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趣
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味
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地
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震
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学
中国地震学会—地球科学科普栏目
地震科普—向数学艺术致敬
看天上的星星尽显光辉
赏地下的河水肆意奔流
5、向数学艺术致敬
5.1 对称与变形
5.2 平行与立体
数学是一切知识中的最高形式
—柏拉图（古希腊）
科学的思维具有理性、逻辑和严谨的特征，而艺术的思维则是形象、灵感和想象的体验。
只要看一眼坐在角落里那些冥思苦想的学究们，再看看大堂上那些慷慨激昂、火山不停喷发的大师们，就知道他们的差别有多大。艺术没有背负诠释科学的使命，科学也不担负创造艺术的责任。但是它们深层的交集，会碰出所向无敌的漫天礼花。
荷兰艺术家埃舍尔（Maurits Cornelis Escher，图5-1）就是这样一位神奇而独特的超现实主义艺术家。他绘画中的数学思想一直享誉全球，称为“数学艺术”。
图5-1 埃舍尔（1898—1972）
数学既是地学研究的基本手段，又是思维逻辑的灵魂，自然界的内在规律集中在数学中：
艺术和地震学之所以能沟通和结合，因为它们的共同语言和灵魂是数学。
5.1 对称与变形
埃舍尔的作品可能是世界上销售量最高、复印量最大的画作之一。
最典型的就是他1938年的早期成名作——《昼与夜》（图5-2）。画面是朴素温馨的小镇，一览河流、飞鸟、农庄和田园的自然风光：从左到右，白天到黑夜；从下到上，大地至天空；从浅入深，田野的静谧与壮丽；简单的和谐、无穷的变化；极端的黑白、中庸的灰色，有着并存互补的哲理，一种蒙太奇的自然美。这足以让哲学家高谈阔论，令科学家高山仰止。
图5-2 昼与夜（1938）
他一系列的对称与变形的美术作品达到了炉火纯青、出神入化的境界，被工艺美术、镶嵌技术、印染设计、数学拓扑、心理学测试等领域大量借鉴[1]。也在陶器手工品、地毯编织、武装器具、地砖及墙壁装饰、晶体结构分析中占有重要地位。
对称，自古是人类最推崇的美好造型。人，就是对称体；山河昼夜，都属对称；音乐歌舞，同样讲究对称。不过，数学的对称原理并不指向僵硬的静止态，而是研究对象在某种变换下仍然保持不变的原则。1894—1967年间的数学研究就有过结论：对称只有四种基本变换方式[2]——平移、旋转、反射、滑移反射（图5-3），只要运用这四种运算法则，便可以重组出所有的周期性图形，既不可违背，也没有特例。
地球科学上，同样要根据数学的对称原理来认识世界。例如冈瓦纳古大陆在中生代以后的裂解（图5-4），经大陆漂移才变换到如今的大陆分布，就满足平移和旋转两种变换。诸如洋中脊（磁条带）和转换断层的结构，也属于反射和滑移反射的变换。据此，才能科学地复原出古大陆结构，合理地推断出拖曳大陆运动的动力机制。
图5-3 对称性的四种基本变换
图5-4 冈瓦纳古大陆的复原（USGS）
对于立体的对称性，古希腊的柏拉图（Plato，428—348BC）最早发现正多面体只有五种——四面体、六面体、八面体、十二面体和二十面体（图5-5），统称柏拉图体。还有一个著名的欧拉定理：如果一个凸多面体的顶点数是V、棱数是E、面数是F，那么总有关系F + V - E = 2。
图5-5 柏拉图的五种等面积体
在生产生活中，需要遵循这些关系。比如制作足球，就要选取正五边形，既能保证球状体，又有最少的缝边量。建造天文台穹顶、反光镜片、教堂穹顶时，也要充分利用正多面体的特性。
埃舍尔没有受过中学以外的数学训练，但正面体给了他灵感。1948 的木刻作品《小星星》和1952年的雕塑《重力》，创作出了一个包含所有五种柏拉图体的结构，被学术界命名“埃舍尔立体”（图5-6），长久地保存在荷兰特文特大学（Twente）的校园内。这种变形的多面体深受数学家青睐，并在拓扑学的发展史中占有一席之地，尽管公众至今不能理解如此怪异的东西到底有啥用。
图5-6 左起：小星星（1948）和重力（1952）
科学界热烈地接纳了他。1954年阿姆斯特丹的国际数学大会专门为他举办了画展，与会者受到强烈震撼：Escher 的作品居然涉及两大基础领域——空间几何学和空间逻辑学，研究他作品的数学论文一下子喷涌出十几篇。1960年英国的晶体学会议，剑桥大学又为物理学家展示了他的版画。1968年，海牙美术馆第一次为他的作品举办了展览。
面对一系列突如其来的辉煌，埃舍尔喃喃地说了一句乡巴佬般的大实话，成为人们喜爱的甜心名言：
我一直就没搞清楚，这些作品究竟属于数学还是艺术。
多少年后，他才深刻地体会到毕达哥拉斯所说“数学支配着宇宙”正是他的艺术灵魂，并在他漫长的征途中“最终使艺术步入了数学殿堂”。
5.2 平面与立体
◆ 二维和三维
