Replication in Complex Experiments）：
实验规划：在复杂多因素实验中处理混淆和分数复制涉及诸多细致的规划和设计技巧，需要学生对析因设计和别名结构（Alias Structure）有精确把握。
解析能力：辨识和处理高阶交互作用中的混淆效应可能超出学生的现有知识储备，需要较强的解析能力和大量实际案例的学习。
考核方式
具体考核方法和比重
课程的考核方式将包括以下几种方法，并且各自的比重如下：
1. 期末考试（Written Exam）：80%
持续时间为3小时，考察学生对课程内容的全面理解和应用能力。
包括分析题、计算题和综合性问题。
2. 带回家作业（Take-home Coursework）：20%
作业内容包括实际数据分析、设计实验和写报告，旨在评估学生的实际操作能力及理论应用。
准确性：对实验设计和分析过程的准确理解和应用。
创新性：在非标准设计任务中展示的创新构思和问题解决能力。
理论掌握：对主要概念、定理和准则的深刻理解及其数学证明能力。
评估标准
结语
本课程旨在培养学生在实验设计与分析领域的专业技能和理论知识，对于统计学研究以及跨学科的实验工作都将提供坚实的基础。然而，课程难度较大，学生需要具备扎实的数学基础和较强的学习能力。通过适当的学习规划和对难点的重点突破，学生能够从中获益匪浅。
Statistical Computing - 统计计算 - MATH68091
教学安排
教学形式
授课方式: 面授
授课地点: 曼彻斯特大学数学系
授课时间: 学期1
讲座: 每周3次，每次1小时，共24小时
实践课程: 每周2次，每次1小时，共22小时
辅导课: 每两周一次，每次1小时，共12小时
研讨会
不定期举行，旨在深入讨论理论与实践中的问题
实验室实践
包括计算机上实际操作，如使用R编程语言进行模拟和数据分析
每周课程安排
特殊教学活动
课程重点
核心主题
1. 随机变量的模拟（Simulating Random Variables）
方法: 逆累积分布函数、拒绝采样、变换法、均匀比率法
重要性: 这是统计计算的基础，适用于蒙特卡罗方法和其他复杂的统计模型
2. 蒙特卡罗积分（Monte Carlo Integration）
方法: 基于随机样本的数值积分方法
重要性: 用于高维积分的近似计算，广泛应用于金融、物理等领域
3. 非参数自助法（Nonparametric Bootstrap Methods）
技术: 自助法和剪刀法
重要性: 用于估算统计量的分布，解决样本数量不足的问题
4. 非线性回归模型（Nonlinear Regression Models）
算法: 高斯-牛顿算法
重要性: 用于模型参数的估计，广泛应用于工程和经济学等领域
5. 期望最大化算法（EM Algorithm）
应用: 数据扩充、多项式模型、混合分布、截断数据、蒙特卡罗EM
重要性: 用于处理不完全数据和复杂模型的参数估计
潜在难点
难点分析
1. 随机变量模拟技术的复杂性
逆累积分布函数法: 需要理解和实现复杂的数学函数变换，特别是当累积分布函数没有解析表达式时。
拒绝采样法: 设计适当的候选分布函数是一个重要且复杂的任务，需考虑接受概率和效率。
2. 蒙特卡罗积分中的方差缩减技术
重要性抽样（Importance Sampling）: 选择合适的分布是关键，错误选择可能会导致结果偏差或计算效率低下。
控制变量法（Control Variate Method）: 需要精准地选择和实现控制变量以达到方差最小化的效果。
3. 非参数自助法内部的统计性质分析
理论推导难度: 要求深入理解样本非依赖性以及如何使用重复抽样方法来评估统计性质。
计算复杂性: 对于大样本数据，计算开销显著，需要有效的算法和优化策略。
4. 非线性回归模型中的高斯-牛顿算法
收敛性问题: 非常依赖初始猜测值的选择，次优初始值可能导致算法无法收敛或陷入局部最优解。
鲁棒性分析: 对异常值敏感，需要进行适当的鲁棒回归处理。
5. 期望最大化算法的实现及其收敛性
数据扩充: 需要创新性地处理不完全数据，特别是数据量大的情况下实现的复杂性。
收敛性保证: EM算法收敛速度慢，有时可能需要借助其他加速技术（如变分推断）。
考核方式
考核方法与比重
1. 书面考试: 占总成绩50%
要求: 理解和应用课程中教授的方法和理论，进行复杂问题的推导和计算
评估方式: 衡量学生对理论知识和算法实现的掌握情况
2. 课程作业: 占总成绩50%
次数: 共三次，每次16.67%
要求: 实际编程和算法实现，需要使用R语言完成复杂数据集的模拟和分析
评估方式: 注重学生的实践能力和代码的准确性及效率
反馈教程: 定期讨论学生的作业和理解问题，提供针对性反馈
办公室时间: 学生可以直接向讲师请教问题，获取详细解答
Rizzo, M.: *Statistical Computing with R*. Chapman & Hall
Ripley, B.D.: *Stochastic Simulation*. Wiley
Efron, B. and Tibshirani, R.: *An Introduction to the Bootstrap*. Chapman & Hall
反馈机制
额外阅读材料
Markov Chain Monte Carlo - 马尔可夫链蒙特卡洛 - MATH68122
教学安排
授课方式
本课程采用混合授课模式，包括线上和面授方式。具体的授课方式由实际情况决定，例如疫情影响下可能调整为全部线上授课。
时间表
学期: 第二学期
每周安排:
讲座: 每周2小时，共计24小时
实践课和研讨会: 每周2小时，共计22小时
特殊教学活动:
专题研讨会
实验室模拟实践
课程重点
核心主题和概念
1. 贝叶斯统计 (Bayesian Statistics):
