曼彻斯特大学Statistics MSc -统计学硕士专业课程资料全解析！

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Statistical Inference - 统计推断 - MATH68001

教学安排

该课程为曼彻斯特大学数学系硕士阶段的课程，计15个学分，在第一学期进行。教学安排如下：

• 授课方式：课程采用混合模式，包含面授讲座和线上辅导。

• 面授讲座：每周3次，每次1小时，共33小时。

• 辅导课：每周1次，每次1小时，共11小时。

• 独立学习：预计学生需要进行106小时的独立学习。

• 特殊教学活动：课程期间会安排若干个研讨会，旨在深入讨论和分析课程重点内容及其应用。

课程重点

课程涵盖统计推断的核心概念和方法，主要包括以下几个方面：

1. 估计（Estimation）：注重点估计、无偏性（unbiasedness）、均方误差（Mean Squared Error）、一致性（consistency）、评分函数（score function）、Fisher信息（Fisher information）、Cramer-Rao不等式（Cramer-Rao inequality）、效率（efficiency）和最有效估计量（most efficient estimators）。

2. 估计方法（Methods of estimation）：如最大似然估计（Maximum Likelihood Estimators, MLE）及其渐近性质（asymptotic properties）。

3. 假设检验（Hypothesis testing）：包括Wald检验、广义似然比检验（Generalised Likelihood Ratio Test, GLRT）、Pearson卡方统计量（Pearson Chi-Squared Statistic）等。

4. 贝叶斯推断（Bayesian inference）：涵盖贝叶斯估计、先验分布（priors）、后验分布（posteriors）、损失函数（loss functions）及后验损失期望值（expected posterior loss）等。

这些主题是统计学中极为重要的基础，掌握这些概念有助于理解和进行复杂的数据分析和模型构建。

潜在难点

作为高级教授，我认为以下几个方面可能会成为学习的难点：

1. Fisher信息量及其应用：

• 难点：理解和计算Fisher信息量，特别是在多参数环境下。

• 分析：Fisher信息量是衡量估计量精度的重要工具，但其计算常涉及复杂的积分和微分操作。在高维数据或非线性模型中，准确计算并应用Fisher信息量变得更加困难。

2. Cramer-Rao界的应用：

• 难点：不仅要理解Cramer-Rao不等式的理论，还需灵活应用于不同的估计问题中。

• 分析：Cramer-Rao界提供了无偏估计量方差的下界，但实际应用时需考虑模型复杂度、数据分布及参数空间的多样性，这些都增加了学习和应用的难度。

3. 广义似然比检验（GLRT）：

• 难点：推导和验证GLRT的渐近性质。

• 分析：GLRT在统计检验中广泛应用，但其渐近性质的理解需要深厚的概率论基础以及对渐近统计量分布的熟悉，如卡方分布的渐近行为等。

4. 贝叶斯估计及损失函数：

• 难点：构建和选择适当的先验和后验分布，特别是非信息先验（non-informative priors）和共轭先验（conjugate priors）的使用。

• 分析：贝叶斯估计需要在先验知识和数据证据之间取得平衡，这要求学生具备强大的先验建模能力和对后验更新公式的深入理解。不同的损失函数（如平方损失、绝对损失）在实际中的选择和应用，更增加了计算和决策的复杂性。

考核方式

该课程的考核方式包括以下几部分：

1. 其他考核（20%）：

• 包括课程作业和课堂测试。作业旨在评估学生对理论知识的理解和应用。

2. 书面考试（80%）：

• 期末考试，主要考察学生对所有课程内容的全面掌握情况，包括理论证明、计算以及实际应用等。

评分将根据学生在理论和实际应用中的表现进行评估，并通过反馈课程作业和课堂测试，为学生提供改进建议。

通过这种详细和专业的总结方式，希望能够提供一个全面而深刻的学习指南，帮助学生更好地应对课程中的挑战。

Linear Models with Nonparametric Regression - 线性模型与非参数回归 - MATH68011

教学安排

授课计划和时间表

本课程由曼彻斯特大学数学系提供，属于FHEQ 7级（硕士学位或四年制综合硕士学位的第四年），共计15学分，计划在第一学期进行。授课模式为面授，包括每周3小时的讲座和1小时的辅导课。

