资本市场基于波动率的风险测度与检验

本文为华鑫信托博士后研究成果系列第 05 期

引言

经济学研究了大量不断变化的经济变量，例如汇率、利率、通货膨胀率、采购经理指数等等。在数量经济学中，波动率是价格风险的量化表现，波动率的大小体现了资产价格的风险水平。当资产价格变化剧烈，波动率指标往往也比较高。相反，如果资产价格的波动率水平比较低，说明资产价格变化不大，市场参与者对于该资产的价值预期趋同，该资产的风险也就相对较小。

市场波动的理论基础

市场波动的理论基础丰富多元，涉及经典和现代金融学、经济学以及数学物理模型的深度交叉。股价随机游走理论最早提出了价格波动的随机性假设，认为市场价格难以通过历史数据预测。混沌理论则引入非线性动力学视角，通过分析市场系统的初值敏感性和分形特征，揭示出表面无序的市场价格波动背后或许存在潜在的复杂规律。行为金融学理论进一步丰富了波动的理解，将心理学与金融学结合，解释了投资者在市场中的非理性决策如何导致如“羊群效应”的群体行为，进而加剧市场波动。波动率聚集现象提供了对市场时间序列中波动集中趋势的描述，通过ARCH和GARCH模型等计量工具量化波动特征，为短期和长期波动的预测提供支持。有效市场假说则从信息效率的角度解释了价格变动的合理性，即价格已经充分反映了所有公开信息，从而挑战了通过预测获利的可能性。经济周期理论将市场波动与宏观经济的四个阶段联系起来，揭示了资本市场价格波动与经济运行的密切联系，股票价格波动往往领先于经济周期。这些理论共同构成了金融市场波动的复杂图景，从微观的个体行为到宏观的经济周期，解释了市场价格的短期和长期波动性。这些理论为投资者、金融分析师和政策制定者提供了多层次的视角，帮助理解市场的不确定性以及如何在波动中寻求机会或管理风险。

基于波动率的风险测度

根据计算波动率测度的不同方法，对于波动率的分类大致可以分为历史波动率、隐含波动率和已实现波动率三类。

1、历史波动率

历史波动率是根据历史价格变化的时间序列数据计算得出的波动率，经常被用作衡量市场中相应风险资产未来价格波动的估计量。通过对历史数据进行处理来预测市场未来的波动率，其理论依据是认为波动率存在聚类效应、以连续方式随时间变化以及在固定范围内变化。然而历史波动率模型的实质是按照过去规律对未来波动率进行估计，依靠于过去的经验数据。但是，大量研究表明，波动率会随着标的公司基本面的变化、市场整体的波动和宏观经济周期的轮动而变化，这意味着根据历史数据建模估计的历史波动率具有一定的滞后性，不能形成对未来波动率的准确预测。

2、隐含波动率

二十世纪七十年代初期，随着布雷顿森林体系瓦解，投资者面临的金融不稳定性空前高涨，继而美国率先推出衍生品市场。1973年，Black和Scholes提出B-S期权定价公式，奠定了衍生品市场研究的基础，已知期权的市场价格，根据BS公式反推隐含波动率的方法被提出。隐含波动率是期权市场中的投资者对于标的资产价格波动率的内在看法指标。根据期权定价公式中的基本参数可以反推得出波动率，即隐含波动率，它反映了投资者的对未来市场的预期。根据有效市场假设理论，历史交易数据对未来市场起不到预测作用，因此隐含波动率对未来市场的预测效果相对更有效。

然而，仍有小部分的研究结果认为隐含波动率不包含对未来波动率有用的信息。无模型隐含波动率最早由Britten-Jones和Neuberger于2000年给出，由无套利这一个条件决定，解决了隐含波动率在预估未来波动率时存在的问题，其对预测的有效性检验不仅是对市场有效性的检验，而且也是对B-S公式准确性的检验。同时，因为无模型隐含波动率在计算时包括了到期日相同、行权价不同、标的资产相同的所有期权的全部信息，进而也有效解决了隐含波动率在应用时存在的选择问题。

