现代数学家对复数的看法如斯，无限拔高了复数的地位，这样说有道理吗？
1 对于复数的普通认知
我想，对于复数，或许大家一般会有以下的认知吧。
1.1 应付考试
高中的时候，会粗略地学习下复数，首先定义：
然后形如：
这样的数就是复数。有了复数之后，开方运算就不再局限于大于0的数了，这样高中必考的一元二次方程：
就总是有解了：
书上还会给出一些复数的运算法则，这样高考命题组就可以出题了。最后留给同学们的印象，似乎复数就是一个类似于太阳能电筒（不带蓄电池）一样，属于智力过剩的产物，是数学家的玩具。
1.2 数系完善
增加负数，可以使得减法任意进行。而有了 之后，开根号运算就可以随意了，比如：
对数运算也可以操作负数了，比如（下面用到欧拉公式，可以参考这里）：
这样，基本上就只有：
除以0
这两个运算没有办法执行了。不过大家思考过没有，完善数系真的那么重要呢？如果非常重要的话，为什么不能发明一个数系能够使得“除以0 ”可以进行下去？
你别说，史上有非常多的数学家想去发明能够兼容“除以0”的数系，可惜都失败了，因为没有办法自洽。比如说，某个数系兼容“除以0 ”，那么很容易得到荒谬的结论：
你说这种扩展数系的方法不对，换种别的扩展方式或许就能自洽。但是数学家试过各种扩展方式，都没有办法自洽。
深想一步，尝试了无数种方法都没有发明出兼容“除以0 ”的数系，是否意味着不存在这样的数系。就好比，尝试了无数种永动机，下面是其中之一：
这些永动机最后都被证伪，实际上“永动机”这个目标就是错误的（1775年法国科学院通过决议，宣布永不接受永动机。现在美国专利及商标局严禁将专利证书授予永动机类申请。据说现在有什么时间晶体，不了解就不发言）。
再深想一步，为什么扩展 就那么容易呢？没有遇到自洽的问题呢？这是因为当人们抽象出“1+1=2”的时候，复数就根植于逻辑之上、存在于数学之中，静静地等待着人们的发现。
2 二维的数
假设有一个生活在二维空间中的纸片人：
突然发现有一个黑点在草地上忽大忽小的闪烁，纸片人完全不知道怎么去解释：
如果切换到三维视角去的话，问题就很简单了，原来是一个三维的球体穿过二维平面：
上面的完整动画如下（出处是这里）：
实数是一维的数，既生活在一维的实数轴上，又困囿其上：
而复数生活在二维复平面，拥有更大的自由度：
类比刚才的动画，你就会明白为什么复数域更加重要，也不可或缺，因为它带给我们更广阔的视野。在复数域中解决一些问题会更加简单、更接近本质。
让我们带着这个模型重新审视下复数的发现历史，进一步去理解复数。
3 复数的历史
3.1 纸片人卡尔达诺
意大利数学家，吉罗拉莫·卡尔达诺（1501－1576），在它的著作《大术》中（这本书首次记载了一元三次方程的完整解法）提到这个一个问题，能否把10分成两部分，使它们的乘积为40？
他给出一个答案，令：
这样就满足题目的要求：
不过他自己也认为这不过就是一个数学游戏，虽然出现了虚数，但是“既不可捉摸又没有什么用处”。
此时的卡尔达诺就好像之前的纸片人，虽然想到了虚数，触摸到了更高的维度，但是终究还是把它看成一种幻想。
之后的笛卡尔把 称为虚数，也就是虚幻的、想像出来的数；莱布尼兹描述它为“介乎于存在与不存在之间的两栖数”。
确实，纸片人要跳出自己的维度去想问题是非常困难的。
3.2 邦贝利的思维飞跃
拉斐尔·邦贝利（1526－1572），文艺复兴时期欧洲著名的工程师，同时也是一个卓越的数学家，其出版于1572年的《代数学》一书讨论了负数的平方根（虚数）：
正是这本书产生了一个思维飞跃，下面用现代语言来介绍一下。
3.2.1 一元二次方程
首先，标准的一元二次方程：
它的解为：
从几何上看，解就是 与
的交点。当
时，
与
有两个交点，也就是有两个根
、
：
而 ，此时
与
不相交：
也就是说，不引入虚数（因为 ，如果根据公式求解的话，就会引入虚数），是不会产生任何问题的。本来从几何上看，此时方程就不应该有解。
3.2.2 一元三次方程
形如：
的三次方程，卡尔丹诺在《大术》这本书中给出了通解：
如果 ，
，可以得到方程：
从图像上看， 与
有三个交点的：
套用通解会得到：
邦贝利指出：从几何上看是有解的，但是必须通过虚数来求解！
邦贝利大胆地定义了复数的乘法（就是多项式乘法的合理延伸）：
最终通过复数以及复数乘法，邦贝利解出了此方程的三个实数解（这里不过多解释了，这不是本文的重点）。
这是一个巨大的思维飞跃，就好像刚才的纸片小人，困惑于“为什么有一个黑点在草地上忽大忽小的闪烁”？最终发现，需要通过更高维度才能真正解决这个问题。
邦贝利通过更高维度的复平面，解决了低维度的实数问题，真正的把复数带入了人们的视野。所以他被认为是复数的发现者。
3.3 傅立叶变换
复数进入纸片人的视野，大家花了很长的时间才真正接受它。接受它之后发现了非常多的应用，比如傅立叶变换。
还是回到之前纸片人的动画，对于纸片人，它只有上下左右的观念：
而三维空间的人却可以看到更多的方向、更多的内容：
傅立叶变换也可以说是同样的思路， 是低维度的函数：
对 进行傅立叶变换：
抛开其它细节不谈，最重要的是 ，乘以一个复数，就把
拉到更高维度的空间去审视，从而可以得到更多的细节，比如频域。
关于傅立叶变换，我们也写过很多的文章，感兴趣可以去看看：
如何直观地理解傅立叶变换？
如何理解傅立叶级数公式？
从傅立叶级数到傅立叶变换
4 更高维度的数
自然会有这么一个问题，是否有更高维度的数？答案是有的，比如四元数。
威廉·哈密顿爵士（1805－1865）发现了四元数：
其中 、
、
就是对虚数维度的扩展。为此还成立了四元数推广委员会，提议学校像实数一样教授四元数。
四元数刚开始的时候引起了很大的争议，计算很复杂，但是用处不明显。用处不明显的原因或许是，当时面临的问题还不够复杂，还用不到比复数还高的维度。
到了现代，终于在电脑动画中、量子物理中找到了四元数更多的应用，只是这些应用对普通人距离太远了。
