初赛考试内容为数学专业本科阶段数学基础课内容。共包括三门课程，占有的分值大致比例分别为：数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%；
◆实数集、有理数与无理数的稠密性, 实数集的界与确界。
◆n 维 Euclid 空间的基本概念与性质。
◆实数系基本定理及其在 n 维 Euclid 空间中的对应定理。
◆函数、映射、变换及其几何意义, 隐函数, 反函数与逆变换, 反函数存在定理, 初等函数及相关的性质。
◆Rn 中点列极限、收敛列的基本性质。
◆夹逼准则、子列极限。
◆函数极限及其基本性质。
◆函数的连续与间断、左连续右连续、 (有界闭集上) 连续函数的性质。
◆上极限、下极限。
◆导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法, 微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性。
◆微分中值定理与 Taylor 公式。
◆一元微分学的应用。
◆偏导数、全微分及其几何意义, 可微、偏导存在、连续之间的关系, 复合函数的偏导数与全微分, 一阶微分形式不变性, 方向导数与梯度, 高阶偏导数, 多元函数中值定理与Taylor 公式。
◆多元复合函数的可微性和求导、隐函数 (组) 存在定理、隐函数 (组) 求导方法、多元向量值函数的反函数。
◆几何应用： 平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线等。
◆极值问题, 条件极值与 Lagrange 乘数法。
◆原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法 (直接积分法、换元法、分部积分法) 、有理函数积分等。
◆定积分及其几何意义、 上积分、下积分、Darboux 和 Riemann 、可积条件 (必要条件、充要条件) 。
◆定积分的性质。
◆无限区间上的广义积分及无界函数广义积分。
◆微元法、几何应用及其他应用。
◆积分 (尤其是二重三重积分) 及其几何意义、计算 (累次积分、变换代换 (广义极坐标变换、广义柱面坐标变换、广义球面坐标变换等)。
◆重积分的应用 (体积、曲面面积、重心、转动惯量等)。
◆含参量常义积分及其连续性、可微性、可积性等。
◆第一型曲线积分、曲面积分。
◆第二型曲线积分、曲面积分, 两类线积分、两类面积分之间的关系。
◆Green公式、Ostrogradsky-Gauss公式、Stokes公式, 曲线积分与路径无关性、循环常数、场论初步等。
◆数项级数、正项级数收敛性；一般项级数的收敛性。
◆函数列与函数项级数。
◆幂级数。
◆Fourier级数及Fourier级数的收敛性。
◆数域与一元多项式。
◆因式分解定理。
◆有理系数多项式。
◆多元多项式及对称多项式、韦达 (Vieta) 定理。
◆行列式的定义、性质、计算以及克拉默法则。
◆高斯 (Gauss) 消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解。
◆向量与向量组。
◆矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系。
◆线性方程组求解
◆矩阵的概念、矩阵的运算 (加法、数乘、乘法、转置等运算) 及其运算律。
◆矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系。
◆矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件, 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形及逆矩阵的求取等。
◆分块矩阵。
◆高斯 (Gauss) 消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解。
◆向量与向量组。
◆矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系。
◆线性方程组求解。
◆线性空间的定义与简单性质。
◆维数, 基与坐标。
◆基变换与坐标变换。
◆线性子空间。
◆子空间的交与和、维数公式、子空间的直和。
◆线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵。
◆特征值与特征向量: 线性变换和矩阵的特征值与特征向量、可对角化线性变换和矩阵的性质与判定, 相似矩阵、相似不变量、哈密顿-凯莱(Hamilton-Caley) 定理等。
◆线性变换的值域与核、不变子空间、线性空间的分解与同构。
◆λ- 矩阵: λ- 矩阵、λ- 矩阵在初等变换下的标准形, 行列式因子、不变因子、初等因子, 矩阵相似的条件等。
◆若当 (Jordan) 矩阵、若当 (Jordan) 标准形、有理标准形。
◆定义与基本性质: 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵, 标准正交基、正交矩阵、施密特 (Schmidt) 正交化方法等。
◆欧氏空间的同构, 正交变换、子空间的正交补, 对称变换、实对称矩阵的标准形。
◆主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形。
◆酉空间。
◆向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算。
◆坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算。
◆向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角。
◆向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用。
◆应用向量求解一些几何、三角问题。
◆曲面方程的定义: 普通方程、参数方程 (向量式与坐标式之间的互化)及其关系。
◆空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系。
◆建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程。
◆球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程。
◆平面方程、直线方程的各种形式, 方程中各有关字母的意义。
◆从决定平面和直线的几何条件出发, 选用适当方法建立平面、直线方程。
◆根据平面和直线的方程, 判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系。
◆根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等; 求两异面直线的公垂线方程。
◆柱面、锥面、旋转曲面的定义, 求柱面、锥面、旋转曲面的方程。
◆椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质, 根据不同条件建立二次曲面的标准方程。
◆单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法。
◆根据给定直线族求出它表示的直纹面方程, 求动直线和动曲线的轨迹问题。
◆二次曲线的渐进方向、中心、渐近线。
◆二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点。
◆二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径。
◆二次曲线的主轴、主方向, 特征方程、特征根。
◆化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图。
来源：金爸爸教你学数学
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