介绍贝叶斯统计的基本概念，包括先验 (prior) 和后验 (posterior) 概分布。
2. 马尔可夫链 (Markov Chains):
探讨各类马尔可夫链的性质和应用，重点在于状态转换矩阵和稳态分布。
3. 吉布斯抽样器 (Gibbs Sampler):
解析数据补充 (data augmentation)、预热期 (burn-in) 和收敛性 (convergence) 等概念。
4. 许多波尔普利斯-哈斯廷斯算法 (Metropolis-Hastings Algorithm):
包括独立抽样器 (independent sampler)、随机行走 (random walk Metropolis)、标度 (scaling) 和多模态分布 (multi-modality)。
5. 近似贝叶斯计算 (Approximate Bayesian Computation, ABC):
使用仿真基础推断 (simulation-based inference) 进行参数估计。
专业意义
这些主题在现代统计学和数据科学中具有重要的应用价值，特别是在复杂模型的参数估计和不确定性分析中。
潜在难点
复杂性和抽象性分析
1. 高维空间中的收敛性分析 (Convergence in High-Dimensional Spaces):
在高维参数空间中，MCMC算法的收敛性是一个复杂的问题。特别是当目标分布具有多modalities时，算法可能会陷入局部极值点，使得收敛速度变慢。如何通过调节算法参数（如步长）来改善收敛性是一个重要且复杂的问题。
2. Monte Carlo误差和样本自相关 (Monte Carlo Error and Sample Autocorrelation):
Monte Carlo误差不仅涉及到样本数量，还受采样自相关的影响。这意味着在实践中，如何评估和最小化误差是一个复杂的问题，涉及高深的概率论和数理统计技巧。
3. 近似贝叶斯计算 (ABC) 适用性与效率 (Applicability and Efficiency of ABC):
对于一些复杂模型，通过ABC方法进行参数估计时，如何选择适当的容忍度 (tolerance level) 和概要统计量 (summary statistics)，并在计算效率和精度之间取得平衡，是一个具有挑战性的任务。
4. 逆转跳跃MCMC (Reversible Jump MCMC):
该算法用于处理未知参数个数的模型，这增加了计算的复杂性。理解和掌握该算法及其在高维空间中的应用需要深厚的数理统计基础和编程技巧。
课程作业 (50%)
每两周一次的课程作业，主要评估学生对具体问题的MCMC算法应用能力。
期末书面考试 (50%)
涵盖所有主要主题，评估学生的综合理解能力和算法设计能力。
课程作业
作业将根据正确性、算法实现的有效性和报告呈现的清晰性进行评估。
书面考试
包括理论问答和实际算法设计，前者评估学生对概念的理解，后者则评估解决实际问题的能力。
考核方式
考核方法
评估标准
通过上述评估方法，全面检测学生的学习成效，确保他们掌握课程核心内容并具备实际应用能力。
Longitudinal Data Analysis - 纵向数据分析 - MATH68132
教学安排
本课程为硕士统计学课程的一部分，授课周期为第二学期，总共15学分。课程由数学系提供，主要通过面授和混合教学模式进行，包括每周12小时的讲座和12小时的辅导课。同时，学生每周需要进行大约9小时的独立学习。
课程安排如下：
视频内容：每周大约75-120分钟的视频内容，学生需要花费2.5-4小时学习这些内容。
练习和问题集：学生每周需要大约2-2.5小时完成练习或问题集。
其他任务：例如短测验、小型作业或定向阅读任务，可能会在Blackboard上指派。
课程作业和复习：某些周可能需要准备课程作业或为期中测试复习。
专题研讨会：某些周安排特别的研讨会或复习课，讨论课程内容与学生作业。
除了常规的课堂和独立学习时间，期末还会有一个终结性评估。
课程重点
在纵向研究中，对受试者进行反复测量，这样可以捕捉到时间上的相关性。本课程特别强调以下几个主题：
1. **普通线性回归模型（Ordinary Linear Regression Models）**
探讨纵向数据中的线性模型及其在独立随机误差条件下的局限性。
2. **一般线性模型（General Linear Models）**
研究具有相关随机误差的一般线性模型及其各种协方差模型（如复合对称性、AR(1)、指数相关等）。
3. **线性混合模型（Linear Mixed Models）**
研究固定效应和随机效应，随机变量的预测及其在不同来源中的随机变异，以及最大似然估计方法。
4. **非正态纵向数据模型（Non-normal Longitudinal Data Models）**
分析面向总体的模型（如广义估计方程）和面向个体的模型（如随机效应模型）。
5. **缺失数据处理方法（Dealing with Missing Data）**
探讨不同缺失机制及其校正方法，包含简单插补、多重插补和加权估计方程。
潜在难点
作为该学科的高级教授，我认为该课程中的部分特别专业且复杂的内容，学生可能会遇到以下学习难题：
1. **高维数据协方差模型理解**
理解并应用复杂的协方差模型（如AR(1)、复合对称性模型），需要学生对高维数据操作和矩阵演算有深刻的理解。这些模型在处理长期数据时至关重要，但其复杂性和计算要求可能使学生感到挑战。
2. **EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）的掌握**