3、已实现波动率

上世纪九十年代以前，对波动率的测度主要依赖于日、周和月等低频数据层面，造成大量日内信息的缺失，使得波动率模型的预测效果有限。随着通信和计算机技术的进步，以小时、分钟甚至秒为间隔的高频数据采集成为可能。在信息对资产价格的连续影响过程中，数据的取样频率越高，信息的损失越少，因此高频数据相比低频数据提供了更全面的交易信息。随着资本市场快速发展，信息传递实效性的增强，高频数据在波动率的估计和建模等方面得到了广泛应用。安德森等提出用已实现波动率这一非参数方法来估计真实的波动率，实现了波动率从隐变量形式到可观测的显变量形式的转变。在此基础上，逐渐发展出一系列高频波动率的建模理论。但在已实现波动率的度量中存在两个关键问题：日内效应和隔夜效应。金融波动在日内通常表现出两边高，中间低的U型变化模式，这是由信息不对称和交易机制共同作用的结果。同时，高频数据的采集仅在交易时间内完成的，而政策发布或重要信息披露往往在非交易时段进行，隔夜信息的缺失必然会影响波动率预测的准确性。

期权市场无模型隐含波动率

中国对于金融衍生品市场的实践起步较晚。2015年2月9日，上海证券交易所上线了中国首个场内期权交易品种——上证50ETF期权，中国的资本市场出现了真正意义上的期权交易。目前，我国期权市场已经覆盖上交所、深交所、中金所、上期所、大商所和郑商所中主要标的资产的期权合约。期权市场的适时推出，为中国资本市场的进一步创新奠定了良好的基础，随着我国资本市场的不断完善和投资者投资需求的不断提升，将来期权市场定会发展得更加壮大。

1、无模型隐含波动率

1999年，K.Demeterfi等人在研究波动率互换和方差互换的定价方法时，证明了可以通过期权组合充分对冲资产未来的方差风险。他们指出，不同行权价的期权对标的资产的方差具有不同的敏感性，随着标的资产价格的波动，期权价格对标的资产的方差的敏感程度也会发生变化。因此，单个期权合约难以完全对冲方差风险，需要构建一个期权组合，并根据不同期权合约对方差的敏感性进行复权，从而使该组合可以实现对标的资产未来方差风险的完整对冲，并且可以反映标的资产未来的波动率水平。随后Britten-Jone和Neuberger对该方法进行了整理，并将该方法首次命名为无模型隐含波动率法。2003年，芝加哥期权交易所与高盛合作改进了原有的VIX指数的编制方法，采用无模型隐含波动率来计算VIX指数，以便更准确地反应市场的预期以及投资者的情绪，此后多家交易所也推出了相关的波动率指数。

K.Demeterfi等人在介绍方差期望的计算公式时引入了方差暴露的概念，方差暴露的表达如下。假设股票或资产的价格的收益率服从如下随机过程：

根据伊藤引理有：

将(3.1)和(3.2)相减可得：

对(3.3)在0到T之间进行积分，可得资产在时间0到T之间的平均方差V̅：

在风险中性的情况下可得：

令F0为T时刻到期的远期合约，上式可表示为：

接下来考虑积分

对上式进行变换可得：

(3.5)式的结果表明资产的对数收益ln(ST/S*)可以用期权的价格来代替。在风险中性的情况下，(3.5)式可表示为：

(3.6)式中c(K) 和p(K)分别表示行权价格为K的欧式看涨期权价格和欧式看跌期权价格，r表示无风险利率。将(3.4)式和(3.6)式组合可得：

上式的离散形式如下：

(3.7)式得到了根据市场期权价格计算的方差期望，对方差取平方根得到未来的预期波动率预期σ，在实际计算中分别对于当期期权合约和下期期权合约进行计算得到近月波动率σ1与次近月波动率σ2，根据近月合约和远期合约的到期日计算不同波动率在未来 30 日的对应权重，得到最终的无模型隐含波动率：

其中，T1和T2分别表示当前到近月合约到期日和次近月合约到期日的时间，NT1和NT2分别表示近月合约和次近月合约的剩余到期天数，NT30表示未来30天的波动率期望值。

2、广义无模型隐含波动率法

K.Victor Chow等人指出，传统的无模型隐含波动率VIX方法需要标的收益率服从正态分布的前提假设。此外，因为VIX方法得到的是不同阶距的权重组合，在市场极度恐慌的时候，受到三阶距的影响较大，得到的计算结果会偏低。他们根据波动率的定义，构造了广义无模型隐含波动率GVIX方法, 该方法不需要对收益率分布作前提假设，只要求收益率存在一阶矩和二阶矩的相对弱假设。随后他们证明了GVIX相对于VIX方法更有效，特别是在市场出现极度恐慌的情况下。