每周课程安排

• 讲座：

• 每周三次，每次1小时，主要讲授理论知识和案例分析。

• 辅导课：

• 每周一次，每次1小时，提供学生互动和作业反馈。

• 独立学习：

• 每周大约8小时，用于预习、复习和完成作业。

特殊教学活动

• 研讨会：

• 在学期中期和期末各安排一次研讨会，讨论课程中的难点和应用案例。

• 实验室实践：

• 用于R语言软件的操作和数据分析练习。

课程重点

重要主题和概念

线性模型（Linear Models）

• 一般线性模型（General Linear Models）：

• 最小二乘估计（Least Squares Estimators，LSE）及其性质。

• 残差（Residuals）和残差平方和（Residual Sum of Squares, RSS）。

• 杠杆值（Leverage）和线性假设检验（Linear Hypothesis Testing）。

• 回归分析（Regression Analysis）：

• 简单回归和多元回归（Multiple Regression）。

• 哑变量（Dummy Variables）和协方差分析（Analysis of Covariance）。

• 方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）：

• 一元和双因素方差分析。

• 比较和交互作用（Interactions）。

非参数回归（Nonparametric Regression）

• 局部多项式回归（Local Polynomial Kernel Regression）：

• 平滑参数（Smoothing Parameter）的选择。

• 验证参数回归模型的有效性。

• 样条回归（Spline Regression）：

• 样条回归的引入和应用案例。

专业学习中的位置和重要性

线性模型和非参数回归是统计学及其应用领域中的核心工具，用于处理复杂的多变量数据分析问题。同时，与R语言相结合的实用性，使得本课程在实际数据分析和研究工作中尤为重要。

潜在难点

学习难题分析

1. 最小二乘估计（Least Squares Estimators, LSE）

• 问题：理解和推导最小二乘估计公式及其统计性质。这涉及到线性代数和概率论的深层次知识。

• 专业术语：如LSE的无偏性（Unbiasedness）和一致性（Consistency）、协方差矩阵（Covariance Matrix）的计算等。

2. 线性假设检验（Linear Hypothesis Testing）

• 问题：建立和验证线性假设的能力，特别是理解F检验（F-Test）的统计原理和分布特性。

• 专业术语：广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix）、渐近分布（Asymptotic Distribution）。

3. 非参数回归（Nonparametric Regression）

• 问题：选择平滑参数（Smoothing Parameter）和构建局部多项式回归模型的方法。

• 专业术语：核函数（Kernel Functions）、偏差-方差权衡（Bias-Variance Tradeoff）、交叉验证（Cross-Validation）。

