2. 高斯积分点的选取与应用
2.1 积分点的确定方法
理论基础：高斯积分法基于正交多项式理论，通过选择特定的积分点和对应的权重，可以精确积分特定阶数的多项式函数。例如，利用两个积分点可以精确积分到三次多项式。 选择标准：积分点通常选择在被积函数的根或者极值点上，这些点也称为高斯点。权重则是根据正交条件确定，确保在积分点上的函数值乘以权重后能够最好地逼近原函数的积分。 计算方法：在实际应用中，积分点和权重可以通过数值方法预先计算并查表获得。例如，一维高斯积分的点和权重可以通过求解正交多项式的零点和相应的权重公式获得。
2.2 积分点在有限元中的应用
刚度矩阵的计算：在结构力学问题中，高斯积分点用于计算单元的刚度矩阵。通过在每个积分点处评估形函数的导数和雅可比矩阵，然后乘以积分权重，可以得到单元刚度矩阵的离散形式。
载荷向量的计算：同样地，高斯积分点也用于计算由外部载荷引起的内力，如节点力和面力。通过对积分点处的载荷乘以形函数和积分权重的乘积进行求和，可以得到载荷向量。
误差分析：高斯积分点的选择对解的精度有直接影响。如果积分点选择不当，可能会导致积分误差，影响整个有限元模型的求解精度。因此，合理选择积分点对于保证计算结果的可靠性至关重要。
实际应用案例：在实际工程应用中，如桥梁、建筑物和机械部件的分析，高斯积分点的选取直接影响到结构的应力、应变分布的准确性。通过优化积分点的布局，可以提高模型的预测能力，从而为工程设计提供更准确的依据。
数值实验：通过对比不同积分点数量下的计算结果，可以评估积分点数量对解精度的影响。例如，增加积分点数量通常会提高解的精度，但也会增加计算成本。因此，需要在精度和效率之间做出平衡。
3. 单元高斯计算点与单元节点数据关系
节点与积分点在有限元分析中相辅相成。节点位移通过形函数插值到积分点，进而计算积分点处的应变和应力。积分点的应力通过特定的外推方法可以转换为节点应力，这一过程称为应力磨平。在等参元中，高斯积分点的应力近似解通常比其他部位具有更高的精度，因此被称为最佳应力点。然而，节点上的应力并非最佳，可能需要采用其他积分方法以获得更精确的节点应力。
节点与高斯点的关系：高斯点用于数值积分以提高计算精度，而节点上的值通常通过高斯点的应力或结果外推得到。
数据插值：节点之间的数据插值是有限元分析中不可或缺的步骤，用于预测节点之间的物理量分布。
应力磨平技术：通过平均化技术处理相邻单元的节点应力，以减少因网格划分引起的局部应力集中或不连续现象。
