密铺是现实生活中比较常见的现象，对原本简单的图形作密铺，可能会实现令人称奇的艺术效果，一起来感受一下吧~~
密铺图形：用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺。
密铺的发展
01
1619年
数学家奇柏（J.Kepler）第一个研究如何利用正多边形密铺平面。
02
1891年
苏联物理学家费德洛（E.S.Fedorov）发现了十七种不同的密铺平面的对称图案。
03
1924年
数学家波利亚（Polya）和尼格利（Nigele）重新发现这个事实 。
之后发生了更有趣的事情
1936年，荷兰艺术家埃舍尔偶然到西班牙的格兰纳达旅行，在参观阿罕伯拉宫时，发现宫内的地板、天花板和墙壁满是密铺图案的装饰。
他因而得到启发，创造了无数的艺术作品，给人留下深刻印象，更让人对数学有了新的认识。
下面是阿罕伯拉宫的密铺图案装饰~
这些繁复精美的几何图形开启了艺术家埃舍尔与数学的缘分，他投入了大量的精力用这些平面结构进行创作，结果却以失败告终。
十年后，就在埃舍尔差点得出自己不会在平面填充这个方向有任何造诣的结论时，他又一次回到阿尔罕布拉宫。
这一次，埃舍尔更加感受到了这些几何图案对划分平面的无限可能性。他和妻子在宫里进行了大量临摹，回到家后又进行了细致的研究。
同时，埃舍尔读了大量平面填充数学原理以及装饰应用方面的书籍。最终，他研究出了一套创作系统，即：填充物不止是规则的几何图形，还包括了各种形状的图形。
昼与夜
他首次将艺术与密铺图像相结合，作品《昼与夜》大卖，且远超其他名作。
变
形
Ⅱ
密铺小知识
这就是我们今天要讲述的复杂图形的密铺。
埃舍尔创作的“密铺图案”令人印象深刻。
而由此发展而来的密铺型瓷砖就被称为「埃舍尔风格瓷砖」。一位来自法国的铺砖高手——Alain Nicolas，他号称自己是世界上最会铺“埃舍尔瓷砖”的人，并创作出了许多作品。
在Alain Nicolas的个人网站中有数不尽的铺砖作品，还细心地配有铺砖教程。
复杂图形实际上就是复杂多边形的变体，要实现图形密铺是需要符合一套几何算法的。
其中，最简单的方法就是通过“改造”基础的平铺单元，衍生出较为复杂的图案。
原理最简单，东边凹来西边凸，就看你的脑洞了……
或者，除了在多边形对应的两边上同时进行如平移般的“凸出”和“凹陷”操作外，也可以利用基础多边形的对称特性，做一些旋转、滑移反射、轴对称等稍高级些操作。
对应的鸽子形成的密铺图形：
当然，上面介绍的都是一些相对简单的平铺图案。因为不管怎样，这些瓷砖的规律显而易见，只需进行简单的平移，图案便会出现重合。
但还有一些瓷砖却是无论向哪个方向移动都不会完全重合，比如：彭罗斯贴砖。
（我瞎了……）
有关密铺的延伸创作
事实上，埃舍尔在那之后继续进行着密铺图形创作的延伸，将图形密铺与其他的数学思想相结合，对密铺图像有了全新的解读，
比如：
将密铺与极限的概念结合
《圆极限Ⅱ》
《圆极限Ⅲ》
《方极限》
密铺与莫比乌斯环概念相结合
《天鹅》
二维密铺与三维世界相结合
《循环》
《美洲鳄》
《相遇》
数学世界真是充满惊喜呢！
埃舍尔的人生传记
埃舍尔还有很多很多有趣的作品。这些作品就算现在都让人眼前一亮、赞叹不已！
《钟楼》
事实上，埃舍尔的艺术道路并不是一帆风顺的，他出生在一个科学之家，父亲是工程师，四个兄弟都是科学家，全家只有他一人从事艺术工作。
小时候，美术老师并不看好埃舍尔，断言「这个年轻人过于拘谨，过于墨守成规，太缺乏感觉和灵性，太没有艺术家的气质」。
在艺术界，埃舍尔的作品很长一段时间并不被看好，他从没有被当作过一个艺术家。在学术界，数学家也质疑他的专业性。他没有受过中学以外的数学训练。
《上升与下降》
被夹在两界边缘的他，挑战艺术与学术届的权威，既然没人认可，对于那些反对他的艺术家，他就索性拒绝交流，在自己的艺术世界里自由翱翔。
就算自己没受过专业的数学训练，那也没有人可以阻止他坚持画自己喜欢的作品。
《瀑布》
他不听从社会主流，而是追求个人的精神自由。周围人可能觉得他贫穷，像流浪艺术人一样低贱，但他从没在意过他人，始终做着自己认为正确的事。
明明出生在科学世家却偏偏要搞艺术。就算孤身一人，也绝不服从主流的思想，无视所有的傲慢与偏见，专心做自己，在那个历史背景下创作出了符合未来审美的作品。
我们习以为常的现在，就是他们展望的未来。
这样的埃舍尔可太酷了吧！
密铺图形小测试
最后，给大家出道题吧！
下面给出了12组图案轮廓，并告诉了你这是由几个相同图案组成的（two pieces = 2个相同图案；three pieces = 3个相同图案）。试着将它们分隔开来吧！
举个例子，下边左边这个轮廓可以分解成右边的两条鱼：
可组成下面这张棋盘画（埃舍尔瓷砖中最基础的一种）：
最后再提示一句：今天问题中的瓷砖都是小动物图案。答案见文后~
不知道大家看出来几个呢？
如果你能回答出不止一个，那说明你的几何直觉非常强大哟！