4. 方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）

• 问题：理解和计算方差分析中不同情境下的误差项（Error Terms）和交互作用（Interactions）。

• 专业术语：平方和分解（Sum of Squares Decomposition）、效应大小（Effect Size）。

5. R语言程序设计

• 问题：使用R语言进行回归分析和非参数回归的语法和函数调用。

• 专业术语：如lm()函数的运用、ggplot2包的可视化技术。

考核方式

评估方法和比重

• 课程作业（Take-home coursework）：20%

• 包括数据分析项目和理论问题解答，要求学生在真实数据集上应用所学理论。

• 期末考试（Written exam）：80%

• 以笔试形式进行，重点测试学生对主要概念和理论方法的掌握情况。

具体要求和评估标准

• 课程作业：

• 要求使用R语言进行数据分析，提交代码和分析报告。

• 评估标准包括准确性、完整性和分析深度。

• 期末考试：

• 包括选择题、填空题和综合大题，覆盖课程的主要知识点和应用技巧。

• 评估标准包括正确性、推理过程的清晰性和解题技巧。

通过上述安排和考核方式，学生能够在理论和实践两方面全面掌握线性模型和非参数回归的知识和技巧。

Generalised Linear Models and Survival Analysis - 广义线性模型与生存分析 - MATH68052

教学安排

教学计划和时间表

• 教学模式：该课程采用混合模式教学，包括线上和面授课程。

• 学期安排：第二学期。

• 课程安排：

• 每周两次讲座，每次2小时，总共32小时。

• 每两周一次教程，每次1小时，总共6小时。

特殊教学活动

• 研讨会：课程中包含数次针对特定主题的研讨会，学生需要提前阅读相关材料进行讨论。

• 实验室实践：学生将使用R编程语言进行数据分析的实际操作，增强对理论的理解。

课程重点

• 广义线性模型（Generalized Linear Models, GLM）：包括线性预测器、链接函数、最大似然估计等。重点是离散数据的分析，如二项分布和泊松分布数据。

• 生存分析（Survival Analysis, SA）：包括生存函数、危险函数及其估计方法。重点介绍不依赖于参数估计的Kaplan-Meier方法，以及参数化估计如Weibull分布。

