例1、今年来某县加大了对教育经费的投入,2013年投入2500万元,2015年投入3500万元。假设该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据题意列方程,则下列方程正确的是( )
例2、为落实素质教育要求,促进学生全面发展,某市某中学2009年投资11万元新增一批电脑,计划以后每年以相同的增长率进行投资,2011年投资18.59万元。则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是 ,从2009年到2011年,该中学三年为新增电脑共投资 万元。
解:设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x
11(1+x)2=18.59
x=30%
则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是30%
11×(1+30%)=14.3万元
11+14.3+18.59=43.89万元
故答案为:30%;43.89
练 习
2、某县大力推进义务教育均衡发展,加强学校标准化建设,计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造,2014年县政府已投资5亿元人民币,若每年投资的增长率相同,预计2016年投资7.2亿元人民币,那么每年投资的增长率为( )
解:设每年投资的增长率为x,根据题意,得:5(1+x)2=7.2
解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(舍去),故每年投资的增长率为为20%,故选:A
3、随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,抽样调查显示,截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆。己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆,设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x,根据题意列方程得( )
解:设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x,
根据题意,可列方程:10(1+x)2=16.9,
故选:A
例1、已知一个两位数的十位数字比个位数字大 2,两位数字的积比这个两位数小34,求这个两位数。
解:设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为x+2
根据题意,得x(x+2)+34=10(x+2)+x
解得x1=2,x2=7
当x=2时,x+2=4
当x=7时,x+2=9.
所以这个两位数为42或97
例2、已知三个连续奇数的平方和是371,求这三个奇数。
解:设这三个奇数分别为 x-2,x,x+2
(x-2)2+x2+(x+2)2=371
解得x1=11,x2=-11:
答:这三个奇数分别为9,11,13或-13,-11,-9
1,已知两个连续奇数的积是255,求这两奇数。
解:设这三个奇数分别为x,x+2
X(x+2)=255
解得x1=15,x2=-17
答:这两个奇数是15,17或-17,-15
三、列一元二次方程解决营销类问题
例2、某水果经销商销售一种水果,如果每千克盈利1元,每月可售出5000千克。经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价0.1元,月销售量将减少400千克。现该经销商要在批发这种高档水果中保证每月盈利5060元,同时又要价格尽可能的低,那么每千克应涨价多少元?
解:(1)设该种商品每次降价的百分率为x%,
依题意得:400×(1﹣x%)2=324,
解得:x=10,或x=190(舍去).
答:该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m件,则第二次降价后售出该种商品(100﹣m)件,
第一次降价后的单件利润为:400×(1﹣10%)﹣300=60(元/件);
第二次降价后的单件利润为:324﹣300=24(元/件)
依题意得:60m+24×(100﹣m)=36m+2400≥3210,
解得:m≥22.5
∴m≥23
答:为使两次降价销售的总利润不少于3210元,第一次降价后至少要售出该商品23件。
2、某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡,一种贺年卡平均每天可售出500张,每张盈利0.3元。为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现,如果这种贺年卡的售价每降低0.1元,那么商场平均每天可多售出100张,商场要想平均每天盈利120元,每张贺年卡应降价多少元?
解:设每张贺年卡应降价x元,现在的利润是(0.3﹣x)元,则商城多售出100x÷0.1=1000x张。
(0.3﹣x)(500+1000x)=120,
解得x1=﹣0.3(降价不能为负数,不合题意,舍去),x2=0.1
答:每张贺年卡应降价0.1元。
四、列一元二次方程解决面积类问题
例1、如图,某小区有一块长为18米,宽为6米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为60平方米,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道。若设人行道的宽度为x米,则可以列出关于x的方程()
例2、如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180米,上下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等.设甬道的宽为x米。
(1)用含x的式子表示横向甬道的面积;
(2)根据设计的要求,甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系,比例系数是5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么当甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用为239万元?
练 习
1、如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成,其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和。若丙的一股长为2,且丁的面积比丙的面积小,则丁的一股长为何?( )
【解答】
解:设丁的一股长为a,且a<2,
∵甲面积+乙面积=丙面积+丁面积,
∴2a+2a=×22+×a2,
∴4a=2+a2,
∴a2﹣8a+4=0,
∴a===4±2,
∵4+2>2,不合题意舍,
4﹣2<2,合题意,
∴a=4﹣2
故选D
例1、如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2 cm/s的速度向D移动.
(1)P、Q两点从出发开始到几秒?四边形PBCQ的面积为33cm2;
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时?点P和点Q的距离是10cm.
解:(1)设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2,
则PB=(16﹣3x)cm,QC=2xcm,
根据梯形的面积公式得(16﹣3x+2x)×6=33,
解之得x=5
(2)设P,Q两点从出发经过t秒时,点P,Q间的距离是10cm,
作QE⊥AB,垂足为E,
则QE=AD=6,PQ=10,
∵PA=3t,CQ=BE=2t,
∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|,
由勾股定理,得(16﹣5t)2+62=102,
解得t1=4.8,t2=1.6
答:(1)P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2;
(2)从出发到1.6秒或4.8秒时,点P和点Q的距离是10cm.
例2、等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直线运动,已知P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D。设P点运动时间为t,△PCQ的面积为S。
(1)求出S关于t的函数关系式;
(2)当点P运动几秒时,S△PCQ=S△ABC?
(3)作PE⊥AC于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变?证明你的结论。
解:(1)当t<10秒时,P在线段AB上,此时CQ=t,PB=10﹣t
∴
当t>10秒时,P在线段AB得延长线上,此时CQ=t,PB=t﹣10
∴(4分)
(2)∵S△ABC=(5分)
∴当t<10秒时,S△PCQ=
整理得t2﹣10t+100=0无解(6分)
当t>10秒时,S△PCQ=
整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5(舍去负值)(7分)
∴当点P运动秒时,S△PCQ=S△ABC(8分)
(3)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
证明:过Q作QM⊥AC,交直线AC于点M
易证△APE≌△QCM,
∴AE=PE=CM=QM=t,
∴四边形PEQM是平行四边形,且DE是对角线EM的一半.
又∵EM=AC=10
∴DE=5
∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
同理,当点P在点B右侧时,DE=5
综上所述,当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
1、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BC=12cm,点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动,移动过程中始终保持DE∥BC,DF∥AC,则出发1或5秒时,四边形DFCE的面积为20cm2。
解:设点D从点A出发x秒时,则四边形DFCE的面积为20cm2,由题意,得
解得:x1=1,x2=5
故答案为:1或5
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