你好，我是kk~
字节的算法专家，今天和我们在聊了一些算法的核心思想。
趁着这个机会，咱们今天把Kernel PCA分享给大家。
核主成分分析（Kernel Principal Component Analysis, Kernel PCA） 是主成分分析（PCA）的非线性扩展，利用核技巧将数据从原始空间映射到高维特征空间，在该特征空间中进行线性PCA以捕获数据的非线性特征。核PCA非常适合处理非线性的数据结构。
核PCA核心思想
PCA的核心在于通过线性变换寻找数据分布的主轴。然而，PCA是一种线性方法，如果数据在原空间中的分布是非线性的，PCA的效果就不理想。核PCA通过核技巧（Kernel Trick）来解决这个问题，它将数据映射到高维空间，在高维空间中找到数据的线性结构，从而捕获原始数据的非线性结构。
具体步骤如下：
1. 数据映射到高维空间：通过非线性映射函数 ，将输入数据 从原空间映射到高维空间。
2. 在高维空间进行PCA：计算映射后数据的协方差矩阵，并进行特征值分解，找到特征向量和特征值。
3. 利用核函数避免显式映射：通过核函数 来直接计算点积，从而避免直接计算高维特征空间中的映射 。
核PCA数学推导
假设我们有 个数据点 ，目标是找到主成分并降维。PCA通过以下步骤实现：
1. 中心化数据：对数据进行均值中心化处理：
2. 计算协方差矩阵：
3. 求协方差矩阵的特征值和特征向量：通过对协方差矩阵 进行特征值分解，找到对应的特征向量作为主成分方向。
核PCA的高维映射
现在我们考虑核PCA。假设有一个非线性映射函数 ，将输入数据从原空间映射到高维空间：
其中 是一个高维甚至无限维的特征空间。
目标：在这个高维空间中做PCA。我们需要计算映射后数据的协方差矩阵，并进行特征值分解。
1. 中心化数据：数据映射后，我们首先对数据进行均值中心化：
2. 协方差矩阵：在高维空间中，协方差矩阵为：
我们的目标是对这个协方差矩阵进行特征值分解，找到特征值和特征向量。
核技巧（Kernel Trick）
由于 是高维甚至无限维的空间，显式计算 的点积会非常昂贵。核技巧允许我们通过核函数 来直接计算特征空间中点积 ，避免显式映射。
核函数 定义为：
常用的核函数包括：
线性核：$ 多项式核：$ 高斯RBF核：$
特征值分解
由于核技巧，我们实际上只需要处理核矩阵 ，其中：
此时我们需要对核矩阵 进行特征值分解。
设核矩阵的特征值分解为：
其中 是特征向量矩阵， 是特征值矩阵。
在PCA中，我们希望在高维空间中找到主成分的方向，即特征向量 ，满足：
结合核技巧和特征值分解的结果，特征向量 可以表示为数据在高维空间的线性组合：
通过将这一表达式代入到特征方程中，并利用核矩阵的性质，可以推导出以下结果：
其中 是特征向量的系数向量。
核PCA的具体步骤
总结核PCA的步骤如下：
**1. 构建核矩阵 **：
计算核矩阵 。 对核矩阵进行中心化：令 为全为 的 矩阵，有：
2. 特征值分解：
对中心化后的核矩阵 进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
3. 选择主成分：
根据特征值的大小选择前 个最大的特征值对应的特征向量。 核PCA降维后的新表示为：
其中 是特征值分解得到的特征向量的分量。
核PCA的本质是通过核技巧将原始数据映射到一个高维特征空间，在该空间中进行线性PCA以捕捉数据的非线性结构。通过利用核函数避免了直接计算高维空间中的点积，从而使得计算变得更加高效。核PCA的推导建立在特征空间中的PCA基础上，通过核函数 和特征值分解来获得主成分方向和降维后的数据表示。
案例
大致步骤：
1. 生成虚拟数据：我们将生成一些具有复杂非线性分布的数据集，以展示标准线性PCA的局限性，以及核PCA如何帮助我们捕捉非线性特征。
2. 应用核主成分分析：使用Python的sklearn库进行核PCA，并展示如何将数据投影到低维空间。
3. 生成复杂且鲜艳的图形：绘制多个图形，包括原始数据、PCA和核PCA降维后的数据分布，分析结果。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.decomposition import PCA, KernelPCA
from sklearn.datasets import make_moons, make_circles
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
# 生成两个非线性数据集：半月形和同心圆数据集
def generate_datasets():
# 半月形数据集
X_moons, y_moons = make_moons(n_samples=2000, noise=0.1, random_state=42)
# 同心圆数据集
X_circles, y_circles = make_circles(n_samples=1000, noise=0.05, factor=0.4, random_state=42)
return (X_moons, y_moons), (X_circles, y_circles)
# 标准化数据
def standardize_data(X):
scaler = StandardScaler()
return scaler.fit_transform(X)