EM算法常用于线性混合模型中的参数估计，但其迭代过程和收敛条件对于初学者来说难以掌握。特别是处理非线性和非正态数据时，理解其迭代最大化步骤需要深厚的数学基础。
3. **广义估计方程（Generalized Estimating Equations）**
广义估计方程在处理异质性的纵向数据时使用频繁。但由于它们涉及复杂的协方差结构和估计难度，学生往往难以在实际数据分析中准确应用。
4. **缺失数据的多重插补方法（Multiple Imputation for Missing Data）**
多重插补需要学生理解从插补数据集生成至分析总结整个过程的统计理论。特别是缺失数据机制（如MCAR、MAR、MNAR）的建模和敏感性分析需要扎实的统计推理能力。
5. **软件实现（Statistical Software Implementation）**
在软件R中实现上述模型和分析方法，需要学生熟练掌握R语言的高级函数和包（如lme4，nlme等）。尤其是在处理大量数据和进行复杂模拟时，对编程技巧和计算资源的需求较高。
考核方式
本课程的考核包括以下几部分：
课程作业（20%）：通过实际数据分析和模型应用，考察学生对所学内容的掌握。
期末考试（80%）：书面考试，综合评估学生对课程全部内容的理解和应用能力。
课程作业：
要求学生选择合适的模型对指定的纵向数据进行分析，并编写详细的分析报告。
评估标准包括模型选择的合理性、数据处理过程、结果的解释以及报告的规范性。
期末考试：
包括多项选择题、简答题和计算题。
评估学生的理论理解、实际应用和解决复杂问题的能力。
具体考核要求
通过这些考核方式，学生不仅能够展示自己对纵向数据分析的理解和应用能力，还能培养处理复杂数据集和解决实际问题的技能。
Statistical Inference - 统计推断 - MATH68001
教学安排
授课方式
该课程采用混合模式授课，包括面授和线上授课。每周有3小时的讲座和1小时的辅导课，以确保学生能够深入理解所学内容。面授课程主要在大学的教室内进行，而线上部分则通过学校的在线平台Blackboard进行，包括视频讲解和在线测验。
时间表
本课程安排在第一学期。具体的时间安排如下：
讲座：每周三次，每次1小时
辅导课：每周一次，1小时
特殊教学活动
除了常规的讲座和辅导课，课程还安排了一些特殊的教学活动，如小组讨论、案例研究和期中考试。这些活动旨在加强学生对理论知识的实际应用能力。
课程重点
重要主题
1. 估计理论（Estimation Theory）：
点估计（Point Estimation）：包括无偏性（unbiasedness）、均方误差（mean squared error）、一致性（consistency）等基本概念。
Fisher信息量（Fisher Information）：用于衡量估计量的有效性。
Cramer-Rao不等式（Cramer-Rao Inequality）：评估无偏估计量方差的下界。
Rao-Blackwell定理（Rao-Blackwell Theorem）：用于改进估计量。
2. 估计方法（Methods of Estimation）：
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）：最大似然估计及其渐近性质（asymptotic properties）、评分函数的渐近分布（asymptotic distribution of the score function）。
3. 假设检验（Hypothesis Testing）：
广义似然比检验（Generalized Likelihood Ratio Test, GLRT）：包括多项检验（multinomial test）和Pearson卡方统计量（Pearson Chi-squared Statistic）。
4. 贝叶斯推断（Bayesian Inference）：
先验分布（Prior Distribution）、后验分布（Posterior Distribution）、共轭先验（Conjugate Prior）等。
这些主题在统计学专业中占据重要地位，能够为学生提供坚实的理论基础，以应对复杂的数据分析问题。
潜在难点
高级教授视角的专业分析
1. Fisher信息量与Cramer-Rao不等式：
对于学生来说，理解Fisher信息量的计算和意义可能是一个难点。Fisher信息量在评价估计量的有效性上具有重要作用，但其数学推导较为复杂，尤其是在多参数估计情况下。
Cramer-Rao不等式涉及到无偏估计量方差的下界问题，学生需要具备较强的数学证明能力和对矩阵代数的理解。
2. Rao-Blackwell定理的应用：
使用Rao-Blackwell定理改进估计量需要学生对统计量的充分性（sufficiency）和统计量的条件分布有深刻理解。这涉及到因子分解定理（factorization theorem）和最小充分统计量（minimal sufficiency）的复杂计算。
3. 最大似然估计的渐近性质：
最大似然估计的渐近正态性（Asymptotic Normality）和相合性（Consistency）的证明包含大量高等数学知识，特别是关于渐近分布理论（Asymptotic Distribution Theory）的内容，这对学生理解来说是一个巨大挑战。
4. 贝叶斯估计中的先验选择：
贝叶斯分析中选择适当的先验分布是一个艰难而关键的问题。学生需要理解共轭先验（Conjugate Prior）和非信息先验（Non-informative Prior）的概念。这要求对贝叶斯定理（Bayesian Theorem）的深刻理解以及实际数据的背景知识。
5. 广义似然比检验的渐近性质：
理解GLRT的渐近性质（Asymptotic Properties），尤其是在大样本情况下，涉及到大量高等概率和统计理论的知识，例如评分函数的渐近分布和大数法则的应用。