记RT为持有期收益，即

记rT为连续复利收益，即

其中，S0和ST分别是资产在0时刻和T时刻的价格。根据泰勒公式有：

将以上几个等式结合可得：

对上式两边同时求期望可得：

经过比较发现上式是原无模型隐含波动率的主要成分。如果我们对持有期收益率进行N阶泰勒展开，则得到如下结果：

对上式两边同时求期望可得：

此时, 原无模型隐含波动率的主要成分E(RT)-E(rT)变成了连续复利rT的不同阶距的权重组合

令VT=E(rT2)，WT=E(rT3)和XT=E(rT4)，则原无模型隐含波动率可以表示为：

当市场出现大幅下跌时，收益率的三阶距WT为负数，相应的VIX的计算结果会降低。但根据现有理论和实践结果发现资产价格与波动率往往呈现负相关的关系，所以，当市场大幅下跌时VIX计算的结果会偏低, 造成对于风险预估的失准。针对这个问题，K.Victor Chow等人提出了广义无模型隐含波动率方法, 该方法根据方差的定义：

进而给出广义无模型隐含波动率GVIX的计算方法：

其中，µT表示T时刻的期望收益率E(rT)，VT表示收益率的二阶距E(rT2)，

及

上式中对于µT和VT的离散形式如下：

3、对无模型隐含波动率的检验

无论VIX还是GVIX在实际应用的过程中均存在两个问题，首先在特殊的市场情况下，如果可交易的期权的行权价格不能覆盖投资者对标的资产未来的预期价格，会导致计算得到的期望方差偏低；其次是如果市场中可交易期权之间的间隔较大也会导致计算得到的期望方差出现明显波动。我国期权市场起步较晚，期权合约的数量较少，覆盖面不广。当市场预期变化剧烈时，经常会出现市场的预期价格不在期权合约行权价格覆盖的范围内，或者出现在覆盖边缘的情况，这样就会导致公式中看涨或看跌端用来计算预期方差的可用期权极少甚至没有，使计算得到的结果偏低。以上两种问题的原因在于，采用离散的方式对积分求和时，如果可交易的期权数量不足，就会导致离散求和的值低于理论积分的值，所以若可以有办法找到期权价格对应期权行权价的函数，直接对函数求积分的方式一定程度上可以避免上述问题。

我国期权市场期权合约之间的行权价格间隔较大，2015年至2024年6月上证50ETF的价格在2.7元左右，上证50ETF的相邻的期权行权价格差是0.05元，期权覆盖密度不够，这种情况导致当标的价格等于某个期权合约的行权价格时计算得到的方差与标的价格介于两个相邻期权的行权价格中时计算得到的方差不同，最后导致计算得到的方差曲面不是平整的，呈现时高时低的波浪形态，最终会影响市场波动率预期的最终结果。

在为期权价格和行权价格选取拟合函数时，考虑到在方差计算的过程中需要用的期权都是虚值期权，虚值期权的价格与行权价和当前标的资产价格以及未来的行权概率等都有一定关系，其中行权概率和行权价格与当前标的资产的差额为负相关关系。在虚值期权中，深度虚值期权的价值是趋于0的，越接近远期价格的期权价格越高，且价格增速是加速增长的。考虑到以上几点，采用指数函数拟合期权价格与行权价格之间的关系，修正补充期权市场缺失的价格数据。对虚值期权的期权价格与行权价格的指数模型如下：

上式中参数b的绝对值表示期权价格随行权价格的变化速率, 一般当交易日邻近期权的到期日时，变化速率会越大，类似期权的Gamma值。参数a可以理解成是关于时间t的函数，表示时间贴现乘数。c和d表示期权价格和行权价格的相对平移距离。

结语

近年来，我国期权市场取得了显著发展。自2015年第一个股指期权上证50ETF期权上市以及2017第一个商品期权豆粕期权上市以来，中国场内期权市场经历了蓬勃繁荣的发展过程。截至2024年7月26日，上市期权品种已达54个，包括3个股指期权、9个ETF期权和42个商品期货期权，全面覆盖权益和商品板块。然而，市场投资者参与度仍有提升空间，部分期权合约的交易量和流动性相对有限，导致合约价格之间的跨度较大。在这种情况下，直接采用适用于发达市场的VIX模型计算结果可能存在偏差，需对算法进行调整。建议进一步推动我国期权市场的发展，吸引更多的投资者参与，提升市场交易量，丰富期权标的合约，使期权市场价格可以更好更全面地反映当前市场情况以及投资者对未来的市场预期，起到反应市场风险和投资者情绪的作用，对资本市场和实体经济发挥更好作用。此外，基于期权价格计算的调整后广义无模型隐含波动率是有效的波动率预测和投资者情绪指标。然而，与历史波动率和传统隐含波动率类似，对于短期突发的极端金融风险事件，其预测能力有限。因此，投资者和风险管理者在使用这些指标时，应保持谨慎，警惕极端金融风险事件可能带来的损失。

作者：张 玫

来源：华 鑫 信 托

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