核心观念

• 指数族分布（Exponential Family of Distributions）：理解广义线性模型在统计建模中的应用。

• 比例风险模型（Proportional Hazards Models）：在生存数据中对协变量的作用进行建模分析。

潜在难点

复杂算法理解

1. 迭代重加权最小二乘算法（Iteratively Reweighted Least Squares Algorithm, IRLS）：

• 挑战：算法的收敛性及其在参数估计中的稳定性分析。

• 细节：理解Fisher信息矩阵在更新步骤中的应用，以及高维数据中计算复杂度的管理。

2. 部分似然估计（Partial Likelihood Estimation）：

• 挑战：用于Cox比例风险模型中的部分似然函数，比完全似然估计更为复杂，涉及危险函数的非参数估计。

• 细节：深入理解部分似然与完全似然的区别，以及计算Schönfeld残差和沃尔夫残差的技巧。

数据处理与模型验证

1. 数据的预处理与转换：

• 挑战：处理右截尾数据（Right Censoring）以及不完全数据的挑战。

• 细节：实现客户生存率曲线的准确估计，并控制估计结果的偏差和方差。

2. 模型诊断与验证：

• 挑战：使用残差图和诊断统计量（如AIC, BIC）进行模型适配性的检查。

• 细节：理解混淆矩阵在逻辑回归中的应用，以及针对多变量模型的偏相关诊断。

理论基础的深入探索

1. 指数族分布的数学推导：

• 挑战：推导各种分布的均值、方差及其方差函数，并理解这些分布如何包含在指数族中。

• 细节：特别是对于一元和多元泊松分布的推导，标准化处理及其在大数据分析中的应用。

考核方式

考核方法

1. 书面考试（Written Exam）：

• 比重：80%

• 要求：包括理论推导、算法设计和案例分析，时间为3小时。

2. 课程作业（Coursework）：

• 比重：20%

• 内容：为期两周的居家作业，要求学生利用统计软件对数据进行建模和分析，提交详细的分析报告。

学习成效评估

• 通过反馈教程提供改进建议：包括学生作业的互动评估。

• 直接面见课程讲师：通过讲师答疑时间，学生可直接获取个人化的反馈。

通过以上组合的考核方式，能够全面评估学生对广义线性模型和生存分析各个概念及方法的掌握情况，并帮助学生在实际问题中灵活应用上述理论和方法。

Multivariate Statistics - 多元统计 - MATH68061

教学安排

教学计划和时间表

• 教学模式：本课程采用混合授课方式，包括线上和面授教学。

• 课程时间表：

• 每周三次讲座（共33小时）

• 每周一次研讨会（共11小时）

• 特别教学活动：

• 数据分析实践课：学生需使用R统计软件进行多元数据的实际分析。

• 研讨会：每周通过研讨会形式反馈学生的学习情况，并提供个性化教学指导。

授课方式

• 授课主要通过面对面的讲座和在线讨论结合的方式，使学生能够灵活学习和讨论复杂的统计概念。

课程重点

主要主题和概念

• 随机向量与矩阵：

• Multivariate normal distribution (MVN)：多元正态分布的定义及其性质。

• Mahalanobis transformation：马哈拉诺比斯变换及其在多元数据分析中的应用。

• 主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）：

• 定义与推导：如何从协方差结构导出主成分。

• 聚类分析（Cluster Analysis）：

• 层次聚类算法与树状图（dendrogram）的使用。

• 假设检验与置信区间：

• 单样本与双样本情况下的广义似然比检验（generalized likelihood ratio test）。

课程在专业学习中的位置及其重要性

该课程作为高阶统计课程，连接了基础统计知识与复杂的数据分析方法，是统计学、数据科学等专业领域深入研究和实际应用的基础工具。通过掌握这些多元统计方法，学生能够处理更复杂的数据结构，并应用于科学研究、商业分析等多种领域。

潜在难点

专业内核分析

1. 多元正态分布及其性质的理解

• 高维协方差矩阵的判定与分解：

• 学生需熟练掌握协方差矩阵的特征值分解（Eigenvalue Decomposition），理解其几何意义。

• Wishart分布和Hotelling T平方分布：

• 这些分布的推导及其应用场景分析，需要学生具备扎实的概率论基础。

2. 主成分分析（PCA）

• 协方差矩阵的特征值和特征向量计算：

• 在实际应用中，特征值和特征向量的数值稳定性及其在大数据集上的高效计算是难点。

• 解释主成分的几何性质：

• 主成分在高维空间中的投影解释及其可视化，理解如何进行降维处理并确保信息的无损保留。

3. 假设检验的复杂性

• 广义似然比检验（GLRT）：

• GLRT在多元数据中的实现和计算复杂性是难点，需要掌握似然函数的构建和极大化技术。

• 多元数据的置信区间计算：

• 需熟练应用由多元正态分布推导出的置信区间公式，并理解其统计意义。

4. 分类与聚类算法

• 监督学习与无监督学习的算法细节：

• 如线性判别分析（Linear Discriminant Analysis, LDA）和K-means聚类的数学原理及其实现。

• 高维空间中的距离度量：

• 包括欧氏距离（Euclidean Distance）、马哈拉诺比斯距离（Mahalanobis Distance）在高维数据中的应用及其物理意义的理解。

实验和实际操作中可能遇到的难题

• R统计软件的使用与多元数据分析：

• 数据导入与清洗：处理含噪声与缺失值的实际数据。

• 高维数据的可视化与解释：如何通过图形化手段有效展示和解释高维数据的关系和结构。

考核方式

各种考核方法的比重与具体要求

• 课程项目（20%）

• 主要考察学生实际数据分析能力，通过完成指导性课程作业，要求应用课上所学的多元统计方法进行数据集的分析和报告撰写。

• 期末考试（80%）

• 使用笔试形式，包括理论知识的测试和数据分析技术的应用，需要学生在规定时间内独立解答复杂的统计问题。

如何评估学生的学习成效

• 课程项目评估：

• 通过课程作业中的实际数据分析过程和最终报告的质量进行评估，包括结果的正确性、方法的选择和合理性解释。

• 期末考试评估：

• 考试题目覆盖课程重点，评估学生对多元统计理论的掌握情况以及其在新情境中新应用这些方法的能力。

总之，MATH68061 多元统计课程不但教授理论知识，还注重培养实际应用和分析能力。通过严格和具体的考核方式，多维度评估学生的综合学习成效。

Design and Analysis of Experiments - 实验设计与分析 - MATH68082

教学安排

课程概述

实验设计与分析课程旨在教授学生实验设计的基本原则以及数据统计分析的方法。课程涉及各类标准实验设计和所获得数据的分析。同时，引入实验设计的最优性（optimality）标准，并教授构建非标准设计的方法。