这些难点不仅需要学生具备扎实的数学基础，还要求其熟练掌握相关的统计理论和方法。
考核方式
考核方法与比重
1. 课程作业（Coursework）：占20%
课程作业包括数个小项目和期中测试，主要考察学生对关键概念的理解和应用能力。
2. 期末考试（Written Exam）：占80%
期末考试为闭卷考试，时间为3小时，涵盖课程的全部重要内容，包括估计理论、假设检验和贝叶斯推断等。
课程作业：
每个小项目要求学生独立完成，并在指定时间内提交。
期中测试以笔试形式进行，考察学生对前半部分课程内容的掌握情况。
期末考试：
考试题型包括理论证明、计算题和实际数据分析等。
评分标准严格按照正确性、完整性和逻辑性进行评估。
具体要求及评估标准
通过以上考核方式，能够全面评估学生对统计推断理论和方法的理解及应用能力。
上述总结涵盖了该课程的教学安排、课程重点、潜在难点及考核方式，旨在为学生提供全面的课程指导与学习建议。
Linear Models with Nonparametric Regression - 线性模型与非参数回归 - MATH68011
教学安排
课程概述与周期
本课程旨在介绍线性模型与非参数回归的理论与应用，课程安排在第一学期，持续15周。
授课方式
授课方式：混合模式，包括面授和线上资源相结合。
教学活动：每周安排2次讲座和1次辅导课，分别为2小时和1小时。
特别教学活动：包含数据分析实验及软件操作训练，主要使用R语言进行数据分析。
细分计划
1. 第1-5周：线性模型基础
最小二乘估计（Least Squares Estimators, LSE）及其性质
残差和残差平方和
杠杆值（Leverage）
2. 第6-7周：线性假设检验
广义线性假设
额外平方和分析
置信区间与预测区间
3. 第8-9周：线性回归模型
简单回归与多重回归
虚拟变量与协方差分析
4. 第10-11周：方差分析
一元和双元方差分析
交互作用分析
5. 第12-15周：非参数回归
局部多项式核回归
平滑参数的选择
样条回归简介
广义线性模型：通过最小二乘估计来分析线性关系，对公式进行推导及性质分析，例如残差平方和分布。
线性假设检验：包括额外平方和、顺序平方和、部分平方和的理解及应用。计算置信区间与预测区间。
局部平均与局部多项式回归：采用局部平均方法，控制平滑参数进行模型估计。
样条回归（Spline Regression）：在没有特别指定参数模型的情况下，使用样条函数进行回归分析。
课程重点
线性模型
非参数回归
潜在难点
1. LSE性质的理解与应用
最小二乘估计在许多方面的性质需要深刻理解，特别是分布理论和残差分析。掌握广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix）和张量积（Tensor Product）性质是关键。
2. 线性假设检验的计算复杂性
广义线性假设下，额外平方和（Extra Sum of Squares, ESS）和其变量的分布需要大量矩阵运算和统计理论知识。尤其是F分布（F-Distribution）和χ²分布（Chi-squared Distribution）的连接，往往是学生难点。
3. 平滑参数选择的优化问题
在非参数回归中，平滑参数的选择直接影响模型的准确性。选择平滑参数的交叉验证（Cross-Validation）方法及其调优需要具备较强的理解和实际操作能力，特别需要掌握核密度估计（Kernel Density Estimation, KDE）和交叉验证技术。
4. 样条回归的数学基础
样条回归涉及较深的函数分析知识，特别是内核函数（Kernel Function）和基函数（Basis Function）的选择及适配。高斯过程回归（Gaussian Process Regression）和惩罚样条（Penalized Splines）的理解和推导也非常复杂。
考核方式
1. 平时作业
比重：20%
内容：涉及多次小测验与项目作业，以检验学生的理解与实际应用能力。
评估标准：完成度、正确性及分析深度。
比重：80%
形式：书面考试，涵盖整个课程的主要内容。
评估标准：对理论知识的掌握度、解决问题的能力及逻辑清晰度。
2. 期末考试
通过综合讲述课程内容安排、知识重点、潜在难点和详细考核方式，可以更好地帮助学生全面把握课程内容，并在学习中有的放矢，取得理想成绩。
Generalised Linear Models and Survival Analysis - 广义线性模型及生存分析 - MATH68052
教学安排
该课程单元由曼彻斯特大学数学系提供，设立于硕士第一学期，课程主要采用面授形式，并结合线上资源补充学习。
每周课程安排
* 周一：讲座 (2小时)
* 周三：讲座 (2小时)
* 周五：讨论班 (1小时)，助教指导
特殊教学活动
* 研讨会：每月一次，由主讲教授或外部专家主持，突出实际应用
* 实验室实践：两个为期一周的项目，涵盖R语言的广义线性模型构建
课程重点
广义线性模型（Generalized Linear Models, GLMs）
* 乘子指数族分布（exponential family of distributions）：包括正态、二项式、Poisson等
* 线性预测器（linear predictor） 与 连接函数（link function）
* 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE） 与 迭代加权最小二乘（Iteratively Reweighted Least Squares, IRLS）
生存分析（Survival Analysis, SA）