# 绘制原始数据集
def plot_original_data(X_moons, y_moons, X_circles, y_circles):
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 6))
# 绘制半月形数据集
ax1.scatter(X_moons[y_moons == 0][:, 0], X_moons[y_moons == 0][:, 1], color='red', s=30, label='Class 0')
ax1.scatter(X_moons[y_moons == 1][:, 0], X_moons[y_moons == 1][:, 1], color='blue', s=30, label='Class 1')
ax1.set_title('Original Moons Dataset', fontsize=15)
ax1.legend()
ax1.grid(True)
# 绘制同心圆数据集
ax2.scatter(X_circles[y_circles == 0][:, 0], X_circles[y_circles == 0][:, 1], color='green', s=30, label='Class 0')
ax2.scatter(X_circles[y_circles == 1][:, 0], X_circles[y_circles == 1][:, 1], color='purple', s=30, label='Class 1')
ax2.set_title('Original Circles Dataset', fontsize=15)
ax2.legend()
ax2.grid(True)
plt.show()
# PCA和Kernel PCA降维后的数据可视化
def plot_pca_kpca(X_moons, y_moons, X_circles, y_circles):
# 标准化数据
X_moons_std = standardize_data(X_moons)
X_circles_std = standardize_data(X_circles)
# 定义PCA和Kernel PCA
pca = PCA(n_components=2)
kpca_rbf = KernelPCA(n_components=2, kernel='rbf', gamma=15)
kpca_poly = KernelPCA(n_components=2, kernel='poly', degree=3, gamma=1, coef0=1)
# 计算PCA降维结果
X_moons_pca = pca.fit_transform(X_moons_std)
X_circles_pca = pca.fit_transform(X_circles_std)
# 计算核PCA降维结果 (RBF核和多项式核)
X_moons_kpca_rbf = kpca_rbf.fit_transform(X_moons_std)
X_moons_kpca_poly = kpca_poly.fit_transform(X_moons_std)
X_circles_kpca_rbf = kpca_rbf.fit_transform(X_circles_std)
X_circles_kpca_poly = kpca_poly.fit_transform(X_circles_std)
# 绘制PCA和Kernel PCA降维的可视化结果
fig, axes = plt.subplots(3, 2, figsize=(14, 18))
# 半月形数据集PCA
axes[0, 0].scatter(X_moons_pca[y_moons == 0][:, 0], X_moons_pca[y_moons == 0][:, 1], color='red', s=30,
label='Class 0')
axes[0, 0].scatter(X_moons_pca[y_moons == 1][:, 0], X_moons_pca[y_moons == 1][:, 1], color='blue', s=30,
label='Class 1')
axes[0, 0].set_title('Moons PCA', fontsize=15)
axes[0, 0].legend()
axes[0, 0].grid(True)
# 同心圆数据集PCA
axes[0, 1].scatter(X_circles_pca[y_circles == 0][:, 0], X_circles_pca[y_circles == 0][:, 1], color='green', s=30,
label='Class 0')
axes[0, 1].scatter(X_circles_pca[y_circles == 1][:, 0], X_circles_pca[y_circles == 1][:, 1], color='purple', s=30,
label='Class 1')
axes[0, 1].set_title('Circles PCA', fontsize=15)
axes[0, 1].legend()
axes[0, 1].grid(True)