教学计划及时间表

• 教学方式：本课程采用混合模式教学，包括线下面授和线上学习资源。

• 课程时长：第二学期，共15学分。

• 周课程安排：

• 讲座：每周三次，每次1小时，总计33小时。

• 辅导课：每周1小时，总计11小时。

• 独立学习：每周大约10小时，总计106小时。

• 特殊教学活动：包括动手实验和研讨会，其时间在课程进行过程中通知。

课程重点

主要主题

1. 基本概念：处理、因素、区组、精度、效率、重复、随机化和设计。

2. 完全随机设计：固定效应和随机效应，对比，ANOVA表。

3. 因子设计（Factorial designs）：总因子实验；固定与随机效应；交互作用。

4. 嵌套设计（Nested designs）。

5. 区组设计（Blocking）：正交设计与非正交设计。

6. 响应面设计（Response surface designs）。

7. 设计最优性标准（Criteria for design optimality）。

8. 一般等效定理与D最优设计的构建（The General Equivalence Theorem and D-optimal experimental designs）。

9. 非线性模型设计（Designs for nonlinear models）。

专业位置及重要性

实验设计在科研领域占据关键地位，涉及生物学、医学、化学、物理、工程和农业等众多行业。掌握该课程中的概念和方法，能提升学生在科研实验中的数据分析能力，优化实验资源利用率，并提高实验结果的可靠性和可重复性。

潜在难点

学习难题分析

1. 最优性标准的理解和应用

• D-和G-最优性标准：理解这些统计最优性标准的数学基础及其实际应用。涉及拉贝尔（Löwner）偏序、Fischer信息矩阵（Fisher Information Matrix）以及广义误差方阵（Generalized Error Covariance Matrix）的深刻理解。

• 一般等效定理（General Equivalence Theorem）：该定理在实验设计中至关重要，但其证明和应用复杂，需要深入理解线性代数和统计理论。

2. 构建和分析复杂设计

• 非正交设计（Non-orthogonal designs）：包括不完全区组设计（Balanced Incomplete Block Designs）等。如何在不正交的情况下保证实验结果的独立性和效应估计的准确性是一个挑战。

• 非线性模型设计：非线性模型要求学生具备非线性回归及数值优化的知识，并掌握局部和伪贝叶斯标准（Pseudo-Bayesian Criteria）的具体应用。

3. ANOVA表和效应估计

• 混合效应模型（Mixed Effects Models）：理解固定效应和随机效应的区别，以及在不同实验条件下如何应用混合效应模型进行数据分析。

• 交互作用与高阶效应：因子设计中的交互作用（Interactions）的分析，以及如何在较高的阶数（Higher-order Effects）上进行精确估计和解释。

4. 高维实验设计

• 响应面方法（Response Surface Methodology, RSM）：高维空间下的设计优化和响应曲面的构建。涉及多元统计分析和实验设计的复合方法。

• 分数因子设计（Fractional Factorial Designs）：如何在大因子数的情况下选择最优设计，并保证结果的可解释性和准确性。

考核方式

考核方法

1. 课程作业（20%）：

• 形式：包括编程作业和书面报告。

• 具体要求：学生需根据指定数据集设计实验方案，并进行数据分析，撰写详细报告。

2. 期末考试（80%）：

• 形式：笔试，涵盖全部课程内容。

• 具体要求：需要学生灵活应用所学知识，设计实验并分析数据，回答理论问题和实际应用问题。

评估标准

• 作业评估：通过检查设计的科学性、数据分析的准确性和报告的完整性评估学生的学习成效。

• 考试评估：通过理论问题和实际病例分析测试学生对知识的理解程度和灵活应用能力。

总结而言，本课程不仅旨在教授实验设计和数据分析的基本理论，更注重培养学生在实际科研中应用这些知识的能力。通过详细、专业的学习安排和评估方式，帮助学生深入掌握实验设计与分析的高级知识。