* 生存函数（Survival Function） 和 危害函数（Hazard Function）
* 比例危害模型（Proportional Hazards Models） 和 Cox回归模型（Cox Regression）
* 加速失效时间模型（Accelerated Failure Time Models, AFT）
重要性
这些主题在生物统计和工业实验设计中具有广泛应用，通过学习这些模型和技术，学生能够分析和解释离散和生存数据，适应现代统计领域的复杂需求。
潜在难点
广义线性模型（GLMs）
1. 指数族分布（Exponential Family of Distributions）
* 复杂参数估计：对某些非正态分布的广义线性模型而言，参数估计（Parameter Estimation）的复杂度较高，特别是在复杂连接函数情况下需要深入的迭代算法，例如IRLS的收敛性分析。
* 正则化（Regularization）技术的选择与应用，在过拟合问题中的精确处理难度较大。
2. 最大似然估计与IRLS算法
* 数值算法不稳定性：IRLS算法在处理大规模数据集时，可能会出现数值不稳定性，需要掌握相关改进方法，例如Fisher Scoring Method和Quasi-Newton Method。
* 收敛标准的确定和算法效率优化，尤其是当数据集具有高度非线性关系时。
生存分析（Survival Analysis）
1. 生存数据的处理
* 右删失数据（Right-Censored Data）：掌握处理右删失数据的多种非参数估计方法（如Kaplan-Meier估计）的理论基础和实际应用。
* 区间删失（Interval Censoring）及其对生存函数估计的影响，需较强的数理统计背景。
2. 混合效应模型（Mixed Effects Models）
* 比例危害模型的扩展：处理具有随机效应的比例危害模型需要复杂的估计算法，如EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）或MCMC（Markov Chain Monte Carlo）。
* 模型诊断与验证：需要掌握一系列高级统计检验方法，如Schoenfeld残差及Martingale残差。
考核方式
综合考核方法
1. 期末考试（Written Exam） - 占80%
* 设定难度较高的理论及应用题，考核学生对广义线性模型和生存分析的全面理解，要求学生进行模型推导、参数估计和结果解释。
2. 课程作业（Coursework） - 占20%
* 主要为2周的家庭作业，要求学生在实际数据集上应用R语言进行模型构建和分析，作业部分成绩包括建模的准确性和报告的详尽程度。
学习成效评估
通过课程的各类反馈机制，例如课堂讨论、讲师办公时间和作业反馈，使学生能够及时调整学习策略和深度理解课程内容，确保在理论与实践两方面均能达到预期的学习目标。
---
通过详细分析学习重点、潜在难点和考核方式，本课程旨在让学生全面掌握现代统计学中关键的广义线性模型与生存分析技术，为未来在生物统计、数据科学等领域的深造和职业发展打下坚实基础。
Multivariate Statistics - 多变量统计学 - MATH68061
教学安排
教学计划和时间表
授课方式：混合模式，包括线上授课和面授。教学期间每周三次，每次一小时的讲座和每周一次的一个小时辅导课。
课程安排：
第一周至第三周：介绍多变量统计的基本概念，包括随机向量的分布及其基本性质。
第四周至第六周：重点讲解主成分分析法（Principal Component Analysis, PCA），包括其定义、推导及实际应用。
第七周至第九周：讨论多变量正态分布（Multivariate Normal Distribution）的性质，包括条件分布、Wishart 分布和Hotelling T平方分布。
第十周至第十二周：研究多变量数据的假设检验与置信区间。
第十三周至第十四周：讲授各种预测分析技术如判别分析（Discriminant Analysis）。
最后一周：课程总结与复习，准备期末考试。
特殊教学活动：
研讨会：课程安排定期的专题研讨会，用于讨论前沿科研进展及其在实际中的应用。
实验室实践：利用 R 软件进行多变量数据分析实践。
课程重点
专注主题
1. 主成分分析法（Principal Component Analysis, PCA）：用于数据降维，提高计算效率，识别数据中的主要模式。
2. 多变量正态分布（Multivariate Normal Distribution, MVN）：掌握多变量正态分布的特性及其应用。
3. 假设检验（Hypothesis Testing）：学习如何进行多样本均值向量的比较，以及置信区间的计算。
4. 分类分析（Discriminant Analysis）：理解监督学习和无监督学习的区别，并掌握简单的分类算法。
重要性
这些主题在统计学及其应用领域具有至关重要的地位，能够增强学生的数据分析能力，提高其解决复杂实际问题的能力。
潜在难点
专业分析
1. 主成分分析法的数学推导复杂性：
PCA 的核心在于求解协方差矩阵的特征值问题（Eigenvalue Problem），这涉及高水平的线性代数知识。
同时，特征向量所代表的主成分的解释和实际应用可能会对学生构成理论与实践的双重挑战。
2. 多变量正态分布的高维特性：
多变量正态分布在高维空间中的性质，如协方差矩阵的正定性（Positive Definiteness），其在高维下的计算复杂度显著增加。
对Wishart分布和Hotelling T平方分布的理解及其应用可能会对学生的推导能力和应用能力提出较高要求。
3. 多变量假设检验的复杂性：