# 半月形数据集RBF核PCA
axes[1, 0].scatter(X_moons_kpca_rbf[y_moons == 0][:, 0], X_moons_kpca_rbf[y_moons == 0][:, 1], color='red', s=30,
label='Class 0')
axes[1, 0].scatter(X_moons_kpca_rbf[y_moons == 1][:, 0], X_moons_kpca_rbf[y_moons == 1][:, 1], color='blue', s=30,
label='Class 1')
axes[1, 0].set_title('Moons Kernel PCA (RBF)', fontsize=15)
axes[1, 0].legend()
axes[1, 0].grid(True)
# 同心圆数据集RBF核PCA
axes[1, 1].scatter(X_circles_kpca_rbf[y_circles == 0][:, 0], X_circles_kpca_rbf[y_circles == 0][:, 1],
color='green', s=30, label='Class 0')
axes[1, 1].scatter(X_circles_kpca_rbf[y_circles == 1][:, 0], X_circles_kpca_rbf[y_circles == 1][:, 1],
color='purple', s=30, label='Class 1')
axes[1, 1].set_title('Circles Kernel PCA (RBF)', fontsize=15)
axes[1, 1].legend()
axes[1, 1].grid(True)
# 半月形数据集多项式核PCA
axes[2, 0].scatter(X_moons_kpca_poly[y_moons == 0][:, 0], X_moons_kpca_poly[y_moons == 0][:, 1], color='red', s=30,
label='Class 0')
axes[2, 0].scatter(X_moons_kpca_poly[y_moons == 1][:, 0], X_moons_kpca_poly[y_moons == 1][:, 1], color='blue', s=30,
label='Class 1')
axes[2, 0].set_title('Moons Kernel PCA (Polynomial)', fontsize=15)
axes[2, 0].legend()
axes[2, 0].grid(True)
# 同心圆数据集多项式核PCA
axes[2, 1].scatter(X_circles_kpca_poly[y_circles == 0][:, 0], X_circles_kpca_poly[y_circles == 0][:, 1],
color='green', s=30, label='Class 0')
axes[2, 1].scatter(X_circles_kpca_poly[y_circles == 1][:, 0], X_circles_kpca_poly[y_circles == 1][:, 1], color='purple',
s=30, label='Class 1')
axes[2, 1].set_title('Circles Kernel PCA (Polynomial)', fontsize=15)
axes[2, 1].legend()
axes[2, 1].grid(True)
plt.show()
# 主函数
def main():
# 生成数据
(X_moons, y_moons), (X_circles, y_circles) = generate_datasets()
# 绘制原始数据
plot_original_data(X_moons, y_moons, X_circles, y_circles)
# 应用PCA和Kernel PCA并绘图
plot_pca_kpca(X_moons, y_moons, X_circles, y_circles)
if __name__ == "__main__":
main()
1. 数据生成：使用make_moons和make_circles函数生成两组具有非线性分布的数据，分别是半月形数据集和同心圆数据集。
2. 数据标准化：我们使用StandardScaler对数据进行标准化处理，以确保不同维度的数据具有相同的尺度，这对于PCA和核PCA是重要的预处理步骤。
3. PCA和核PCA降维：我们分别应用PCA和两种不同的核PCA（RBF核和多项式核）来对数据进行降维。RBF核是一种常用的核函数，能够捕捉复杂的非线性模式，而多项式核可以帮助我们探索多项式特征之间的关系。
原始数据的可视化：绘制了半月形和同心圆数据集的原始二维表示。 PCA降维结果：展示了标准PCA在非线性数据上的效果，通常无法很好地分离数据。
核PCA降维结果：通过RBF和多项式核PCA，我们能够更好地捕捉数据的非线性特征，并在低维空间中将类进行更好的分离。
通过整个的理论和案例，大家清楚地看到核PCA的强大之处。与标准PCA不同，核PCA可以通过非线性映射，捕捉复杂的非线性特征，特别适合非线性分布的数据集。