Statistical Computing - 计算统计 - MATH68091

教学安排

授课方式

本课程采用混合模式授课，包括线上和面授。同时，课程还包含实验室实践和研讨会。具体安排如下：

• 线上讲座：每周2小时，通过直播和录播形式进行。

• 面授讲座：每周2小时，在校内指定教室进行。

• 实践课程：每周1次，每次2小时的上机实验，主要使用统计软件R。

• 研讨会：每两周一次，1小时的讨论会，结合实际问题和学生项目进行讨论。

时间表

• 第1-2周：课程介绍；仿真随机变量。

• 第3-4周：蒙特卡罗积分；方差减缩技术。

• 第5-7周：非参数自助法与Jackknife技术。

• 第8-9周：非线性回归和Gauss-Newton算法。

• 第10-12周：EM算法及其应用。

课程重点

主要概念与主题

1. 仿真随机变量（Simulating Random Variables）：通过反转累积分布函数（cdf inversion），拒绝抽样（rejection sampling）等方法仿真随机变量。

2. 蒙特卡罗积分（Monte Carlo Integration）：使用蒙特卡罗方法进行积分计算，并探讨方差减缩技术如重要抽样（importance sampling）和控制变量（control variates）。

3. 非参数自助法（Nonparametric Bootstrap Methods）：包括自助法（bootstrap）和Jackknife技术，用于评估统计估计的精确度。

4. 非线性回归（Nonlinear Regression）：包括模型规范、最小二乘估计、Gauss-Newton算法。

5. EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）：讨论在不完全样本信息情况下最大似然估计的求解方法。

专业学习中的位置及重要性

这些主题在统计学中具有至关重要的地位。仿真随机变量和蒙特卡罗方法构成了现代统计计算的基石，自助法广泛应用于估计的置信区间计算，非线性回归和EM算法在复杂模型中的参数估计中不可或缺。

潜在难点

具体难点分析

1. 仿真随机变量的理解与实现：

• 反转累积分布函数（Inversion of the CDF）：学生需要具备扎实的概率论基础，并能灵活运用分布函数的反操作，这在处理复杂分布时尤为棘手。

• 拒绝抽样（Rejection Sampling）：需要深入理解概率密度函数的性质，尤其对于高维数据的拒绝区域界定非常复杂。

2. 蒙特卡罗积分与方差减缩技术：

• 蒙特卡罗积分（Monte Carlo Integration）：学生不仅需要理解基本的蒙特卡罗方法，还需要掌握高级的方差减缩技术如重要抽样和控制变量。这些技术在多维积分时尤其复杂，需要深刻理解与实际应用结合。