假设检验特别是广义似然比检验（Generalized Likelihood Ratio Test）的理论基础较为复杂，涉及较为复杂的统计推断技术。
多样本均值向量和协方差矩阵的比较可能会需要学生掌握复杂的矩阵运算和统计理论。
4. 分类算法的构建和理解：
判别分析虽然是基本的分类技术，但其在实际应用中需要考虑高维数据的维数诅咒问题（Curse of Dimensionality）。
对于监督学习和无监督学习的算法，例如k-means和k-nearest neighbors的优缺点及实际应用的掌握要求学生具有强的算法实现和评估能力。
课程作业：占总成绩的20%，包括数据分析报告和编程任务，要求学生使用R软件对多变量数据进行处理和分析。
期末考试：占总成绩的80%，主要考察学生对课程内容的理解和应用能力，包括理论计算和应用问题的解决。
课程作业：要求提供数据分析的完整流程、代码实现和结果解释，重点考察学生的实际操作能力和问题解决能力。
期末考试：包括选择题、计算题和论述题，综合考察学生对多变量统计方法及其应用的掌握情况。
考核方式
考核方法和比重
具体要求
学习成效评估
通过上述考核，全面评估学生对课程知识点的理解、应用及创新能力，确保学生能够将所学知识应用到实际问题的解决中。
Design and Analysis of Experiments - 实验设计与分析 - MATH68082
教学安排
教学计划与时间表
该课程为曼彻斯特大学2024年度开设的高级统计学硕士课程单元，课程代码为MATH68082，学分15分。课程在第二学期进行，共包含33小时的讲座和11小时的辅导课程。学生还需要完成106小时的独立学习。
授课方式
课程采用混合授课模式，包括面授和线上讲授。每周课程安排如下：
周一: 面授讲座（3小时）
周三: 辅导课程（1小时）
周五: 线上讲座（2小时）
此外，课程还包括多个专题研讨会和实验室实践活动，以巩固学生对实验设计和数据分析的理解和应用能力。
课程重点
主要主题与概念
课程主要涵盖以下核心主题和概念：
实验设计基础: 包括处理单元、因素、图块、阻断（Blocking）、完全随机化设计等基本概念。
方差分析（ANOVA）: 讨论固定效应和随机效应，介绍对比分析（contrasts）、ANOVA表格等。
因子设计与嵌套设计: 涵盖一般因子实验、交互作用、嵌套设计等。
阻断和正交设计: 包括随机完全区组设计、拉丁方设计、平衡不完全区组设计等。
响应曲面设计: 探讨二次模型实验设计和优化。
设计最优性标准: 介绍D-最优性、G-最优性、伪贝叶斯标准等。
这些主题在统计学和实际研究中具有重要的应用价值，有助于提升实验设计的科学性和数据分析的准确性。
潜在难点
分点分析学习难题
作为高级统计学课程，本课程在多个方面都具有较高的学习难度，以下是一些潜在的难点及其专业分析：
1. D-最优性和G-最优性标准:
D-最优性是基于实验设计模型的行列式来评估设计的优劣，需深入理解行列式在统计模型中的应用。
G-最优性涉及最大方差元素的最小化，模型优化过程复杂，需要掌握多变量微积分和矩阵论的知识。
2. 方差分析（ANOVA）与对比分析（Contrasts）:
在多因素实验中，方差分析表格（ANOVA Table）的构建和解释复杂，需要熟练掌握线性模型和统计推断。
对比分析（Contrasts）要求对特定统计假设进行检验，涉及复杂的线性组合理论和假设检验。
3. 嵌套设计（Nested Design）的学习难度:
嵌套设计涉及多层次的因素结构，各层次间的随机效应和固定效应之间的区分是学习中的难点。
需要理解嵌套因子的交互效应，对实验数据的建模和分析要求较高。
4. 非线性模型的实验设计:
构建用于估计非线性模型的实验设计涉及非线性优化和数值计算技术，需要掌握高级算法如牛顿法（Newton's Method）和拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）。
非线性模型的参数估计和统计推断具有不确定性，需明确贝叶斯统计的理论基础和应用。
5. 混合效应模型（Mixed-Effects Models）:
涉及固定效应和随机效应的组合，需要在复杂实验数据中正确建模。
学习混合效应模型需熟练使用统计软件（如SAS、R）进行模型拟合和参数估计，要求较高的编程能力和数据处理技能。
考核方式
详细说明考核方法
该课程的考核方式包括以下两种主要方法：
1. 随堂作业和课程项目（占比20%）：
要求学生完成定期布置的作业和项目，通过实际操作和案例分析来巩固课程内容。
作业和项目将包括数据收集、实验设计和数据分析，对学生的实践能力有较高要求。
2. 期末考试（占比80%）：
期末考试将以书面形式进行，涵盖所有课程内容，重点考察学生对实验设计和数据分析理论的理解和应用能力。
考试形式包括简答题、计算题和综合应用题，要求学生能够系统性地解决复杂的统计问题。
作业和项目: 主要评估学生的实践操作能力、数据分析技巧和实验设计原理的应用水平。
期末考试: 评估学生对整个课程内容的全面理解，包括理论知识、计算能力和问题解决能力。
评估标准
通过以上综合考核，能够全面评估学生对实验设计与分析课程的掌握程度，促进其在高级统计学领域的专业发展。
Statistical Computing - 统计计算 - MATH68091
教学安排
授课方式
该课程采用混合模式授课，结合面授和线上资源。每周安排如下：
讲座：每周2小时，共计24小时。
实践课和工作坊：每周2小时，共计22小时。
辅导课：每两周1次，每次1小时，共计12小时。
教学时间表
| 周次 | 内容 | 模式 |
|-----|--------------------------------|-----|
| 1 | 介绍课程 | 面授 |
| 2 | 随机变量模拟介绍：cdf的反演 | 面授 |