数学的二维和三维有着明显的界限：如果L是长度， 则称为一维问题；遇到L2，就是二维（比如纸面）；L3，便是三维（比如房间）；L38，就是高维问题。这里，方幂（维数）是离散的整数1、2、3、38……，彼此间并没有过渡的、连续的状态。
但是艺家不管那一套，也懒得去理论抽象的定理。Escher 的《蜥蜴》和《素描之手》成了划时代的不朽之作。
几条可爱的蜥蜴喜笑颜开地逃离了二维平面的束缚（图5-7），爬到桌面放风，故意在柏拉图十二面体的顶面停下来作秀，狡黠地短叹长吁：瞧，我不是出来了嘛！然后，爬回原来的平面图案里。
图5-7 蜥蜴（1943）
这到底算二维还是三维问题？谁是起点和终点？对这种艺术的谐谑、哲学的真伪， 又有谁能说出个三五六？难道数学、建筑学和哲学的荒谬和现实竟然可以共存？
◆ 极限的表达
《庄子》有句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这是一维极限概念。
推广到二维，比较方便的表达如图5-8 所示。推广到三维呢？目前最广泛采用的办法——乌尔夫网（Wulff Net），是将圆球面投影至平面的映射（图5-9），几何学里称为“球极平面投影”（Stereographic Projection）或极射赤平投影。地震机制、地图学、地质学、光学、全景摄影都要采用。
图5-8 日取其半的二维表达
图5-9 球极投影关系
以球面上的红色△ABC 的转换为例（图5-9），可以从上极点O 将它们投影到赤道平面，变成绿色△ABD；也可以投影到极平面，变成黄色△A'B'C'，从而在平面上表达出球面上的图案来。此时的角度维持不变，仅能正确反映点、线、面的角距关系，但既不会维持距离不变，也不会维持面积不变。图5-10所示为另一张球极投影例子，把旅游者360度拍摄的加勒比海全景，在平面图里表现出来。
极限位置的差异，完全取决于不同的高度和角度上的投影平面。最小的极限既可以无穷地趋于圆的边缘，也可以趋于圆心或兼顾二者（图5-11），最后都进入了一个永远没有尽头的时空隧道。
图5-10 加勒比海圣马丁岛的球极投影（由9 张照片合成，David）
图5-11 蛇（1969）
◆ 分形几何
自然界里的许多客观存在都具有分形结构。
从雅鲁藏布江大拐弯处的水系卫片看（图5-12），大的水系可以有多层次的分支结构：主流含许多支流，每条支流又有各自的小支流，整体的结构特征存在于每个局部的、细节的水系当中。这种整体与局部的高度相似性，称为“自组织”，地震断层分布、震中的时空分布亦有这个特点。图5-13 所示为另一种旋转结构的分形——斐波那契数列（Fibonacci Sequence），整体和局部是按照黄金分割值0.618 构成的，出现在旋涡银河系、鹦鹉螺的壳、卡特里娜飓风等上。此外，人体的细胞、胚胎，或者耳针、手针和脚针的穴位分布上，也能看到这种自组织结构——宏观的整体结构会存在于微观之内。如莎士比亚所说：
表面上看来杂乱无序，实际上规矩天成
图 5-12 雅鲁藏布江的水系分布
图 5-13 银河的螺旋状分形结构
20 世纪末发展起了一种现代数学——分形几何（Fractal Geometry），用于描述复杂形体不规则性的度量。如果L 是长度，方幂（维数）不是1、2、3、38……的整数，而是离散的分数，甚至是连续的函数，则出现了分（数）维现象。它是研究复杂现象的一个重要突破口。
地震活动非常复杂，是绝对的“杂乱无序”，而人类的观测又总是局部、细节和短视的，这就必然导致一个致命的弱点——要直接处理复杂现象的时间、空间、强度那几乎无望！有了分形的手段，也就看见了曙光：一旦查清楚它们的自组织关系，即莎士比亚说的“规矩天成”，就可以利用手边的、现实的、能够掌握的局部信息来追索和推断整体，从而研究大地震、大断裂的发生和运动。
换句话说，分形理论对地震学的价值在于：不是在掌握了整体信息、透彻规律之后再去认识局部，而是有希望根据自组织关系，利用“这里的局部”去推测和预测“那里的局部”。尽管，现在还处于光明前的晨曦、不受待见的亢奋。
埃舍尔说：
我们身边的现象所展现的规律——秩序、法则、循环与再生，对我来讲，越来越重要。意识到它们的存在，能够为我的心灵带来平静，给我的精神以一种支撑。我试图在我的作品中表明，我们生活在一个美好的有序的世界之中，而不是像有时感到的那样一团混乱。
他的1959年的作品《鱼和鳞片》（图5-14），就是分形艺术的一种尝试。无穷小的鱼逐渐长大，然后在另一极缩小到无穷小，局部与整体之间存在某种“形”的自相似，增添了深层的韵律感和神秘感。
与理论地震学里的不少虚无缥缈的主观假设相比，埃舍尔实在是玉树临风，太讨人喜欢了。
图5-14 鱼和鳞片（1959）
○参考文献
［1］ 石磊. 埃舍尔艺术风格的形成与演变［J］. 华南师范大学（社会科学版），2003（3）：120-
123.
［2］ 林迅. 文化和艺术中的数学——M. C. 埃舍尔图形创意的数学观研究 ［J］. 上海交通大学学报（哲
学社会科学版），2010，18（5）：37-45.
［3］ 王雯. 论科学对艺术的作用− 以埃舍尔绘画为例［D］. 太原：太原科技大学，2014.
［4］曾岩. 里盖蒂的音乐与埃舍尔的绘画［J］. 艺术研究，2008（2）：79-81.
图文来源：《趣味地震学》
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