• 重要抽样（Importance Sampling）：选择合适的分布函数作为抽样标准是一个挑战，特别是在处理多峰分布时。

• 控制变量（Control Variates）：需要精确识别相关变量，并通过数学推导证明其方差减缩效果。

3. 非参数自助法与Jackknife技术：

• 自助法（Bootstrap）：对不同抽样方法的适应性和其统计性质的理解是难点所在，特别是在大规模数据集环境下。

• Jackknife技术（Jackknife）：如何在具体问题中应用并充分理解其数学推导和理论基础。

4. 非线性回归与Gauss-Newton算法：

• 非线性模型规范（Model Specification）：合理选择模型和参数，理解非线性特性的处理方法。

• Gauss-Newton算法（Gauss-Newton Algorithm）：算法的收敛性分析及其在高维空间中的应用是难点。

5. EM算法：

• 数据增广（Data Augmentation）：如何构造合理的增广数据以简化问题求解。

• 蒙特卡罗EM算法（Monte-Carlo EM）：复杂度较高，特别是在模糊数据和混合分布的处理中，理解与实现相对困难。

考核方式

综合考核方法

考核方式多样化，包含项目、考试及论文等形式，以全面评估学生掌握课程内容的情况。

• 考试：50%，涵盖理论知识和算法应用。

• 课程作业：50%，共三次，每次占16.67%，涉及实际问题的仿真和计算，通过R软件实现。

具体要求

• 项目：需要学生结合课程内容，选择一个实际问题进行深入分析，提交报告及代码。

• 考试：包含选择题、简答题和编程题，重点考察学生对算法原理和应用的理解。

• 论文：要求学生针对某一主题进行深入研究，撰写学术论文，评估其科研能力和理论深度。

评估方法

• 持续评估：通过课程作业和项目的完成情况，持续评估学生的学习进度和实际应用能力。

• 终结评估：通过期末考试和论文，系统评估学生对课程整体内容的掌握情况。

通过这些多样化的考核方式和详细的评估标准，力求全面考察学生在统计计算方面的理解与实践能力。

Markov Chain Monte Carlo - 贝叶斯统计的计算之道 - MATH68122

教学安排

本课程安排在第二学期，由曼彻斯特大学数学系提供，包括每周的面授课程和实践研讨会。具体安排如下：

• 授课方式：面授，每周24小时的讲座与22小时的实践研讨会。

• 周课程表：

• 周一、周三、周五：讲座内容包括贝叶斯统计和马尔可夫链基础。

• 周二、周四：编程和算法实践研讨会，学生将在这里实施各类MCMC算法。

• 特殊活动：期中安排一次关于MCMC实施的工作坊，重点研讨Metropolis-Hastings算法的应用和性能优化。

课程重点

在本课程中，将特别强调以下主题和概念：

• 贝叶斯统计（Bayesian Statistics）：基础概念和模型，包括先验（Prior）和后验（Posterior）分布的理解。

• Markov Chain：马尔可夫链的基本性质和应用。

• Metropolis-Hastings算法：独立采样器（independent sampler）、随机行走Metropolis（random walk Metropolis）及其多模态处理方法。

• Gibbs采样器（Gibbs Sampler）：数据扩充（data augmentation）、烧入期（burn-in）、收敛性。

• 近似贝叶斯计算（ABC）：模拟基础的推断方法和实用案例。

这些主题在统计专业学习中占据重要地位，富有挑战性但相应也提供了强大的数据处理和分析工具。

潜在难点

从特定专业角度分析本课程潜在的学习难点：

1. Metropolis-Hastings算法的收敛性分析：

• 理解算法的渐近性质（asymptotic behavior），包括其收敛速度和多模态问题的处理。

• 需掌握谱半径（Spectral Radius）的计算技巧及对高维数据情况下收敛性的理解。

2. Gibbs采样器中的收敛性：

• 对于Gibbs采样器中的数据扩充技术，尤其是混合序列（Markov Chain mixing）的深刻理解。

• 理解和计算自相关时间（autocorrelation time），并判断采样过程的有效性（有效样本大小）。

3. 近似贝叶斯计算（ABC）算法的实施和优化：

• 深刻理解ABC算法的模拟基础推断（simulation-based inference），包括选择适当的摘要统计量（summary statistics）。

• 在高维参数空间中，选择适当的核函数（Kernel function）和度量准则（Distance metric），并进行性能调优。

4. 马尔可夫链蒙特卡罗方法中的“完美模拟”（Perfect Simulation）：

• 掌握并实现偶数单采样法（Coupling From The Past，CFTP）来保证采样的无偏性和效率。

考核方式

本课程的考核方式如下：

• 平时作业（Biweekly courseworks）：占总成绩的50%。每两周提交一次作业，旨在考察学生对各类MCMC算法的实施和性能分析。

• 期末笔试（Written exam）：占总成绩的50%。笔试内容涵盖课程全部重点知识，包括算法的理论分析、应用案例及其性能评估。

考核将根据学生对算法的实施、理解、以及改进建议来评估其学习成效。不同考核方法的综合运用，能够全面反映学生的学习成果和扎实的理论基础。

通过深入剖析复杂概念和专业术语，本总结旨在展示对Markov Chain Monte Carlo课程内容的深刻理解和专业掌握，并为后续学习提供明确的指导。

Longitudinal Data Analysis - 纵向数据分析 - MATH68132

教学安排

授课方式

本课程采用混合教学模式，结合线上和面授的方式进行。学生每周需要参与大约2小时的面授讲授活动，课程录影内容将在课程网站上发布供学生自主学习。每周还设有1小时的反馈与答疑环节，学生可以在固定的时间内与讲师面对面交流或通过线上平台互动。