| 3 | 拒绝抽样；变换法；比例一致法 | 面授 |
| 4 | 蒙特卡罗积分 | 面授 |
| 5 | 方差减少方法：重要性抽样 | 面授 |
| 6 | 方差减少方法：控制变量法 | 面授 |
| 7 | 非参数bootstrap方法；Jackknife方法 | 混合 |
| 8 | 非参数bootstrap方法的实际应用 | 混合 |
| 9 | 非线性回归：模型规格；最小二乘估计 | 面授 |
| 10 | Gauss-Newton算法 | 面授 |
| 11 | EM算法：数据增量；多项分布模型 | 面授 |
| 12 | 混合分布和Monte-Carlo EM算法 | 混合 |
课程重点
随机变量模拟
学习如何利用逆cdf（cumulative distribution function）的反演、拒绝抽样（rejection sampling）、变换法（transformations）和比例一致法（ratio of uniforms）来模拟随机变量。
方差减少技术
重点介绍了如重要性抽样（importance sampling）和控制变量法（control variates）等减少方差的技术，这些在蒙特卡罗方法（Monte Carlo methods）中的应用至关重要。
非参数统计方法
深入研究bootstrap方法和Jackknife方法，这些非参数方法在估计精度和统计推断中具有重要应用。
非线性回归和EM（期望最大化算法）算法
学习如何在非线性回归模型中应用Gauss-Newton算法，并在使用EM算法时处理数据增量、多项分布模型和混合分布。
潜在难点
1. 随机变量模拟
逆cdf的反演：需要对累积分布函数（cdf）及其逆函数有深入理解，特别是在高维空间中求解复杂。
拒绝抽样：理解拒绝抽样的效率和适用条件是一个挑战，必须精通抽样理论和优化算法。
2. 蒙特卡罗方法
控制变量法：控制变量法需要在实际应用中理解如何选择合适的控制变量来有效减少估计器方差。
重要性抽样：理解和应用重要性抽样在高维空间中的效果，特别是选择合适的目标分布以最小化方差。
3. 统计估计方法
非参bootstrap方法：全面掌握bootstrap方法的理论基础，以及在不同样本规模、数据分布条件下的具体实现和其性质分析。
Jackknife方法：需要深入理解与bootstrap方法的区别和适用场景，特别是如何在高维数据中有效实施。
4. 复杂算法应用
Gauss-Newton算法：在非线性回归中，Gauss-Newton算法的收敛性和优化参数初值选择具体实现具有挑战性，尤其是在高维数据和模型非线性强的场景下。
5. EM算法
数据增量技术：数据增量在部分观测数据存在情况下进行模型参数估计，复杂数据的处理需要精确理解EM算法的每一步。
Monte-Carlo EM：通过Monte-Carlo模拟方法辅助EM算法，在高维度数据下实现复杂模型的参数估计。
形成性考核：三项作业，每项占16.67%，总计50%。作业涉及实际数据的分析和模型构建，需要学生应用所学方法通过软件R进行分析并报告结果。
终结性考核：学期末闭卷考试，占50%。考试将覆盖课程所有重点内容，包括理论部分和实际应用。
作业：每项作业需包含详细的理论分析、方法实现和结果讨论，特别是实际数据分析部分需提交代码和分析报告。
闭卷考试：考试包括大题和小题，综合考察理论理解、应用能力和推理分析，每题的分数将根据准确性、逻辑性和完整性进行评估。
考核方式
考核组成
具体要求与评估标准
通过严格的考核方案，可以全面评估学生对课程内容的掌握程度，确保学生能够理论联系实际，达到课程的预期学习成果。
Markov Chain Monte Carlo - 马尔可夫链蒙特卡罗 - MATH68122
教学安排
教学模式
该课程在第二学期通过面授和线上相结合的混合模式进行。课程内容包括讲座和实践工作坊，总计24小时的讲座和22小时的实践课程。
时间表
每周安排：每周将有3小时的讲座和2小时的实践工作坊。
特殊教学活动：每两周一次的课程作业，以及包含课程内容的反馈辅导。
定期研讨会：用于进一步探讨课程中复杂的统计模型与算法。
实验室实践：通过实际编程练习来增强对MCMC算法的理解和应用。
特殊活动
课程重点
核心主题
1. 贝叶斯统计学（Bayesian statistics）：课程将介绍贝叶斯推断的基本概念，这在统计学习中具有重要的地位。
2. 吉布斯采样 (Gibbs Sampler)：包括数据扩增、燃烧期和收敛，这些是理解多维分布采样的重要工具。
3. Metropolis-Hastings算法：作为MCMC的核心算法，课程详细讲解独立采样器、随机游走Metropolis以及多模态处理等内容。
4. 近似贝叶斯计算（Approximate Bayesian Computation, ABC）：用于复杂模型的参数估计。
5. 可逆跳MCMC（Reversible Jump MCMC）：处理未知参数数目的情况。
课程重要性
这些核心主题在统计领域中至关重要，特别是在处理复杂数据集和高维分布时，MCMC方法提供了强有力的工具。这些技术广泛应用于各种统计模型的估计与校正。
潜在难点
高级难点分析
1. Metropolis-Hastings算法的细节理解：
样本生成的混合时间（Mixing Time）及其对算法收敛性的影响：学生需要理解如何通过设计合适的提案分布（Proposal Distribution）来优化算法的效率。
多模态分布的处理：独立采样器在面临多模态目标分布时可能收敛较慢，学生必须掌握随机游走Metropolis及其适当比例的缩放。
2. 吉布斯采样的实现与优化：
数据扩增（Data Augmentation）通过在缺失数据情况下进行推断，需要学生能够熟练操作贝叶斯网络并对其进行建模。
燃烧期（Burn-in Period）与收敛性诊断（Convergence Diagnostics）：燃烧期影响最终推断的准确度，学生需掌握确定适当的燃烧期长度技巧。
3. MCMC诊断方法的应用（Convergence Diagnostics）：
Gelman-Rubin统计量和其他诊断方法的有效应用：学生需能够正确评估MCMC样本的收敛性，并采取措施提高算法性能。
4. 近似贝叶斯计算（ABC）在大数据中的应用：
参数选择的精确性：在高维空间中，参数选择的策略极其重要，以避免计算复杂度过高。
模拟结果的解释和优化：学生需理解模拟推断中的误差，并通过多次模拟提高精度。
5. 可逆跳MCMC的理解与应用：
处理未知参数数目的复杂性：学生需深刻理解如何在模型选择过程中动态调整参数空间。
考核方式
评估组成
1. 双周课程作业 (Biweekly Coursework)：占总成绩的50%。课程作业主要包括编程实现、理论分析和数据模拟。
2. 期末考试 (Written Exam)：占总成绩的50%。考试内容包括MCMC算法的理论知识和实际应用。
具体要求
课程作业: 学生需具备独立实现各类MCMC算法并进行性能评估的能力。
期末考试: 需全面理解课程讲授的所有算法，能够进行复杂问题的建模和分析，并给出详细的推理过程。
通过这些考核方式，评估学生对MCMC算法的理解和实际应用能力，确保他们能够将所学知识灵活运用于实际问题中。
Longitudinal Data Analysis - 长期数据分析 - MATH68132
教学安排
本课程的教学计划涵盖整个第二学期，共15个学分，由曼彻斯特大学数学系提供。课程的授课形式为线下面授，包括每周的讲座与辅导课。
每周详细安排
第1-10周：每周2小时讲座和1小时辅导课。
第11-12周：独立学习和复习。
全学期：每周大约9小时的独立学习时间，这包括观看视频内容、完成习题、参加黑板上的短测验、准备作业或复习中期考试。
研讨会：用于讨论和解决学生在学习过程中遇到的问题。
数据分析实践：通过统计软件R进行实际数据分析。
特殊教学活动
课程重点
主要主题
1. 回归模型（Regression Models）：包括独立随机误差的线性模型和纵向数据的方差分析（ANOVA）。
2. 广义线性模型（General Linear Models）：涉及相关随机误差的广义线性模型及其协方差模型，例如复合对称性、AR(1)、指数相关、前依赖等。
3. 线性混合模型（Linear Mixed Models）：包括固定效应、随机效应、EM算法等。
4. 非正态纵向数据模型（Non-normal Longitudinal Data Models）：涉及广义估计方程（GEE）和广义线性混合模型（GLMM）。
5. 缺失数据处理（Handling Missing Data）：包括缺失机制和不同的校正方法。
重要性
这些主题在生物学、医学和社会科学等众多领域具有广泛应用。这些模型和方法有助于研究人员理解不同变量间的关系，并对复杂的纵向和集群数据进行分析。
潜在难点
1. 协方差模型的理解与选择：
复杂性：如复合对称（Compound Symmetry）和自回归模型AR(1)的选择和参数估计。理解这些模型之间的区别及其在特定应用场景中的适用性是一个挑战。
估计方法：最大似然估计（ML）和限制最大似然估计（REML）方法的具体实现和差异，这需要深刻理解MLE和REML的理论基础和计算细节。
2. 线性混合模型：
方差成分估计：EM算法在最大似然估计中的应用，以及如何计算随机效应的预测。
模型拟合优度：包括AIC（Akaike Informaton Criterion）和BIC（Bayesian Information Criterion）等模型选择标准的应用。
随机效应模型的表示：理解固定效应、随机效应的意义和在实际数据分析中的实现与解释。
3. 非正态纵向数据模型：
广义估计方程（GEE）：对于工作协方差结构的选择及其对估计结果的影响需要深入理解。
广义线性混合模型（GLMM）：涉及指数族分布（Exponential Family of Distributions）和罚准似然估计（Penalized Quasi-likelihood Estimation）的方法。
4. 缺失数据处理：
缺失机制：缺失完全随机（MCAR）、缺失随机（MAR）和缺失非随机（MNAR）之间的区别及其对分析结果的影响。
多重插补法（Multiple Imputation）和加权估计方程（Weighted Estimating Equations）：这些高级方法需要对背后的统计理论和算法的精细理解。
课程作业（20%）：通过各种形式的作业进行，包括实际数据分析报告和习题。
期末考试（80%）：以笔试形式进行，考察学生对课程内容的全面理解和应用能力。
作业：必须包含使用R软件进行数据分析的方法和结果解释。
期末笔试：需涵盖所有主要授课内容和技术，并对数据分析结果进行解释和评估。
考核方式
具体要求
评价标准
学生的学习成效将通过准确应用统计模型，合理解释分析结果，以及在不同场景下选择适当的方法来评估。
通过对这些高级内容和方法的深入学习，学生将能够独立进行纵向数据的分析，并在实际研究中应用这些技术。这不仅需要学生具备扎实的统计理论基础，还需要实际操作和应用的能力。
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提供课后练习和作业，以巩固学生的学习效果，帮助他们复习和应用所学知识。每个章节结束后，我们会设计相关的练习题和案例分析，帮助学生在实践中掌握理论知识，提高解题能力。
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