时间表

课程安排如下：

• 第1-2周：纵向数据分析动机和基本问题，纵向数据的探索

• 第3-5周：普通线性回归模型在纵向数据中的应用，包括独立随机误差的线性模型和方差分析法(ANOVA)

• 第6-9周：纵向数据的一般线性模型及其最大似然估计和受限最大似然估计

• 第10-12周：线性混合效应模型，包括固定效应、随机效应和模型拟合度的讨论

• 第13-15周：非正态纵向数据模型，包括广义估计方程(GEE)和广义线性混合模型(GLMM)

• 第16-18周：缺失数据处理方法，探讨不同缺失机制及应对策略

特殊教学活动

课程中包括一些特殊活动，如数据分析研讨会和使用R语言进行实际数据分析的实验室实践。这些活动通常安排在课程中段进行，以强化学生的动手能力和实际应用能力。

课程重点

主要主题

• 一般线性模型 (General Linear Models, GLM)：特别是具有相关随机误差的线性模型，适用于探索多种协方差结构。

• 线性混合效应模型 (Linear Mixed Effects Models, LMM)：包括固定效应和随机效应的讨论，旨在更好地刻画模型中的不同变异来源。

• 广义线性混合模型 (Generalised Linear Mixed Models, GLMM)：该模型适用于处理非正态分布的纵向数据，及其相关的惩罚准则和方差成分估计。

• 缺失数据 (Missing Data)：缺失完全随机(MCAR)、随机(MAR)及非随机(MNAR)机制的建模和处理方法。

这些主题在统计学、数据科学及应用研究中具有极其重要的地位。基于这些模型进行数据分析，不仅可以揭示数据中的重要规律，还能提供更加准确和有效的统计推断。

潜在难点

1. 相关随机误差的线性模型

• 协方差结构的理解和选择：学生需要熟悉多种协方差模型，如复合对称性(Compound Symmetry)，自回归(AR(1))，指数相关(Exponential Correlation)等。理解这些模型的假设和适用条件是非常挑战的。

• 最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE)及受限最大似然估计(Restricted Maximum Likelihood Estimation, REML)：这两种估计方法的推导和应用，需要学生具备深厚的概率论和数理统计基础。

2. 线性混合效应模型

• EM算法 (Expectation-Maximization Algorithm) 的实现：该算法在缺失数据及混合效应模型的参数估计中广泛应用，但实现过程复杂，需要对算法原理和编程实现有深入的理解。

• 方差成分的预估及其意义：学生需掌握如何使用不同来源的随机效应对方差进行分解，及其对模型拟合度的影响。

3. 广义估计方程 (Generalised Estimating Equations, GEE)

• 工作相关结构 (Working Correlation Structure)：选择合适的工作相关结构对估计的效率和模型的稳健性有重要影响，但在理论和实践中都是一大难点。

• 惩罚准则 (Penalised Quasi-Likelihood, PQL)：在广义线性混合模型中使用这一准则来估计方差成分，需要深入理解其统计理论背景和实际应用场景。

4. 缺失数据的统计处理

• 多重插补 (Multiple Imputation)及加权估计方程 (Weighted Estimating Equations)：这些方法的理论依据和具体实现是处理缺失数据的关键，但其数学推导和实现过程复杂，容易成为学生的难点。

• 敏感性分析 (Sensitivity Analysis)：处理缺失数据过程中的假设检验及其对最终分析结果的影响，需要学生具有高水平的批判性思维和实践经验。

考核方式

考试和作业比例

• 书面考试：占80%

• 课程作业：占20%

具体要求

• 书面考试：考试涵盖课程中所有重要模型和分析方法，测试学生对理论知识和应用方法的全面理解。

• 课程作业：包括数据分析报告、编程实践(R语言)和阶段性问题解决。作业将考察学生的动手能力和对于实际问题的分析解决能力。

学习成效评估

通过上述考核方式，评估学生对纵向数据分析的理论掌握程度及其在实际数据中的应用能力，综合考查学生的数学推导能力、编程实际操作能力和批判性思维水平，以确保学生达到预期的学习目标。

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